combinatoria y probabilidades
6. Variaciones sin repetición
Objetivo de aprendizaje
- Comprender las variaciones sin repetición como elecciones ordenadas en las que cada elemento puede usarse solo una vez.
- Aplicar la fórmula \(V(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) en problemas de conteo.
- Distinguir variaciones sin repetición de variaciones con repetición, según las condiciones del problema.
Idea central
Una variación sin repetición ocurre cuando se eligen \(k\) elementos desde un conjunto de \(n\) elementos, cumpliendo dos condiciones:
- El orden importa.
- No se permite repetir elementos.
Este tipo de conteo aparece, por ejemplo, al asignar cargos, formar podios, crear códigos sin repetir símbolos o elegir personas para puestos distintos.
Fórmula
Si se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\), sin repetir y considerando el orden, entonces:
\[ V(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} \]
También puede escribirse como producto decreciente:
\[ V(n,k)=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1) \]
Donde:
- \(n\) es la cantidad total de elementos disponibles.
- \(k\) es la cantidad de elementos que se eligen y ordenan.
- Se requiere que \(0\leq k\leq n\).
Relación con el principio multiplicativo
La fórmula de variaciones sin repetición nace del principio multiplicativo.
Si hay \(n\) opciones para el primer lugar, luego quedan \(n-1\), después \(n-2\), y así sucesivamente, entonces se multiplican las opciones disponibles en cada posición.
Ejemplo 1: podio de una competencia
En una carrera participan 8 estudiantes. Se deben asignar primer, segundo y tercer lugar. ¿De cuántas formas distintas puede formarse el podio?
El orden importa, porque no es lo mismo obtener primer lugar que segundo o tercero.
Además, una misma persona no puede ocupar dos lugares del podio, por lo tanto no se permite repetir.
| Lugar | Cantidad de opciones |
|---|---|
| Primer lugar | \(8\) |
| Segundo lugar | \(7\) |
| Tercer lugar | \(6\) |
Entonces:
\[ 8\cdot 7\cdot 6=336 \]
Usando la fórmula:
\[ V(8,3)=\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!} \]
\[ \frac{8!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6=336 \]
El podio puede formarse de \(336\) formas distintas.
Ejemplo 2: clave de letras sin repetir
Se quiere formar una clave de 3 letras usando las letras \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), sin repetir letras. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
Hay \(5\) letras disponibles y se deben completar \(3\) posiciones.
Como no se permite repetir, la cantidad de opciones disminuye en cada posición:
\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]
Usando la fórmula:
\[ V(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!} \]
\[ \frac{5!}{2!}=5\cdot 4\cdot 3=60 \]
Se pueden formar \(60\) claves distintas.
El orden importa porque \(ABC\), \(ACB\) y \(BAC\) son claves diferentes.
Error común
No se debe usar \(n^k\) cuando el problema dice que no se puede repetir.
Por ejemplo, para formar una clave de 3 letras usando 5 letras sin repetir, no corresponde calcular:
\[ 5^3 \]
Lo correcto es:
\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]
porque después de usar una letra, esta ya no queda disponible para las siguientes posiciones.
Ejemplo 3: cargos en un curso
Un curso debe elegir presidente, secretario y tesorero entre 10 estudiantes. Una persona no puede tener más de un cargo. ¿De cuántas formas se pueden asignar los cargos?
Hay \(10\) estudiantes disponibles y se deben elegir \(3\) para cargos distintos.
El orden importa, porque los cargos son diferentes.
Además, no se permite repetir estudiantes.
Entonces:
\[ V(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!} \]
\[ \frac{10!}{7!}=10\cdot 9\cdot 8=720 \]
Los cargos se pueden asignar de \(720\) formas distintas.
Ejemplo 4: código numérico sin repetir
Un código tiene 4 dígitos. Se pueden usar los dígitos del \(0\) al \(9\), pero no se permite repetir. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
Hay \(10\) dígitos disponibles y se deben completar \(4\) posiciones.
Como no se permite repetir, se tiene:
\[ 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040 \]
Usando la fórmula:
\[ V(10,4)=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!} \]
\[ \frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040 \]
Se pueden formar \(5040\) códigos distintos.
Comparación con repetición y sin repetición
Consideremos una clave de 3 letras usando \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\).
| Condición | Cálculo | Total |
|---|---|---|
| Con repetición | \(5\cdot 5\cdot 5=5^3\) | \(125\) |
| Sin repetición | \(5\cdot 4\cdot 3\) | \(60\) |
La diferencia está en que, sin repetición, cada elemento usado deja de estar disponible.
Ejemplo 5: números de tres cifras sin repetir
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar usando los dígitos del \(1\) al \(9\)?
Se deben formar números de tres cifras, por lo tanto el orden importa.
Además, las cifras deben ser distintas, así que no se permite repetir.
Hay \(9\) opciones para la primera cifra, luego \(8\) para la segunda y \(7\) para la tercera:
\[ 9\cdot 8\cdot 7=504 \]
También:
\[ V(9,3)=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!}=504 \]
Se pueden formar \(504\) números de tres cifras distintas.
Resumen del caso
| Pregunta | Respuesta en variaciones sin repetición |
|---|---|
| ¿Importa el orden? | Sí. |
| ¿Se permite repetir elementos? | No. |
| ¿Se eligen todos los elementos necesariamente? | No necesariamente. |
| Fórmula | \(V(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) |
Ejercicio 1
En una competencia participan 6 estudiantes. Se deben asignar primer y segundo lugar. ¿De cuántas formas distintas puede formarse este resultado?
El orden importa, porque primer lugar y segundo lugar son posiciones distintas.
No se permite repetir, porque un estudiante no puede ocupar ambos lugares.
Entonces:
\[ V(6,2)=\frac{6!}{(6-2)!}=\frac{6!}{4!} \]
\[ \frac{6!}{4!}=6\cdot 5=30 \]
El resultado puede formarse de \(30\) formas distintas.
Ejercicio 2
Se quiere formar una clave de 3 letras usando \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) y \(F\), sin repetir letras. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
Hay \(6\) letras disponibles y se deben completar \(3\) posiciones.
Como el orden importa y no se permite repetir:
\[ V(6,3)=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!} \]
\[ \frac{6!}{3!}=6\cdot 5\cdot 4=120 \]
Se pueden formar \(120\) claves distintas.
Ejercicio 3
Un curso debe elegir presidente, secretario y encargado de convivencia entre 12 estudiantes. Una persona no puede ocupar más de un cargo. ¿De cuántas formas se pueden asignar los cargos?
Los cargos son distintos, por lo tanto el orden importa.
Además, una persona no puede ocupar más de un cargo, por lo tanto no se permite repetir.
Hay \(12\) opciones para el primer cargo, \(11\) para el segundo y \(10\) para el tercero:
\[ 12\cdot 11\cdot 10=1320 \]
Usando la fórmula:
\[ V(12,3)=\frac{12!}{9!}=12\cdot 11\cdot 10=1320 \]
Los cargos se pueden asignar de \(1320\) formas distintas.
Ejercicio 4
Una clave de 4 dígitos se forma usando los dígitos \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\), sin repetir. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
Hay \(9\) dígitos disponibles y la clave tiene \(4\) posiciones.
Como no se permite repetir:
\[ V(9,4)=\frac{9!}{(9-4)!}=\frac{9!}{5!} \]
\[ \frac{9!}{5!}=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=3024 \]
Se pueden formar \(3024\) claves distintas.
Ejercicio 5
¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar usando los dígitos del \(1\) al \(9\)?
Se forman números de dos cifras, por lo tanto el orden importa.
Como las cifras deben ser distintas, no se permite repetir.
Para la primera cifra hay \(9\) opciones. Para la segunda quedan \(8\) opciones.
\[ 9\cdot 8=72 \]
También:
\[ V(9,2)=\frac{9!}{7!}=9\cdot 8=72 \]
Se pueden formar \(72\) números de dos cifras distintas.
Ejercicio 6
Una estudiante dice que, para formar una clave de 3 letras usando 5 letras sin repetir, se debe calcular \(5^3\). Explica el error y calcula correctamente.
El error es usar una fórmula con repetición.
La expresión \(5^3\) corresponde al caso en que cada posición puede volver a usar cualquiera de las 5 letras.
Pero el enunciado dice que no se puede repetir.
Entonces, las opciones disminuyen:
\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]
También:
\[ V(5,3)=\frac{5!}{2!}=60 \]
La cantidad correcta es \(60\) claves distintas.
Ejercicio 7
En una final participan 9 equipos. Se deben entregar medallas de oro, plata y bronce. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las medallas?
Las medallas son distintas, por lo tanto el orden importa.
Un equipo no puede recibir más de una medalla, así que no se permite repetir.
Entonces:
\[ V(9,3)=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!} \]
\[ \frac{9!}{6!}=9\cdot 8\cdot 7=504 \]
Las medallas se pueden repartir de \(504\) formas distintas.
Ejercicio 8
Una biblioteca tiene 11 libros distintos. Se quieren escoger 4 para ordenarlos en una vitrina, de izquierda a derecha. ¿De cuántas formas se puede hacer?
Se eligen \(4\) libros de un total de \(11\), y luego quedan ubicados en posiciones distintas de izquierda a derecha.
El orden importa, porque cambiar el orden de los libros en la vitrina produce una disposición diferente.
No se repiten libros.
Entonces:
\[ V(11,4)=\frac{11!}{(11-4)!}=\frac{11!}{7!} \]
\[ \frac{11!}{7!}=11\cdot 10\cdot 9\cdot 8=7920 \]
Se puede hacer de \(7920\) formas distintas.
Para continuar
En la próxima página se estudiarán las permutaciones sin repetición, que corresponden al caso particular en que se ordenan todos los elementos disponibles.