combinatoria y probabilidades
4. Factorial
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el factorial como un producto de números naturales consecutivos decrecientes.
- Calcular factoriales simples y expresiones con factoriales.
- Usar el factorial para preparar el estudio de variaciones, permutaciones y combinaciones.
Idea central
En combinatoria aparecen con frecuencia productos como:
\[ 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]
Para escribir este tipo de producto de manera abreviada, se usa el símbolo factorial.
Definición de factorial
Si \(n\) es un número natural, se define:
\[ n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]
Se lee: “\(n\) factorial”.
Además, por definición:
\[ 0!=1 \]
Ejemplo 1: calcular factoriales
Calculemos algunos factoriales simples.
\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]
Por lo tanto:
\[ 3!=6,\qquad 4!=24,\qquad 5!=120 \]
Relación entre factoriales consecutivos
Un factorial se puede escribir usando el factorial anterior.
Por ejemplo:
\[ 6!=6\cdot 5! \]
porque:
\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]
Ejemplo 2: usar el factorial anterior
Si sabemos que:
\[ 5!=120 \]
entonces podemos calcular \(6!\) así:
\[ 6!=6\cdot 5! \]
\[ 6!=6\cdot 120=720 \]
Por lo tanto:
\[ 6!=720 \]
Ejemplo 3: simplificar cocientes con factoriales
Simplifiquemos:
\[ \frac{7!}{5!} \]
Desarrollamos \(7!\) hasta llegar a \(5!\):
\[ 7!=7\cdot 6\cdot 5! \]
Entonces:
\[ \frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5!}{5!} \]
Como \(5!\) aparece en el numerador y en el denominador, se simplifica:
\[ \frac{7\cdot 6\cdot 5!}{5!}=7\cdot 6=42 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{7!}{5!}=42 \]
Error común
No se debe confundir \(n!\) con \(n\cdot n\).
Por ejemplo:
\[ 4!\neq 4\cdot 4 \]
Lo correcto es:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Ejemplo 4: expresión con suma de factoriales
Calculemos:
\[ 4!+3! \]
Primero calculamos cada factorial por separado:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]
Luego sumamos:
\[ 4!+3!=24+6=30 \]
Por lo tanto:
\[ 4!+3!=30 \]
Ejemplo 5: expresión con división de factoriales
Calculemos:
\[ \frac{6!}{3!} \]
Escribimos \(6!\) hasta llegar a \(3!\):
\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3! \]
Entonces:
\[ \frac{6!}{3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!} \]
Simplificamos \(3!\):
\[ 6\cdot 5\cdot 4=120 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{6!}{3!}=120 \]
¿Por qué el factorial sirve para contar?
El factorial aparece cuando se ordenan elementos sin repetirlos.
Por ejemplo, si hay 4 personas para formar una fila:
- para el primer lugar hay \(4\) opciones;
- para el segundo lugar quedan \(3\) opciones;
- para el tercer lugar quedan \(2\) opciones;
- para el cuarto lugar queda \(1\) opción.
Entonces:
\[ 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4! \]
Ejemplo 6: ordenar personas en una fila
Cuatro estudiantes, Ana, Bruno, Camila y Diego, se ordenarán en una fila.
Para contar los ordenamientos posibles, razonamos por lugares:
| Lugar en la fila | Cantidad de opciones |
|---|---|
| Primer lugar | \(4\) |
| Segundo lugar | \(3\) |
| Tercer lugar | \(2\) |
| Cuarto lugar | \(1\) |
Por el principio multiplicativo:
\[ 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!=24 \]
Se pueden ordenar de \(24\) formas distintas.
Ejercicio 1
Calcula \(5!\).
Desarrollamos el factorial:
\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]
Calculamos:
\[ 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]
Por lo tanto:
\[ 5!=120 \]
Ejercicio 2
Calcula \(6!\).
Desarrollamos el factorial:
\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]
Calculamos:
\[ 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720 \]
Por lo tanto:
\[ 6!=720 \]
Ejercicio 3
Simplifica:
\[ \frac{8!}{6!} \]
Escribimos \(8!\) hasta llegar a \(6!\):
\[ 8!=8\cdot 7\cdot 6! \]
Entonces:
\[ \frac{8!}{6!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!} \]
Simplificamos \(6!\):
\[ 8\cdot 7=56 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{8!}{6!}=56 \]
Ejercicio 4
Calcula:
\[ 4!+5! \]
Calculamos cada factorial:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]
Luego sumamos:
\[ 4!+5!=24+120=144 \]
Por lo tanto:
\[ 4!+5!=144 \]
Ejercicio 5
Simplifica:
\[ \frac{9!}{7!} \]
Escribimos \(9!\) hasta llegar a \(7!\):
\[ 9!=9\cdot 8\cdot 7! \]
Entonces:
\[ \frac{9!}{7!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7!}{7!} \]
Simplificamos \(7!\):
\[ 9\cdot 8=72 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{9!}{7!}=72 \]
Ejercicio 6
Calcula:
\[ \frac{6!}{4!}+3! \]
Primero simplificamos el cociente:
\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4! \]
Entonces:
\[ \frac{6!}{4!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=6\cdot 5=30 \]
Ahora calculamos:
\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]
Finalmente:
\[ \frac{6!}{4!}+3!=30+6=36 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{6!}{4!}+3!=36 \]
Ejercicio 7
¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 5 libros diferentes en una repisa?
Como los 5 libros son diferentes, para ordenarlos en una repisa razonamos por posiciones:
- Primera posición: \(5\) opciones.
- Segunda posición: \(4\) opciones.
- Tercera posición: \(3\) opciones.
- Cuarta posición: \(2\) opciones.
- Quinta posición: \(1\) opción.
Entonces:
\[ 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5! \]
\[ 5!=120 \]
Los 5 libros se pueden ordenar de \(120\) formas distintas.
Ejercicio 8
Una estudiante escribió lo siguiente:
\[ 4!=4\cdot 4=16 \]
Explica el error y calcula correctamente \(4!\).
El error está en interpretar \(4!\) como \(4\cdot 4\).
El factorial no significa multiplicar el número por sí mismo, sino multiplicar todos los enteros positivos desde ese número hasta \(1\).
Por lo tanto:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]
\[ 4!=24 \]
Entonces, el cálculo correcto es:
\[ 4!=24 \]
Para continuar
En la próxima página se estudiarán las variaciones con repetición, que permiten contar elecciones ordenadas donde un mismo elemento puede usarse más de una vez.