combinatoria y probabilidades
14. Distribución binomial como aplicación final
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la distribución binomial como un modelo de probabilidad basado en ensayos repetidos con dos resultados posibles.
- Aplicar combinaciones para calcular probabilidades de obtener exactamente \(k\) éxitos en \(n\) intentos.
- Relacionar combinatoria, probabilidad y toma de decisiones en situaciones escolares y cotidianas.
Idea central
La distribución binomial aparece cuando se repite varias veces un experimento con dos resultados posibles: éxito o fracaso.
Por ejemplo:
- responder correctamente o incorrectamente una pregunta;
- obtener cara o sello al lanzar una moneda;
- que un producto sea defectuoso o no defectuoso;
- que una persona asista o no asista a una actividad.
Condiciones del modelo binomial
Una situación puede modelarse con distribución binomial si cumple estas condiciones:
- Hay un número fijo de intentos, llamado \(n\).
- Cada intento tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.
- La probabilidad de éxito es la misma en cada intento, llamada \(p\).
- Los intentos son independientes entre sí.
Fórmula binomial
Si \(X\) representa la cantidad de éxitos en \(n\) intentos, entonces:
\[ P(X=k)=C(n,k)\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} \]
Donde:
- \(n\) es la cantidad total de intentos.
- \(k\) es la cantidad de éxitos que se quieren obtener.
- \(p\) es la probabilidad de éxito en un intento.
- \(1-p\) es la probabilidad de fracaso en un intento.
- \(C(n,k)\) cuenta las formas de ubicar los \(k\) éxitos entre los \(n\) intentos.
¿Dónde aparece la combinatoria?
La parte combinatoria de la fórmula es:
\[ C(n,k) \]
Esta cantidad indica de cuántas formas pueden ubicarse los éxitos dentro de los \(n\) intentos.
Por ejemplo, si se lanzan 4 monedas y se quieren exactamente 2 caras, las caras pueden aparecer en distintas posiciones:
\[ C(4,2)=6 \]
Ejemplo 1: lanzar una moneda
Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?
Definimos éxito como obtener cara.
- \(n=4\), porque hay 4 lanzamientos.
- \(k=3\), porque se quieren exactamente 3 caras.
- \(p=\frac{1}{2}\), porque la probabilidad de cara es \(\frac{1}{2}\).
- \(1-p=\frac{1}{2}\), porque la probabilidad de sello también es \(\frac{1}{2}\).
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=3)=C(4,3)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1} \]
\[ C(4,3)=4 \]
Entonces:
\[ P(X=3)=4\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2} \]
\[ P(X=3)=4\cdot\frac{1}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]
La probabilidad de obtener exactamente 3 caras es \(\frac{1}{4}\).
Ejemplo 2: responder preguntas al azar
Una prueba tiene 5 preguntas de selección múltiple. Cada pregunta tiene 4 alternativas y solo una es correcta. Si una persona responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 2 preguntas?
Definimos éxito como responder correctamente una pregunta.
- \(n=5\)
- \(k=2\)
- \(p=\frac{1}{4}\)
- \(1-p=\frac{3}{4}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=C(5,2)\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^3 \]
Calculamos:
\[ C(5,2)=10 \]
\[ \left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16} \]
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64} \]
Entonces:
\[ P(X=2)=10\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{27}{64} \]
\[ P(X=2)=\frac{270}{1024}=\frac{135}{512} \]
La probabilidad de acertar exactamente 2 preguntas es \(\frac{135}{512}\).
Error común
No se debe olvidar el factor \(C(n,k)\).
Por ejemplo, si se quieren exactamente 2 respuestas correctas en 5 preguntas, esas 2 respuestas correctas pueden estar en distintas posiciones.
La combinatoria cuenta esas ubicaciones posibles:
\[ C(5,2) \]
Ejemplo 3: productos defectuosos
En una fábrica, la probabilidad de que un producto sea defectuoso es \(0{,}1\). Si se revisan 6 productos de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 sea defectuoso?
Definimos éxito como obtener un producto defectuoso.
- \(n=6\)
- \(k=1\)
- \(p=0{,}1\)
- \(1-p=0{,}9\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=1)=C(6,1)\cdot(0{,}1)^1\cdot(0{,}9)^5 \]
\[ C(6,1)=6 \]
\[ P(X=1)=6\cdot 0{,}1\cdot(0{,}9)^5 \]
\[ (0{,}9)^5=0{,}59049 \]
\[ P(X=1)=6\cdot 0{,}1\cdot 0{,}59049=0{,}354294 \]
La probabilidad es aproximadamente \(0{,}3543\), es decir, cerca de \(35{,}43\%\).
Ejemplo 4: al menos un éxito
Una persona lanza una moneda 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?
Cuando se pide “al menos una”, conviene usar el complemento.
El evento contrario de “al menos una cara” es “ninguna cara”.
Entonces:
\[ P(\text{al menos una cara})=1-P(\text{ninguna cara}) \]
Si no sale ninguna cara, entonces los 5 lanzamientos son sellos:
\[ P(\text{ninguna cara})=\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32} \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{al menos una cara})=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32} \]
La probabilidad de obtener al menos una cara es \(\frac{31}{32}\).
Uso del complemento en binomial
Cuando se pide “al menos uno”, muchas veces es más simple calcular:
\[ P(X\geq 1)=1-P(X=0) \]
Esto evita sumar varios casos.
Ejemplo 5: tabla de distribución
Se lanza una moneda 3 veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
| \(k\) | Cálculo | \(P(X=k)\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(C(3,0)\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^3\) | \(\frac{1}{8}\) |
| \(1\) | \(C(3,1)\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^2\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(2\) | \(C(3,2)\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^1\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(3\) | \(C(3,3)\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^0\) | \(\frac{1}{8}\) |
La suma de todas las probabilidades debe ser \(1\):
\[ \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=1 \]
Resumen del modelo binomial
| Elemento | Significado |
|---|---|
| \(n\) | Cantidad total de intentos. |
| \(k\) | Cantidad exacta de éxitos buscados. |
| \(p\) | Probabilidad de éxito en un intento. |
| \(1-p\) | Probabilidad de fracaso en un intento. |
| \(C(n,k)\) | Formas de ubicar los éxitos entre los intentos. |
| \(P(X=k)\) | Probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos. |
Ejercicio 1
Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
Definimos éxito como obtener cara.
- \(n=4\)
- \(k=2\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
- \(1-p=\frac{1}{2}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=C(4,2)\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ C(4,2)=6 \]
\[ P(X=2)=6\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=6\cdot\frac{1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} \]
La probabilidad es \(\frac{3}{8}\).
Ejercicio 2
Una prueba tiene 4 preguntas de selección múltiple, cada una con 5 alternativas y solo una correcta. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 1 pregunta?
Definimos éxito como responder correctamente.
- \(n=4\)
- \(k=1\)
- \(p=\frac{1}{5}\)
- \(1-p=\frac{4}{5}\)
Entonces:
\[ P(X=1)=C(4,1)\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(\frac{4}{5}\right)^3 \]
\[ C(4,1)=4 \]
\[ P(X=1)=4\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{64}{125} \]
\[ P(X=1)=\frac{256}{625} \]
La probabilidad de acertar exactamente 1 pregunta es \(\frac{256}{625}\).
Ejercicio 3
Una jugadora lanza un dado 6 veces. Se considera éxito obtener un \(6\). ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 veces el número \(6\)?
La probabilidad de obtener un \(6\) en un lanzamiento es \(\frac{1}{6}\).
- \(n=6\)
- \(k=2\)
- \(p=\frac{1}{6}\)
- \(1-p=\frac{5}{6}\)
Entonces:
\[ P(X=2)=C(6,2)\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^4 \]
\[ C(6,2)=15 \]
\[ P(X=2)=15\cdot\frac{1}{36}\cdot\frac{625}{1296} \]
\[ P(X=2)=\frac{9375}{46656} \]
La probabilidad es \(\frac{9375}{46656}\), aproximadamente \(0{,}2009\).
Ejercicio 4
En una fábrica, la probabilidad de que un producto salga defectuoso es \(0{,}05\). Si se revisan 5 productos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 sea defectuoso?
Definimos éxito como que el producto sea defectuoso.
- \(n=5\)
- \(k=1\)
- \(p=0{,}05\)
- \(1-p=0{,}95\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=1)=C(5,1)(0{,}05)^1(0{,}95)^4 \]
\[ C(5,1)=5 \]
\[ (0{,}95)^4=0{,}81450625 \]
\[ P(X=1)=5\cdot 0{,}05\cdot 0{,}81450625 \]
\[ P(X=1)=0{,}2036265625 \]
La probabilidad es aproximadamente \(0{,}2036\), es decir, \(20{,}36\%\).
Ejercicio 5
Una persona lanza una moneda 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?
Usamos el complemento.
El evento contrario de “al menos una cara” es “ninguna cara”.
La probabilidad de no obtener caras en 6 lanzamientos es:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64} \]
Entonces:
\[ P(\text{al menos una cara})=1-\frac{1}{64} \]
\[ P(\text{al menos una cara})=\frac{63}{64} \]
La probabilidad es \(\frac{63}{64}\).
Ejercicio 6
Una prueba tiene 6 preguntas de verdadero o falso. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 4 preguntas?
Definimos éxito como responder correctamente.
- \(n=6\)
- \(k=4\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
- \(1-p=\frac{1}{2}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=4)=C(6,4)\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ C(6,4)=15 \]
\[ P(X=4)=15\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6 \]
\[ P(X=4)=15\cdot\frac{1}{64}=\frac{15}{64} \]
La probabilidad es \(\frac{15}{64}\).
Ejercicio 7
En una encuesta, la probabilidad de que una persona prefiera una aplicación es \(0{,}6\). Si se consulta a 4 personas de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 la prefieran?
Definimos éxito como que una persona prefiera la aplicación.
- \(n=4\)
- \(k=3\)
- \(p=0{,}6\)
- \(1-p=0{,}4\)
Entonces:
\[ P(X=3)=C(4,3)(0{,}6)^3(0{,}4)^1 \]
\[ C(4,3)=4 \]
\[ (0{,}6)^3=0{,}216 \]
\[ P(X=3)=4\cdot 0{,}216\cdot 0{,}4 \]
\[ P(X=3)=0{,}3456 \]
La probabilidad es \(0{,}3456\), es decir, \(34{,}56\%\).
Ejercicio 8
Una jugadora lanza un dado 4 veces. Se considera éxito obtener un número par. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 números pares?
En un dado hay 3 números pares: \(2,4,6\). Por lo tanto:
\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Definimos éxito como obtener un número par.
- \(n=4\)
- \(k=3\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
- \(1-p=\frac{1}{2}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=3)=C(4,3)\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^1 \]
\[ C(4,3)=4 \]
\[ P(X=3)=4\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2} \]
\[ P(X=3)=4\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{4} \]
La probabilidad es \(\frac{1}{4}\).
Cierre del libro
La combinatoria permite contar posibilidades de manera ordenada. En este libro se estudiaron principios de conteo, variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición.
La distribución binomial muestra una aplicación importante: usar combinaciones para calcular probabilidades cuando se repite un experimento con dos resultados posibles.