combinatoria y probabilidades
8. Permutaciones con repetición
Objetivo de aprendizaje
- Comprender las permutaciones con repetición como ordenamientos de elementos donde algunos se repiten.
- Aplicar la fórmula \(P=\dfrac{n!}{a!b!c!\cdots}\) para contar ordenamientos sin repetir casos equivalentes.
- Distinguir entre permutaciones sin repetición y permutaciones con repetición según si todos los elementos son distintos o no.
Idea central
Una permutación con repetición ocurre cuando se ordenan todos los elementos disponibles, pero algunos de ellos son iguales entre sí.
En este caso:
- El orden importa.
- Se usan todos los elementos.
- Algunos elementos se repiten o son indistinguibles.
Fórmula
Si se ordenan \(n\) elementos en total, donde hay grupos de elementos repetidos de tamaños \(a\), \(b\), \(c\), etc., entonces la cantidad de permutaciones distintas es:
\[ P=\frac{n!}{a!b!c!\cdots} \]
Donde:
- \(n\) es el total de elementos que se ordenan.
- \(a\), \(b\), \(c\), etc., son las cantidades de elementos repetidos de cada tipo.
¿Por qué se divide?
Si todos los elementos fueran distintos, se contaría \(n!\). Pero cuando algunos elementos son iguales, varios ordenamientos quedan repetidos.
Por eso se divide por las permutaciones internas de los elementos que son iguales.
Ejemplo 1: ordenar las letras de MAMA
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(MAMA\)?
La palabra tiene \(4\) letras en total:
\[ M,\ A,\ M,\ A \]
Pero hay letras repetidas:
- La letra \(M\) aparece \(2\) veces.
- La letra \(A\) aparece \(2\) veces.
Entonces:
\[ P=\frac{4!}{2!2!} \]
Calculamos:
\[ \frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot 2}=\frac{24}{4}=6 \]
Se pueden formar \(6\) ordenaciones distintas.
Ejemplo 2: ordenar las letras de CASA
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(CASA\)?
La palabra tiene \(4\) letras:
\[ C,\ A,\ S,\ A \]
La letra \(A\) aparece \(2\) veces. Las letras \(C\) y \(S\) aparecen una vez.
Si todas fueran distintas, habría \(4!\) ordenamientos. Pero como hay dos letras \(A\) iguales, se divide por \(2!\):
\[ P=\frac{4!}{2!} \]
\[ P=\frac{24}{2}=12 \]
Se pueden formar \(12\) ordenaciones distintas.
Error común
No se debe usar directamente \(n!\) cuando hay elementos repetidos.
Por ejemplo, para \(MAMA\), calcular \(4!=24\) cuenta como distintas algunas ordenaciones que en realidad son iguales, porque las dos letras \(M\) son indistinguibles y las dos letras \(A\) también.
Lo correcto es:
\[ \frac{4!}{2!2!}=6 \]
Ejemplo 3: ordenar las letras de BANANA
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(BANANA\)?
La palabra tiene \(6\) letras en total:
\[ B,\ A,\ N,\ A,\ N,\ A \]
Contamos las repeticiones:
- La letra \(A\) aparece \(3\) veces.
- La letra \(N\) aparece \(2\) veces.
- La letra \(B\) aparece \(1\) vez.
Entonces:
\[ P=\frac{6!}{3!2!} \]
Calculamos:
\[ 6!=720,\qquad 3!=6,\qquad 2!=2 \]
\[ P=\frac{720}{6\cdot 2}=\frac{720}{12}=60 \]
Se pueden formar \(60\) ordenaciones distintas.
Ejemplo 4: ordenar fichas de colores
Se tienen 7 fichas en una fila: 3 rojas, 2 azules y 2 verdes. Las fichas del mismo color son iguales entre sí. ¿De cuántas formas distintas pueden ordenarse?
Hay \(7\) fichas en total, pero algunas son repetidas:
- 3 fichas rojas.
- 2 fichas azules.
- 2 fichas verdes.
Entonces:
\[ P=\frac{7!}{3!2!2!} \]
Calculamos:
\[ 7!=5040,\qquad 3!=6,\qquad 2!=2 \]
\[ P=\frac{5040}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{5040}{24}=210 \]
Las fichas pueden ordenarse de \(210\) formas distintas.
Comparación entre permutaciones sin repetición y con repetición
La diferencia está en si todos los elementos son distintos o si algunos son iguales.
| Situación | Tipo de conteo | Cálculo |
|---|---|---|
| Ordenar \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) | Permutación sin repetición | \(4!=24\) |
| Ordenar \(A\), \(A\), \(B\), \(C\) | Permutación con repetición | \(\dfrac{4!}{2!}=12\) |
Ejemplo 5: resultados de una secuencia
Una secuencia contiene 5 símbolos: \(X\), \(X\), \(Y\), \(Y\), \(Y\). ¿Cuántas secuencias distintas se pueden formar usando todos los símbolos?
Hay \(5\) símbolos en total:
- \(X\) aparece \(2\) veces.
- \(Y\) aparece \(3\) veces.
Entonces:
\[ P=\frac{5!}{2!3!} \]
\[ P=\frac{120}{2\cdot 6}=\frac{120}{12}=10 \]
Se pueden formar \(10\) secuencias distintas.
Resumen del caso
| Pregunta | Respuesta en permutaciones con repetición |
|---|---|
| ¿Importa el orden? | Sí. |
| ¿Se usan todos los elementos? | Sí. |
| ¿Hay elementos repetidos o indistinguibles? | Sí. |
| Fórmula | \(P=\dfrac{n!}{a!b!c!\cdots}\) |
Ejercicio 1
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(OSO\)?
La palabra \(OSO\) tiene \(3\) letras en total.
La letra \(O\) aparece \(2\) veces y la letra \(S\) aparece \(1\) vez.
Entonces:
\[ P=\frac{3!}{2!} \]
\[ P=\frac{6}{2}=3 \]
Se pueden formar \(3\) ordenaciones distintas.
Ejercicio 2
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(PAPA\)?
La palabra \(PAPA\) tiene \(4\) letras en total.
Las repeticiones son:
- \(P\) aparece \(2\) veces.
- \(A\) aparece \(2\) veces.
Entonces:
\[ P=\frac{4!}{2!2!} \]
\[ P=\frac{24}{2\cdot 2}=\frac{24}{4}=6 \]
Se pueden formar \(6\) ordenaciones distintas.
Ejercicio 3
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(ANANA\)?
La palabra \(ANANA\) tiene \(5\) letras en total.
Contamos las repeticiones:
- \(A\) aparece \(3\) veces.
- \(N\) aparece \(2\) veces.
Entonces:
\[ P=\frac{5!}{3!2!} \]
\[ P=\frac{120}{6\cdot 2}=\frac{120}{12}=10 \]
Se pueden formar \(10\) ordenaciones distintas.
Ejercicio 4
Se tienen 6 fichas en una fila: 3 blancas y 3 negras. Las fichas del mismo color son iguales. ¿De cuántas formas distintas pueden ordenarse?
Hay \(6\) fichas en total.
Las fichas repetidas son:
- 3 blancas.
- 3 negras.
Entonces:
\[ P=\frac{6!}{3!3!} \]
\[ P=\frac{720}{6\cdot 6}=\frac{720}{36}=20 \]
Las fichas pueden ordenarse de \(20\) formas distintas.
Ejercicio 5
Se tienen 8 fichas: 4 rojas, 2 azules y 2 verdes. Si las fichas del mismo color son indistinguibles, ¿cuántas filas distintas se pueden formar?
Hay \(8\) fichas en total.
Las repeticiones son:
- 4 rojas.
- 2 azules.
- 2 verdes.
Aplicamos la fórmula:
\[ P=\frac{8!}{4!2!2!} \]
Calculamos:
\[ 8!=40320,\qquad 4!=24,\qquad 2!=2 \]
\[ P=\frac{40320}{24\cdot 2\cdot 2}=\frac{40320}{96}=420 \]
Se pueden formar \(420\) filas distintas.
Ejercicio 6
Un estudiante dice que la palabra \(CASA\) se puede ordenar de \(4!=24\) formas distintas. Explica el error y calcula correctamente.
El error es considerar las 4 letras como si todas fueran distintas.
En la palabra \(CASA\), la letra \(A\) aparece \(2\) veces. Al intercambiar esas dos letras \(A\), la palabra no cambia.
Por eso se debe dividir por \(2!\):
\[ P=\frac{4!}{2!} \]
\[ P=\frac{24}{2}=12 \]
La cantidad correcta es \(12\) ordenaciones distintas.
Ejercicio 7
¿Cuántas secuencias distintas se pueden formar usando todos los símbolos \(A,A,A,B,B,C\)?
Hay \(6\) símbolos en total.
Las repeticiones son:
- \(A\) aparece \(3\) veces.
- \(B\) aparece \(2\) veces.
- \(C\) aparece \(1\) vez.
Entonces:
\[ P=\frac{6!}{3!2!} \]
\[ P=\frac{720}{6\cdot 2}=\frac{720}{12}=60 \]
Se pueden formar \(60\) secuencias distintas.
Ejercicio 8
Una bandera horizontal se formará con 7 franjas: 3 rojas, 2 blancas y 2 azules. Las franjas del mismo color son iguales. ¿Cuántas banderas distintas se pueden formar?
Se deben ordenar \(7\) franjas en total.
Las repeticiones son:
- 3 franjas rojas.
- 2 franjas blancas.
- 2 franjas azules.
Entonces:
\[ P=\frac{7!}{3!2!2!} \]
\[ P=\frac{5040}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{5040}{24}=210 \]
Se pueden formar \(210\) banderas distintas.
Para continuar
En la próxima página se estudiarán las combinaciones sin repetición, que se usan cuando se eligen elementos sin importar el orden.