combinatoria y probabilidades
13. Combinatoria aplicada a probabilidades
Objetivo de aprendizaje
- Aplicar técnicas de conteo para calcular probabilidades en situaciones con muchos casos posibles.
- Relacionar casos favorables y casos posibles usando variaciones, permutaciones y combinaciones.
- Interpretar probabilidades como razones entre cantidades de casos.
Idea central
La combinatoria permite contar posibilidades sin tener que escribirlas una por una. En probabilidad, esto es muy útil porque muchas veces necesitamos contar:
- cuántos casos son posibles;
- cuántos casos cumplen una condición.
Luego, la probabilidad se calcula comparando ambas cantidades.
Probabilidad clásica
Cuando todos los casos son igualmente probables, se puede usar:
\[ P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} \]
Donde:
- Casos posibles: todos los resultados que pueden ocurrir.
- Casos favorables: los resultados que cumplen la condición del evento \(A\).
Preguntas clave
Antes de calcular una probabilidad, conviene hacerse estas preguntas:
- ¿Qué se considera un resultado posible?
- ¿Todos los resultados son igualmente probables?
- ¿Qué condición deben cumplir los casos favorables?
- ¿Qué técnica de conteo permite contar los casos posibles y favorables?
Ejemplo 1: responder una prueba al azar
Una prueba tiene 4 preguntas de verdadero o falso. Si una persona responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de responder correctamente todas las preguntas?
Cada pregunta tiene 2 opciones: verdadero o falso.
Como hay 4 preguntas, el total de formas de responder es:
\[ VR(2,4)=2^4=16 \]
Solo una forma corresponde a responder todas correctamente.
Por lo tanto:
\[ P(\text{todas correctas})=\frac{1}{16} \]
La probabilidad de responder correctamente todas las preguntas es \(\frac{1}{16}\).
Ejemplo 2: escoger un grupo con una condición
En un curso hay 10 estudiantes, de los cuales 6 son mujeres y 4 son hombres. Se elegirá un grupo de 3 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo esté formado solo por mujeres?
Primero contamos todos los grupos posibles de 3 estudiantes entre 10:
\[ C(10,3)=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120 \]
Ahora contamos los grupos favorables: elegir 3 mujeres entre 6.
\[ C(6,3)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=20 \]
Entonces:
\[ P(\text{3 mujeres})=\frac{20}{120}=\frac{1}{6} \]
La probabilidad es \(\frac{1}{6}\).
Error común
No siempre los casos posibles se cuentan con multiplicación directa. Si el problema habla de grupos donde el orden no importa, normalmente se usan combinaciones.
Por ejemplo, elegir 3 estudiantes entre 10 no se cuenta como:
\[ 10\cdot 9\cdot 8 \]
si solo importa el grupo. En ese caso corresponde:
\[ C(10,3) \]
Ejemplo 3: elegir cartas
De una baraja de 52 cartas se extraen 2 cartas sin reposición. Si solo interesa qué cartas salieron y no el orden, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean ases?
Primero contamos los casos posibles: elegir 2 cartas entre 52.
\[ C(52,2)=\frac{52\cdot 51}{2}=1326 \]
Ahora contamos los casos favorables: elegir 2 ases entre los 4 ases disponibles.
\[ C(4,2)=\frac{4\cdot 3}{2}=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{2 ases})=\frac{6}{1326} \]
Simplificando:
\[ P(\text{2 ases})=\frac{1}{221} \]
Ejemplo 4: código elegido al azar
Un código tiene 3 dígitos y cada dígito puede ser \(0,1,2,\ldots,9\). Se permite repetir. Si se elige un código al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea \(777\)?
Primero contamos todos los códigos posibles:
\[ VR(10,3)=10^3=1000 \]
Solo un código es exactamente \(777\).
Entonces:
\[ P(777)=\frac{1}{1000} \]
La probabilidad es \(\frac{1}{1000}\).
Ejemplo 5: código sin repetición
Un código tiene 3 dígitos distintos elegidos entre \(1,2,3,4,5,6\). Si se elige un código al azar, ¿cuál es la probabilidad de que comience con \(1\)?
Primero contamos todos los códigos posibles. Hay 6 dígitos y se eligen 3 sin repetir, con orden:
\[ V(6,3)=6\cdot 5\cdot 4=120 \]
Ahora contamos los códigos favorables. Si el código comienza con \(1\), la primera posición queda fija.
Para las otras dos posiciones quedan 5 dígitos disponibles, sin repetir:
\[ V(5,2)=5\cdot 4=20 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }1)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6} \]
La probabilidad es \(\frac{1}{6}\).
Elegir la técnica según el contexto
| Situación de probabilidad | Técnica de conteo usual | Razón |
|---|---|---|
| Responder preguntas de selección múltiple | Variación con repetición | Cada pregunta es una posición y las alternativas pueden repetirse. |
| Elegir un comité o grupo | Combinación sin repetición | El orden no importa y no se repiten personas. |
| Extraer cartas sin importar el orden | Combinación sin repetición | Solo interesa el conjunto de cartas extraídas. |
| Formar códigos o claves | Variaciones | El orden de los símbolos normalmente importa. |
Ejemplo 6: al menos una condición sencilla
Una clave tiene 2 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), permitiendo repetir. Si se elige una clave al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga al menos una \(A\)?
Primero contamos todos los casos posibles:
\[ VR(4,2)=4^2=16 \]
Para contar los casos favorables, podemos usar el complemento.
En vez de contar las claves que tienen al menos una \(A\), contamos las que no tienen ninguna \(A\).
Si no se puede usar \(A\), quedan 3 letras disponibles: \(B\), \(C\) y \(D\).
\[ VR(3,2)=3^2=9 \]
Entonces, las claves con al menos una \(A\) son:
\[ 16-9=7 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{al menos una }A)=\frac{7}{16} \]
Uso del complemento
Cuando una condición dice “al menos una vez”, a veces conviene contar lo contrario.
Por ejemplo:
\[ P(\text{al menos una }A)=1-P(\text{ninguna }A) \]
Esto suele simplificar el conteo.
Ejercicio 1
Una prueba tiene 5 preguntas de verdadero o falso. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de responder correctamente todas las preguntas?
Cada pregunta tiene 2 opciones.
Como hay 5 preguntas:
\[ VR(2,5)=2^5=32 \]
Solo una forma corresponde a responder todas correctamente.
Entonces:
\[ P(\text{todas correctas})=\frac{1}{32} \]
Ejercicio 2
En una caja hay 8 tarjetas distintas, de las cuales 3 son rojas y 5 son azules. Se extraen 2 tarjetas sin reposición, sin importar el orden. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?
Casos posibles: elegir 2 tarjetas entre 8.
\[ C(8,2)=\frac{8\cdot 7}{2}=28 \]
Casos favorables: elegir 2 tarjetas rojas entre 3.
\[ C(3,2)=3 \]
Entonces:
\[ P(\text{2 rojas})=\frac{3}{28} \]
Ejercicio 3
De un grupo de 12 estudiantes, 7 son mujeres y 5 son hombres. Se elegirá un grupo de 4 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean hombres?
Casos posibles: elegir 4 estudiantes entre 12.
\[ C(12,4)=495 \]
Casos favorables: elegir 4 hombres entre 5.
\[ C(5,4)=5 \]
Entonces:
\[ P(\text{4 hombres})=\frac{5}{495}=\frac{1}{99} \]
Ejercicio 4
Un código tiene 4 dígitos, cada uno elegido entre \(0,1,2,\ldots,9\), permitiendo repetir. Si se elige un código al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea \(2026\)?
Hay 10 opciones para cada una de las 4 posiciones:
\[ VR(10,4)=10^4=10000 \]
Solo un código es exactamente \(2026\).
Entonces:
\[ P(2026)=\frac{1}{10000} \]
Ejercicio 5
Una clave tiene 3 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), sin repetir. Si se elige una clave al azar, ¿cuál es la probabilidad de que comience con \(A\)?
Casos posibles: claves de 3 letras sin repetir entre 5 letras.
\[ V(5,3)=5\cdot 4\cdot 3=60 \]
Casos favorables: la primera letra queda fija como \(A\). Para las dos posiciones restantes quedan 4 letras disponibles.
\[ V(4,2)=4\cdot 3=12 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }A)=\frac{12}{60}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 6
Una urna tiene 6 bolitas distintas: 2 verdes y 4 amarillas. Se extraen 3 bolitas sin reposición, sin importar el orden. ¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente 2 verdes?
Casos posibles: elegir 3 bolitas entre 6.
\[ C(6,3)=20 \]
Casos favorables: elegir 2 verdes entre 2 y 1 amarilla entre 4.
\[ C(2,2)\cdot C(4,1)=1\cdot 4=4 \]
Entonces:
\[ P(\text{exactamente 2 verdes})=\frac{4}{20}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 7
Una clave tiene 2 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), permitiendo repetir. Si se elige una clave al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no aparezca la letra \(A\)?
Casos posibles:
\[ VR(5,2)=5^2=25 \]
Para que no aparezca \(A\), se pueden usar solo \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), es decir, 4 letras.
\[ VR(4,2)=4^2=16 \]
Entonces:
\[ P(\text{no aparece }A)=\frac{16}{25} \]
Ejercicio 8
Una caja contiene 10 tarjetas distintas numeradas del 1 al 10. Se eligen 3 tarjetas sin reposición, sin importar el orden. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 tarjetas elegidas sean números pares?
Hay 5 números pares entre 1 y 10:
\[ 2,4,6,8,10 \]
Casos posibles: elegir 3 tarjetas entre 10.
\[ C(10,3)=120 \]
Casos favorables: elegir 3 pares entre 5.
\[ C(5,3)=10 \]
Entonces:
\[ P(\text{3 pares})=\frac{10}{120}=\frac{1}{12} \]
Para continuar
En la próxima página se estudiará la distribución binomial como una aplicación final de combinatoria y probabilidad.