combinatoria y probabilidades
5. Variaciones con repetición
Objetivo de aprendizaje
- Comprender las variaciones con repetición como elecciones ordenadas en las que un elemento puede usarse más de una vez.
- Aplicar la fórmula \(VR(n,k)=n^k\) en problemas de conteo.
- Reconocer situaciones donde importa el orden y se permite repetición.
Idea central
Una variación con repetición ocurre cuando se eligen \(k\) elementos desde un conjunto de \(n\) elementos, cumpliendo dos condiciones:
- El orden importa.
- Se permite repetir elementos.
Este tipo de conteo aparece, por ejemplo, en claves, códigos, patentes simplificadas, respuestas de pruebas y secuencias.
Fórmula
Si hay \(n\) opciones disponibles para cada posición y se deben completar \(k\) posiciones, permitiendo repetir elementos, entonces:
\[ VR(n,k)=n^k \]
Donde:
- \(n\) es la cantidad de elementos disponibles.
- \(k\) es la cantidad de posiciones que se deben completar.
- \(VR(n,k)\) representa las variaciones con repetición de \(n\) elementos tomados de \(k\) en \(k\).
Relación con el principio multiplicativo
La fórmula \(VR(n,k)=n^k\) viene directamente del principio multiplicativo.
Si en cada una de las \(k\) posiciones hay \(n\) opciones, entonces:
\[ \underbrace{n\cdot n\cdot n\cdots n}_{k\text{ veces}}=n^k \]
Ejemplo 1: clave de dos letras
Se quiere formar una clave de 2 letras usando las letras \(A\), \(B\) y \(C\). Se permite repetir letras.
Como la clave tiene 2 posiciones y en cada posición hay 3 opciones, tenemos:
| Posición | Cantidad de opciones |
|---|---|
| Primera letra | \(3\) |
| Segunda letra | \(3\) |
Entonces:
\[ 3\cdot 3=3^2=9 \]
Las claves posibles son:
\[ AA,\ AB,\ AC,\ BA,\ BB,\ BC,\ CA,\ CB,\ CC \]
Por lo tanto, se pueden formar \(9\) claves distintas.
Ejemplo 2: código numérico
Un código tiene 4 dígitos. Cada dígito puede ser \(0,1,2,\ldots,9\), y se permite repetir dígitos.
Hay \(10\) opciones para cada posición:
\[ 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 \]
Como son 4 posiciones, se escribe:
\[ VR(10,4)=10^4 \]
\[ 10^4=10000 \]
Se pueden formar \(10000\) códigos distintos.
Error común
No se debe restar opciones cuando la repetición está permitida.
Por ejemplo, si una clave permite repetir dígitos, después de elegir el primer dígito siguen estando disponibles los mismos \(10\) dígitos para la siguiente posición.
Por eso, para una clave de 4 dígitos con repetición se calcula:
\[ 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 \]
y no:
\[ 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7 \]
Ejemplo 3: respuestas de verdadero o falso
Una prueba tiene 6 preguntas de verdadero o falso. Cada pregunta tiene 2 posibles respuestas.
Como cada pregunta se puede responder de manera independiente, y las respuestas pueden repetirse, se tiene:
\[ VR(2,6)=2^6 \]
\[ 2^6=64 \]
La prueba se puede responder de \(64\) formas distintas.
Ejemplo 4: claves con letras
Una clave se forma con 3 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\). Se permite repetir letras.
En cada una de las 3 posiciones hay \(5\) opciones:
\[ 5\cdot 5\cdot 5 \]
Entonces:
\[ VR(5,3)=5^3=125 \]
Se pueden formar \(125\) claves distintas.
En este caso, el orden importa porque \(ABC\), \(ACB\) y \(BAC\) son claves diferentes.
¿Por qué importa el orden?
En una variación, cambiar el orden produce un resultado distinto.
Por ejemplo, en una clave:
\[ AB \neq BA \]
Aunque se usen las mismas letras, las posiciones son diferentes. Por eso el orden sí importa.
Ejemplo 5: código mixto
Un código se forma con 2 letras seguidas de 3 números.
- Para cada letra hay 4 opciones: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).
- Para cada número hay 10 opciones: \(0,1,2,\ldots,9\).
- Se permite repetir letras y números.
Contamos por posiciones:
\[ 4\cdot 4\cdot 10\cdot 10\cdot 10 \]
Entonces:
\[ 4^2\cdot 10^3=16\cdot 1000=16000 \]
Se pueden formar \(16000\) códigos distintos.
Resumen del caso
| Pregunta | Respuesta en variaciones con repetición |
|---|---|
| ¿Importa el orden? | Sí. |
| ¿Se permite repetir elementos? | Sí. |
| ¿Se eligen todos los elementos necesariamente? | No necesariamente. |
| Fórmula | \(VR(n,k)=n^k\) |
Ejercicio 1
Se quiere formar una clave de 3 dígitos usando los números del \(0\) al \(9\). Se permite repetir dígitos. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
Hay \(10\) dígitos disponibles:
\[ 0,1,2,\ldots,9 \]
La clave tiene 3 posiciones y se permite repetir, por lo tanto en cada posición hay \(10\) opciones.
\[ VR(10,3)=10^3 \]
\[ 10^3=1000 \]
Se pueden formar \(1000\) claves distintas.
Ejercicio 2
Una clave se forma con 4 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) y \(F\). Se permite repetir letras. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
Hay \(6\) letras disponibles y la clave tiene \(4\) posiciones.
Como se permite repetir letras, cada posición tiene \(6\) opciones:
\[ VR(6,4)=6^4 \]
Calculamos:
\[ 6^4=6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=1296 \]
Se pueden formar \(1296\) claves distintas.
Ejercicio 3
Una prueba tiene 8 preguntas de verdadero o falso. ¿De cuántas formas distintas se puede responder la prueba completa?
Cada pregunta tiene \(2\) opciones: verdadero o falso.
Como hay \(8\) preguntas, se tienen \(8\) posiciones con \(2\) opciones cada una:
\[ VR(2,8)=2^8 \]
\[ 2^8=256 \]
La prueba se puede responder de \(256\) formas distintas.
Ejercicio 4
Un código se forma con 5 caracteres. Cada carácter puede ser una de las letras \(A\), \(B\), \(C\) o \(D\). Se permite repetir letras. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
Hay \(4\) letras disponibles y el código tiene \(5\) posiciones.
Como se permite repetir letras:
\[ VR(4,5)=4^5 \]
Calculamos:
\[ 4^5=1024 \]
Se pueden formar \(1024\) códigos distintos.
Ejercicio 5
Una aplicación pide crear una contraseña de 6 dígitos. Cada dígito puede ser \(0,1,2,\ldots,9\), y se permite repetir. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden crear?
Cada una de las 6 posiciones puede completarse con cualquiera de los \(10\) dígitos.
Como se permite repetir:
\[ VR(10,6)=10^6 \]
\[ 10^6=1000000 \]
Se pueden crear \(1000000\) contraseñas distintas.
Ejercicio 6
Un código se forma con una letra seguida de dos números. La letra puede ser \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) o \(E\), y cada número puede ser un dígito del \(0\) al \(9\). Se permite repetir números. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
El código tiene tres posiciones:
- Primera posición: una letra, con \(5\) opciones.
- Segunda posición: un dígito, con \(10\) opciones.
- Tercera posición: un dígito, con \(10\) opciones.
Como se permite repetir números, cada posición numérica tiene \(10\) opciones:
\[ 5\cdot 10\cdot 10=500 \]
Se pueden formar \(500\) códigos distintos.
Ejercicio 7
Un estudiante dice que una clave de 4 dígitos, permitiendo repetición, se cuenta así:
\[ 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7 \]
Explica el error y calcula correctamente la cantidad de claves posibles.
El error está en disminuir la cantidad de opciones en cada posición.
Eso se haría si no se permitiera repetir dígitos. Pero el enunciado dice que sí se permite repetir.
Por lo tanto, cada una de las 4 posiciones tiene \(10\) opciones:
\[ 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^4 \]
\[ 10^4=10000 \]
La cantidad correcta es \(10000\) claves posibles.
Ejercicio 8
Una encuesta tiene 5 preguntas. En cada pregunta se debe elegir una alternativa entre \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\). ¿De cuántas formas distintas puede responderse la encuesta completa?
Cada pregunta tiene \(4\) alternativas.
Como la encuesta tiene \(5\) preguntas, se aplican variaciones con repetición:
\[ VR(4,5)=4^5 \]
\[ 4^5=1024 \]
La encuesta completa puede responderse de \(1024\) formas distintas.
Para continuar
En la próxima página se estudiarán las variaciones sin repetición, donde el orden sigue importando, pero un elemento ya usado no puede volver a utilizarse.