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6. Completando el Cuadrado: ¡Transformando Expresiones!

Completando el Cuadrado: ¡Transformando Expresiones!

En las páginas anteriores, hemos trabajado con trinomios cuadrados perfectos, que son el resultado de elevar un binomio al cuadrado. Ahora, vamos a aprender una técnica llamada "completar el cuadrado" que nos permite transformar expresiones que no son trinomios cuadrados perfectos en una forma que sí lo es. Esto es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas y simplificar expresiones algebraicas.

¿Cómo completar el cuadrado?

El objetivo de completar el cuadrado es convertir una expresión de la forma \(x^2 + bx\) o \(x^2 + bx + c\) en un trinomio cuadrado perfecto, que luego podemos factorizar como el cuadrado de un binomio.

Pasos para completar el cuadrado:

Identificar el coeficiente de 'x' (el valor 'b'): En la expresión \(x^2 + bx\), 'b' es el coeficiente que acompaña a la 'x'.
Dividir 'b' entre 2 y elevar al cuadrado: Calculamos \((b/2)^2\).
Sumar y restar \((b/2)^2\): Sumamos y restamos el valor obtenido en el paso anterior a la expresión original. Esto no altera el valor de la expresión, ya que estamos sumando y restando lo mismo.

Ejemplo: Completar el cuadrado en la expresión \(x^2 + 6x\).

El coeficiente de 'x' es 6 (b = 6).
Dividimos 6 entre 2 y elevamos al cuadrado: \((6/2)^2 = 3^2 = 9\).
Sumamos y restamos 9 a la expresión: \(x^2 + 6x + 9 - 9\).

Ahora, la expresión \(x^2 + 6x + 9\) es un trinomio cuadrado perfecto, que podemos factorizar como \((x + 3)^2\). Por lo tanto, la expresión original se puede escribir como: \((x + 3)^2 - 9\).

Ejercicios (Completando el Cuadrado)

Nivel 1: Completar el cuadrado en expresiones de la forma \(x^2 + bx\) (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 4x \)
Ejercicio 2: \( x^2 + 10x \)
Ejercicio 3: \( x^2 - 8x \)
Ejercicio 4: \( x^2 - 3x \)

Nivel 2: Completar el cuadrado en expresiones de la forma \(x^2 + bx + c\) (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 8x + 10 \)
Ejercicio 2: \( x^2 - 6x + 5 \)
Ejercicio 3: \( x^2 + 5x + 2 \)
Ejercicio 4: \( x^2 - 2x - 3 \)

Nivel 3: Completar el cuadrado con coeficientes racionales (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 3x \)
Ejercicio 2: \( x^2 - \frac{1}{2}x \)
Ejercicio 3: \( x^2 + \frac{2}{3}x + 1 \)
Ejercicio 4: \( x^2 - 0.8x + 0.1 \)
Ejercicio 5: \( 2x^2 + 4x \)
Ejercicio 6: \( 3x^2 - 9x + 6\)
Ejercicio 7: \( \frac{1}{2}x^2 + x + 2 \)
Ejercicio 8: \( 0.2x^2 - x + 1 \)
Ejercicio 9: \( 4x^2 - 6x + 2\)
Ejercicio 10: \( \frac{2}{3}x^2 + 4x -1 \)
Ejercicio 11: \( x^2 + \frac{3}{5}x \)
Ejercicio 12: \( x^2 - 1.2x + 1 \)
Ejercicio 13: \( 5x^2 + 10x -5 \)
Ejercicio 14: \( 0.1x^2 - 0.6x + 0.9 \)

Respuesta 1: \( x^2 + 3x = x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \)

Respuesta 2: \( x^2 - \frac{1}{2}x = x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16} = (x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} \)

Respuesta 3: \( x^2 + \frac{2}{3}x + 1 = x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + 1 = (x + \frac{1}{3})^2 + \frac{8}{9} \)

Respuesta 4: \( x^2 - 0.8x + 0.1 = x^2 - 0.8x + 0.16 - 0.16 + 0.1 = (x - 0.4)^2 - 0.06 \)

Respuesta 5: \( 2x^2 + 4x = 2(x^2 + 2x) = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) = 2[(x + 1)^2 - 1] = 2(x + 1)^2 - 2 \)

Respuesta 6: \( 3x^2 - 9x + 6 = 3(x^2 - 3x + 2) = 3(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 2) = 3[(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}] = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{3}{4} \)

Respuesta 7: \( \frac{1}{2}x^2 + x + 2 = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 4) = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1 + 4) = \frac{1}{2}[(x + 1)^2 + 3] = \frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{3}{2} \)

Respuesta 8: \( 0.2x^2 - x + 1 = 0.2(x^2 - 5x + 5) = 0.2(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} + 5) = 0.2[(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{5}{4}] = 0.2(x - \frac{5}{2})^2 - 0.25 \)

Respuesta 9: \( 4x^2 - 6x + 2 = 4(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}) = 4(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16} + \frac{1}{2}) = 4[(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{16}] = 4(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{4} \)

Respuesta 10: \( \frac{2}{3}x^2 + 4x - 1 = \frac{2}{3}(x^2 + 6x - \frac{3}{2}) = \frac{2}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9 - \frac{3}{2}) = \frac{2}{3}[(x + 3)^2 - \frac{21}{2}] = \frac{2}{3}(x + 3)^2 - 7 \)

Respuesta 11: \( x^2 + \frac{3}{5}x = x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{9}{100} - \frac{9}{100} = (x + \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{100} \)

Respuesta 12: \( x^2 - 1.2x + 1 = x^2 - 1.2x + 0.36 - 0.36 + 1 = (x - 0.6)^2 + 0.64 \)

Respuesta 13: \( 5x^2 + 10x - 5 = 5(x^2 + 2x - 1) = 5(x^2 + 2x + 1 - 1 - 1) = 5[(x + 1)^2 - 2] = 5(x + 1)^2 - 10 \)

Respuesta 14: \( 0.1x^2 - 0.6x + 0.9 = 0.1(x^2 - 6x + 9) = 0.1(x^2 - 6x + 9 - 9 + 9) = 0.1[(x - 3)^2] = 0.1(x - 3)^2 \)

Nivel 4: Utilizar la técnica de completar el cuadrado para reescribir expresiones en la forma \((x + p)^2 + q\) (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 6x + 5 \)
Ejercicio 2: \( x^2 - 4x + 3 \)
Ejercicio 3: \( x^2 + 2x - 8 \)
Ejercicio 4: \( x^2 - 8x + 12 \)
Ejercicio 5: \( x^2 + x - 2 \)
Ejercicio 6: \( x^2 - 3x + 1 \)
Ejercicio 7: \( x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \)
Ejercicio 8: \( x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \)
Ejercicio 9: \( 2x^2 + 8x + 6 \)
Ejercicio 10: \( 3x^2 - 6x + 1 \)
Ejercicio 11: \( \frac{1}{2}x^2 + 2x - 3 \)
Ejercicio 12: \( 0.1x^2 - x + 2 \)
Ejercicio 13: \( 4x^2 + 4x - 8\)
Ejercicio 14: \( \frac{2}{3}x^2 - 2x + 1 \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren completar el cuadrado.

Problema 1: La altura 'h' (en metros) que alcanza un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo 't' (en segundos) está dada por la expresión: \(h(t) = -5t^2 + 20t + 10\). ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?

Problema 2: Una empresa de tecnología ha encontrado que la ganancia 'G' (en miles de pesos) por la venta de 'x' unidades de un nuevo dispositivo se puede modelar con la expresión: \(G(x) = -2x^2 + 12x - 8\). ¿Cuántas unidades deben venderse para maximizar la ganancia?

Problema 3: El costo 'C' (en pesos) de producir 'x' unidades de un cierto artículo está dado por la expresión: \(C(x) = x^2 - 8x + 20\). ¿Cuál es el costo mínimo de producción?