combinatoria y probabilidades
3. Principio aditivo
Objetivo de aprendizaje
- Aplicar el principio aditivo para contar posibilidades cuando una situación se divide en casos separados.
- Distinguir entre situaciones donde corresponde sumar y situaciones donde corresponde multiplicar.
- Resolver problemas de conteo combinando, cuando sea necesario, el principio aditivo y el principio multiplicativo.
Idea central
El principio aditivo se usa cuando una elección puede hacerse de una forma o de otra, pero no de ambas al mismo tiempo.
Si una situación tiene \(a\) posibilidades en un primer caso y \(b\) posibilidades en un segundo caso, y esos casos no se repiten entre sí, entonces el total de posibilidades es:
\[ a+b \]
Principio aditivo
Si un proceso puede ocurrir mediante casos separados y no superpuestos, entonces se suman las cantidades de posibilidades de cada caso.
Para dos casos:
\[ \text{Total de casos}=a+b \]
Para varios casos:
\[ \text{Total de casos}=n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k \]
Ejemplo 1: elegir una actividad
Un estudiante puede elegir una actividad deportiva o una actividad artística.
- Actividades deportivas disponibles: \(5\).
- Actividades artísticas disponibles: \(3\).
Como el estudiante elegirá una actividad de un tipo o del otro, se suman las opciones:
\[ 5+3=8 \]
El estudiante tiene \(8\) actividades posibles para elegir.
Ejemplo 2: elegir un libro
En una biblioteca hay:
- 7 novelas disponibles.
- 4 libros de poesía disponibles.
- 6 libros de historia disponibles.
Si una persona quiere llevar solo un libro, puede elegir una novela, un libro de poesía o un libro de historia.
Como se trata de alternativas separadas, se aplica el principio aditivo:
\[ 7+4+6=17 \]
La persona tiene \(17\) formas distintas de elegir un libro.
Cómo reconocerlo
El principio aditivo aparece cuando el enunciado presenta alternativas separadas.
Palabras como “o”, “entre estos casos” o “puede ser de este tipo o de este otro” suelen indicar que hay que sumar.
Ejemplo 3: sumar casos separados
Una persona quiere comprar una entrada para un espectáculo. Puede elegir entre:
- 4 funciones en la mañana.
- 6 funciones en la tarde.
- 3 funciones en la noche.
Como comprará una entrada para una sola función, los casos son separados:
\[ 4+6+3=13 \]
Puede elegir entre \(13\) funciones distintas.
Error común
No se debe multiplicar cuando se elige una opción entre varios grupos separados.
Por ejemplo, si una persona elige un jugo o una bebida, no corresponde multiplicar, porque no está eligiendo ambos productos al mismo tiempo.
Ejemplo 4: distinguir suma y multiplicación
Compara las siguientes situaciones:
| Situación | Operación | Justificación |
|---|---|---|
| Elegir una bebida entre 4 opciones y un sándwich entre 5 opciones. | \(4\cdot 5=20\) | Se elige una bebida y un sándwich. |
| Elegir una bebida entre 4 opciones o un jugo entre 5 opciones. | \(4+5=9\) | Se elige una alternativa u otra. |
Cuando se realizan etapas juntas, se multiplica. Cuando se elige entre casos separados, se suma.
Combinación de principios
En algunos problemas se deben separar casos y, dentro de cada caso, aplicar el principio multiplicativo.
Primero se cuenta cada caso por separado. Luego se suman los resultados.
Ejemplo 5: sumar después de multiplicar
Un colegio ofrece talleres en dos horarios:
- En la mañana hay 3 talleres, y cada uno puede tomarse con 2 profesores distintos.
- En la tarde hay 4 talleres, y cada uno puede tomarse con 3 profesores distintos.
Contamos por casos.
Caso 1: mañana
\[ 3\cdot 2=6 \]
Caso 2: tarde
\[ 4\cdot 3=12 \]
Como el estudiante elige un taller en la mañana o en la tarde, se suman ambos casos:
\[ 6+12=18 \]
Hay \(18\) formas distintas de elegir un taller.
Casos que se repiten
El principio aditivo directo funciona cuando los casos no se repiten entre sí.
Si un mismo elemento aparece en dos grupos, al sumar se contaría dos veces. En ese caso se debe ajustar el conteo.
Ejemplo 6: cuidado con contar dos veces
En un curso, 12 estudiantes practican fútbol y 9 practican básquetbol. De ellos, 4 practican ambos deportes.
Si queremos contar cuántos estudiantes practican fútbol o básquetbol, no basta con sumar \(12+9\), porque los 4 estudiantes que practican ambos deportes quedarían contados dos veces.
Entonces:
\[ 12+9-4=17 \]
Hay \(17\) estudiantes que practican fútbol o básquetbol.
Ejercicio 1
Una persona puede elegir una película de acción entre 6 opciones o una comedia entre 5 opciones. Si verá solo una película, ¿cuántas opciones tiene?
La persona elegirá una película de acción o una comedia.
Como son alternativas separadas, se aplica el principio aditivo:
\[ 6+5=11 \]
Tiene \(11\) opciones de película.
Ejercicio 2
Una tienda vende 8 modelos de mochilas escolares, 5 modelos de mochilas deportivas y 4 modelos de mochilas de viaje. Si una persona comprará una sola mochila, ¿cuántos modelos puede elegir?
La persona comprará una mochila de un solo tipo:
- Escolar: \(8\) opciones.
- Deportiva: \(5\) opciones.
- De viaje: \(4\) opciones.
Como las categorías son alternativas separadas, se suman:
\[ 8+5+4=17 \]
Puede elegir entre \(17\) modelos de mochilas.
Ejercicio 3
Un estudiante puede inscribirse en un taller de música entre 4 opciones o en un taller de deporte entre 7 opciones. Si solo puede tomar un taller, ¿cuántas opciones tiene?
El estudiante debe elegir un taller de música o un taller de deporte.
Como solo tomará uno, los casos se suman:
\[ 4+7=11 \]
El estudiante tiene \(11\) opciones de taller.
Ejercicio 4
Decide si corresponde sumar o multiplicar. Luego resuelve.
Una persona debe elegir una entrada entre 3 opciones y un plato de fondo entre 6 opciones.
Corresponde multiplicar, porque la persona debe elegir una entrada y un plato de fondo.
Son dos etapas de una misma elección:
\[ 3\cdot 6=18 \]
Puede formar \(18\) combinaciones distintas de entrada y plato de fondo.
Ejercicio 5
Decide si corresponde sumar o multiplicar. Luego resuelve.
Una persona puede elegir una bebida entre 4 opciones o un jugo natural entre 6 opciones. Solo elegirá un producto.
Corresponde sumar, porque la persona elegirá una bebida o un jugo natural, pero no ambos.
Entonces:
\[ 4+6=10 \]
Tiene \(10\) opciones de producto.
Ejercicio 6
Un colegio organiza actividades en dos bloques:
- En el bloque A hay 5 actividades, cada una con 2 horarios disponibles.
- En el bloque B hay 3 actividades, cada una con 4 horarios disponibles.
Si un estudiante elegirá una actividad de un solo bloque, ¿cuántas opciones tiene considerando actividad y horario?
Separamos por casos.
Bloque A:
\[ 5\cdot 2=10 \]
Bloque B:
\[ 3\cdot 4=12 \]
Como elegirá una actividad del bloque A o del bloque B, se suman los casos:
\[ 10+12=22 \]
El estudiante tiene \(22\) opciones considerando actividad y horario.
Ejercicio 7
En una feria hay 9 puestos de comida salada y 6 puestos de comida dulce. Si una persona comprará en un solo puesto, ¿cuántas opciones tiene?
La persona comprará en un puesto de comida salada o en un puesto de comida dulce.
Como elegirá un solo puesto, se suman las opciones:
\[ 9+6=15 \]
Tiene \(15\) opciones de puesto.
Ejercicio 8
En un curso, 15 estudiantes participan en el taller de teatro y 12 participan en el taller de debate. Si 5 estudiantes participan en ambos talleres, ¿cuántos estudiantes participan en teatro o debate?
Si sumamos directamente:
\[ 15+12=27 \]
los estudiantes que participan en ambos talleres quedan contados dos veces.
Como hay \(5\) estudiantes en ambos talleres, debemos restarlos una vez:
\[ 15+12-5=22 \]
Participan \(22\) estudiantes en teatro o debate.
Para continuar
En la próxima página se estudiará el factorial, una herramienta que permite contar productos consecutivos como \(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\).