Muestreo, población y estimación
9. Estimación puntual como primera aproximación
Estimación puntual como primera aproximación
Objetivo de aprendizaje
- Calcular e interpretar una media muestral como primera aproximación de una media poblacional.
- Calcular e interpretar una proporción muestral como primera aproximación de una proporción poblacional.
- Reconocer que una estimación puntual entrega un solo valor, pero no mide por sí sola la incertidumbre de la estimación.
¿Qué es una estimación puntual?
Una estimación puntual es un único valor calculado a partir de una muestra, que se usa para aproximar un parámetro de la población.
Se llama “puntual” porque entrega un solo número.
Por ejemplo, si no conocemos la media real de horas de estudio de todos los estudiantes de un colegio, podemos tomar una muestra y usar su media como una primera aproximación.
Media muestral
La media muestral se representa por \(\bar{x}\) y se calcula sumando todos los datos de la muestra y dividiendo por el tamaño muestral \(n\):
\[ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \]
La media muestral \(\bar{x}\) se usa como estimación puntual de la media poblacional \(\mu\).
Es decir:
\[ \bar{x}\ \text{estima a}\ \mu \]
Proporción muestral
La proporción muestral se representa por \(\hat{p}\) y se calcula dividiendo la cantidad de individuos que cumplen cierta característica por el tamaño de la muestra:
\[ \hat{p}=\frac{x}{n} \]
donde \(x\) es la cantidad de casos favorables y \(n\) es el tamaño muestral.
La proporción muestral \(\hat{p}\) se usa como estimación puntual de la proporción poblacional \(p\).
Es decir:
\[ \hat{p}\ \text{estima a}\ p \]
Atención
Una estimación puntual entrega un solo valor, pero no indica por sí sola qué tan cerca está del verdadero parámetro poblacional.
Por eso, debe interpretarse como una aproximación basada en una muestra, no como una verdad exacta.
Más adelante, en inferencia estadística, se estudiará cómo expresar esa incertidumbre usando ideas como margen de error e intervalos de confianza.
Ejemplo 1: estimación puntual de una media
En una muestra de \(5\) estudiantes, las horas de estudio semanal son:
\[ 4,\ 6,\ 5,\ 7,\ 8 \]
El siguiente gráfico muestra los datos de la muestra:
Calculamos la media muestral:
\[ \bar{x}=\frac{4+6+5+7+8}{5} \]
\[ \bar{x}=\frac{30}{5}=6 \]
Entonces, \(6\) horas es una estimación puntual de la media de horas de estudio semanal de la población correspondiente.
La conclusión debe expresarse con cuidado:
“En la muestra, la media fue de \(6\) horas. Si la muestra representa adecuadamente a la población, este valor puede usarse como aproximación de la media poblacional”.
Ejemplo 2: estimación puntual de una proporción
En una muestra de \(80\) estudiantes, \(52\) declaran usar transporte público para llegar al colegio.
La proporción muestral es:
\[ \hat{p}=\frac{52}{80}=0{,}65 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}65=65\% \]
El gráfico representa la distribución observada en la muestra:
Entonces, el \(65\%\) es una estimación puntual de la proporción de estudiantes de la población que usan transporte público.
Esto no significa que exactamente el \(65\%\) de toda la población use transporte público, sino que ese porcentaje muestral puede servir como aproximación si la muestra es adecuada.
Ejemplo 3: qué no responde una estimación puntual
Supongamos que una encuesta a \(100\) estudiantes entrega:
\[ \hat{p}=0{,}72 \]
Esto significa que, en la muestra, el \(72\%\) cumple cierta característica.
Sin embargo, con solo la estimación puntual no sabemos exactamente qué tan cerca está ese \(72\%\) de la proporción real de toda la población.
Por eso, una afirmación cuidadosa sería:
“En la muestra, el \(72\%\) cumple la característica. Este valor puede usarse como estimación puntual de la proporción poblacional, si la muestra representa adecuadamente a la población”.
Idea clave
La media muestral \(\bar{x}\) estima una media poblacional \(\mu\).
La proporción muestral \(\hat{p}\) estima una proporción poblacional \(p\).
Pero una estimación puntual es solo una primera aproximación: no entrega por sí sola un margen de error ni un intervalo de valores posibles.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular una media muestral
En una muestra de \(6\) estudiantes, las horas de sueño registradas fueron:
\[ 7,\ 8,\ 6,\ 7,\ 9,\ 8 \]
Calcula la media muestral e interprétala como estimación puntual.
Sumamos los datos de la muestra:
\[ 7+8+6+7+9+8=45 \]
Como hay \(6\) estudiantes, dividimos por \(6\):
\[ \bar{x}=\frac{45}{6}=7{,}5 \]
La media muestral es \(7{,}5\) horas.
Este valor puede usarse como estimación puntual de la media de horas de sueño de la población, si la muestra es adecuada.
La media muestral es \(\bar{x}=7{,}5\) horas.
Ejercicio 2: calcular una proporción muestral
En una muestra de \(60\) estudiantes, \(18\) dicen que prefieren estudiar con música.
- Calcula la proporción muestral.
- Exprésala como porcentaje.
- Interpreta el resultado.
La cantidad de estudiantes que cumplen la característica es \(x=18\), y el tamaño muestral es \(n=60\).
Calculamos:
\[ \hat{p}=\frac{18}{60}=0{,}3 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}3=30\% \]
Esto significa que, en la muestra, el \(30\%\) de los estudiantes prefiere estudiar con música.
Si la muestra representa bien a la población, este valor puede usarse como estimación puntual de la proporción poblacional.
La proporción muestral es \(\hat{p}=0{,}3\), es decir, \(30\%\).
Ejercicio 3: distinguir qué se está estimando
Una encuesta a \(100\) hogares registra que \(72\) tienen conexión a internet fija.
- Calcula la proporción muestral.
- Indica qué parámetro se está estimando.
Calculamos la proporción muestral:
\[ \hat{p}=\frac{72}{100}=0{,}72 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}72=72\% \]
El parámetro que se está estimando es la proporción real de hogares de la población que tienen conexión a internet fija.
Es decir, \(\hat{p}=0{,}72\) se usa como aproximación de \(p\).
La proporción muestral es \(72\%\) y estima la proporción poblacional de hogares con internet fijo.
Ejercicio 4: comparar dos estimaciones puntuales
Dos muestras distintas de estudiantes entregan las siguientes medias de horas de estudio semanal:
| Muestra | Tamaño muestral | Media muestral |
|---|---|---|
| A | \(40\) | \(5{,}8\) |
| B | \(40\) | \(6{,}2\) |
Un estudiante afirma: “Una de las dos estimaciones debe ser falsa, porque no coinciden”.
Explica por qué esa afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque distintas muestras pueden producir distintos estadísticos.
La muestra A entrega una estimación puntual de \(5{,}8\) horas y la muestra B entrega una estimación puntual de \(6{,}2\) horas.
La diferencia puede deberse a la variabilidad natural entre muestras, ya que cada muestra puede incluir estudiantes distintos.
Eso no significa necesariamente que una estimación sea falsa.
Lo correcto es interpretar ambas como aproximaciones basadas en muestras.
Las estimaciones pueden diferir porque provienen de muestras distintas.
Ejercicio 5: media muestral en contexto
Una muestra de \(8\) personas registra los siguientes gastos diarios en transporte, en pesos:
\[ 1\,200,\ 1\,500,\ 1\,300,\ 1\,800,\ 1\,400,\ 1\,600,\ 1\,500,\ 1\,700 \]
- Calcula la media muestral.
- Interpreta el resultado como estimación puntual.
Sumamos los gastos:
\[ 1\,200+1\,500+1\,300+1\,800+1\,400+1\,600+1\,500+1\,700=12\,000 \]
Como la muestra tiene \(8\) personas:
\[ \bar{x}=\frac{12\,000}{8}=1\,500 \]
La media muestral es \(\$1\,500\).
Este valor puede usarse como estimación puntual del gasto diario promedio en transporte de la población correspondiente, si la muestra fue seleccionada adecuadamente.
La media muestral es \(\$1\,500\).
Ejercicio 6: proporción y conclusión cuidadosa
En una muestra aleatoria de \(250\) estudiantes, \(165\) declaran separar residuos reciclables en sus hogares.
- Calcula la proporción muestral.
- Exprésala como porcentaje.
- Escribe una conclusión estadísticamente cuidadosa.
La cantidad de estudiantes que cumplen la característica es \(x=165\), y el tamaño muestral es \(n=250\).
Calculamos:
\[ \hat{p}=\frac{165}{250}=0{,}66 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}66=66\% \]
Una conclusión cuidadosa sería:
“En la muestra, el \(66\%\) de los estudiantes declaró separar residuos reciclables en su hogar. Como la muestra fue seleccionada aleatoriamente, este porcentaje puede usarse como estimación puntual de la proporción correspondiente en la población estudiada”.
Esta conclusión es cuidadosa porque no afirma que el \(66\%\) sea exactamente el valor real de toda la población.
La proporción muestral es \(\hat{p}=0{,}66\), es decir, \(66\%\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una investigación quiere estimar el promedio mensual de gasto en alimentación de estudiantes universitarios de una ciudad.
Se encuesta a \(50\) estudiantes y se obtiene una media muestral de \(\$96\,000\).
En la misma encuesta, \(34\) estudiantes declaran comprar almuerzo fuera de su casa al menos tres veces por semana.
- Identifica la estimación puntual de la media de gasto mensual.
- Calcula la estimación puntual de la proporción de estudiantes que compran almuerzo fuera de su casa al menos tres veces por semana.
- Explica por qué ambas estimaciones no deben interpretarse como valores exactos de la población.
La estimación puntual de la media de gasto mensual es la media muestral:
\[ \bar{x}=\$96\,000 \]
Ahora calculamos la proporción muestral. Hay \(34\) estudiantes que cumplen la característica en una muestra de \(50\):
\[ \hat{p}=\frac{34}{50}=0{,}68 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}68=68\% \]
Ambos valores son estimaciones puntuales porque fueron calculados desde una muestra, no desde toda la población.
La media real de gasto mensual y la proporción real de estudiantes que compran almuerzo fuera podrían ser distintas.
Además, una estimación puntual no indica por sí sola qué tan cerca está del parámetro real.
Estimaciones: \(\bar{x}=\$96\,000\) y \(\hat{p}=0{,}68\), es decir, \(68\%\).