combinatoria y probabilidades
12. Problemas mixtos guiados
Objetivo de aprendizaje
- Resolver problemas de conteo que requieren elegir entre distintas técnicas combinatorias.
- Combinar principios aditivo y multiplicativo con variaciones, permutaciones y combinaciones.
- Justificar la estrategia utilizada antes de realizar el cálculo.
Idea central
En los problemas mixtos no siempre basta con aplicar una sola fórmula de manera directa. A veces primero se deben separar casos, luego contar cada caso y finalmente combinar los resultados.
Por eso, antes de calcular, conviene analizar la estructura del problema.
Procedimiento general
- Identifica qué se está formando: clave, grupo, fila, selección, cargo, secuencia u otro objeto.
- Decide si el orden importa.
- Determina si se permite repetir elementos.
- Observa si se usan todos los elementos o solo algunos.
- Separa en casos si el problema usa condiciones como “o”, “al menos”, “exactamente” o “puede ser de tipo A o B”.
- Calcula cada parte y combina los resultados usando suma o multiplicación según corresponda.
Ejemplo 1: elegir un menú con casos separados
Un restaurante ofrece dos tipos de menú:
- Menú tradicional: 3 entradas y 5 platos de fondo.
- Menú vegetariano: 2 entradas y 4 platos de fondo.
Una persona elegirá un solo menú, formado por una entrada y un plato de fondo. ¿Cuántas opciones tiene?
Primero contamos cada tipo de menú.
Menú tradicional:
\[ 3\cdot 5=15 \]
Menú vegetariano:
\[ 2\cdot 4=8 \]
Como la persona elige menú tradicional o menú vegetariano, sumamos los casos:
\[ 15+8=23 \]
La persona tiene \(23\) opciones de menú.
Ejemplo 2: formar un código con distintas partes
Un código se forma con 2 letras seguidas de 3 dígitos. Las letras se eligen entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), sin repetir. Los dígitos se eligen entre \(0,1,2,\ldots,9\), permitiendo repetir. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
El código tiene dos partes.
Parte 1: letras sin repetir
Hay 5 letras disponibles y se eligen 2 con orden:
\[ V(5,2)=5\cdot 4=20 \]
Parte 2: dígitos con repetición
Hay 10 dígitos disponibles y se eligen 3 con repetición:
\[ VR(10,3)=10^3=1000 \]
Como ambas partes forman un mismo código, multiplicamos:
\[ 20\cdot 1000=20000 \]
Se pueden formar \(20000\) códigos distintos.
Ejemplo 3: elegir un grupo y luego un cargo
De un curso de 12 estudiantes se elegirá un grupo de 4 para una actividad. Luego, dentro del grupo elegido, se nombrará un vocero. ¿De cuántas formas se puede hacer?
Primero se elige el grupo. Como no hay cargos en esta etapa, el orden no importa:
\[ C(12,4)=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=495 \]
Después, dentro de cada grupo de 4 estudiantes, se elige un vocero:
\[ 4 \]
Como ambas decisiones ocurren juntas, multiplicamos:
\[ 495\cdot 4=1980 \]
Se puede hacer de \(1980\) formas distintas.
Ejemplo 4: ordenar letras con repetición
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar usando todas las letras de la palabra \(MATEMATICA\)?
La palabra tiene 10 letras en total:
\[ M,A,T,E,M,A,T,I,C,A \]
Contamos las repeticiones:
- \(A\) aparece 3 veces.
- \(M\) aparece 2 veces.
- \(T\) aparece 2 veces.
- \(E\), \(I\) y \(C\) aparecen una vez cada una.
Corresponde una permutación con repetición:
\[ P=\frac{10!}{3!2!2!} \]
\[ P=\frac{3628800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3628800}{24}=151200 \]
Se pueden formar \(151200\) ordenaciones distintas.
Ejemplo 5: formar un número con restricción inicial
¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar usando los dígitos del \(0\) al \(9\)?
Un número de 4 cifras no puede comenzar con \(0\).
Contamos por posiciones:
- Primera cifra: \(9\) opciones, porque puede ser \(1,2,\ldots,9\).
- Segunda cifra: \(9\) opciones, porque quedan 9 dígitos disponibles, incluyendo el \(0\).
- Tercera cifra: \(8\) opciones.
- Cuarta cifra: \(7\) opciones.
Entonces:
\[ 9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536 \]
Se pueden formar \(4536\) números de 4 cifras distintas.
Error común
En problemas mixtos, un error frecuente es aplicar una fórmula antes de interpretar las condiciones. Por ejemplo, si aparece un código de 4 cifras, no siempre corresponde \(10^4\): puede haber restricciones como no repetir dígitos o no comenzar con cero.
Ejercicio 1
Una cafetería ofrece dos promociones:
- Promoción A: 4 tipos de café y 3 tipos de pastel.
- Promoción B: 5 tipos de té y 2 tipos de galleta.
Una persona elegirá una sola promoción. ¿Cuántas opciones distintas tiene?
Contamos cada promoción por separado.
Promoción A:
\[ 4\cdot 3=12 \]
Promoción B:
\[ 5\cdot 2=10 \]
Como la persona elegirá la promoción A o la promoción B, se suman los casos:
\[ 12+10=22 \]
Tiene \(22\) opciones distintas.
Ejercicio 2
Un código se forma con 3 letras distintas elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) y \(F\), seguidas de 2 dígitos que pueden repetirse. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
Primero contamos las letras.
Hay 6 letras disponibles y se eligen 3 sin repetir, con orden:
\[ V(6,3)=6\cdot 5\cdot 4=120 \]
Luego contamos los dígitos.
Hay 10 dígitos y se eligen 2 permitiendo repetición:
\[ VR(10,2)=10^2=100 \]
Como ambas partes forman un mismo código, multiplicamos:
\[ 120\cdot 100=12000 \]
Se pueden formar \(12000\) códigos distintos.
Ejercicio 3
De un grupo de 15 estudiantes se elegirá un equipo de 5. Luego, dentro del equipo, se escogerá un capitán. ¿De cuántas formas se puede hacer?
Primero se elige el equipo de 5 estudiantes. Como en esta etapa no hay cargos, el orden no importa:
\[ C(15,5)=3003 \]
Luego, dentro de cada equipo, se elige un capitán. Hay \(5\) opciones:
\[ 5 \]
Multiplicamos ambas decisiones:
\[ 3003\cdot 5=15015 \]
Se puede hacer de \(15015\) formas distintas.
Ejercicio 4
¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar usando los dígitos del \(0\) al \(9\)?
Un número de 3 cifras no puede comenzar con \(0\).
Contamos por posiciones:
- Primera cifra: \(9\) opciones, desde \(1\) hasta \(9\).
- Segunda cifra: \(9\) opciones, porque quedan 9 dígitos disponibles, incluyendo el \(0\).
- Tercera cifra: \(8\) opciones.
Entonces:
\[ 9\cdot 9\cdot 8=648 \]
Se pueden formar \(648\) números de 3 cifras distintas.
Ejercicio 5
Una persona quiere comprar 4 donas entre 6 tipos disponibles, pudiendo repetir tipos. Además elegirá una bebida entre 3 opciones. Si el orden de las donas no importa, ¿cuántas compras distintas puede hacer?
Primero contamos la elección de donas.
Se eligen 4 donas entre 6 tipos, con repetición y sin importar el orden:
\[ CR(6,4)=C(6+4-1,4)=C(9,4) \]
\[ C(9,4)=126 \]
Luego se elige una bebida entre 3 opciones:
\[ 3 \]
Como la compra incluye donas y bebida, multiplicamos:
\[ 126\cdot 3=378 \]
Puede hacer \(378\) compras distintas.
Ejercicio 6
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar usando todas las letras de la palabra \(ESTADISTICA\)?
La palabra \(ESTADISTICA\) tiene 11 letras:
\[ E,S,T,A,D,I,S,T,I,C,A \]
Contamos las repeticiones:
- \(A\) aparece \(2\) veces.
- \(S\) aparece \(2\) veces.
- \(T\) aparece \(2\) veces.
- \(I\) aparece \(2\) veces.
- \(E\), \(D\) y \(C\) aparecen una vez cada una.
Corresponde una permutación con repetición:
\[ P=\frac{11!}{2!2!2!2!} \]
\[ P=\frac{39916800}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2} \]
\[ P=\frac{39916800}{16}=2494800 \]
Se pueden formar \(2494800\) ordenaciones distintas.
Ejercicio 7
Una prueba tiene 10 preguntas y el estudiante debe elegir 6 para responder. De esas 6, elegirá una para desarrollarla en la pizarra. ¿De cuántas formas puede hacer ambas elecciones?
Primero se eligen 6 preguntas de un total de 10. El orden no importa:
\[ C(10,6)=210 \]
Luego, dentro de las 6 preguntas elegidas, se escoge una para desarrollarla en la pizarra:
\[ 6 \]
Multiplicamos:
\[ 210\cdot 6=1260 \]
Puede hacer ambas elecciones de \(1260\) formas distintas.
Ejercicio 8
Un colegio debe elegir una delegación de 3 estudiantes entre 9 y una delegación de 2 apoderados entre 6. No hay cargos dentro de cada delegación. ¿De cuántas formas se pueden formar ambas delegaciones?
Primero elegimos la delegación de estudiantes:
\[ C(9,3)=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84 \]
Luego elegimos la delegación de apoderados:
\[ C(6,2)=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=15 \]
Como se forman ambas delegaciones, multiplicamos:
\[ 84\cdot 15=1260 \]
Se pueden formar ambas delegaciones de \(1260\) formas distintas.
Para continuar
En la próxima página se aplicará la combinatoria al cálculo de probabilidades, relacionando casos favorables y casos posibles.