Variable aleatoria y distribución de probabilidad
6. Condiciones: probabilidades entre 0 y 1, suma total 1
Objetivo de aprendizaje
- Verificar si una tabla corresponde a una distribución de probabilidad válida.
- Aplicar las condiciones \(0\leq P(X=x)\leq 1\) y suma total de probabilidades igual a \(1\).
Condiciones de una distribución de probabilidad
Para que una tabla sea una distribución de probabilidad válida, debe cumplir dos condiciones:
- Cada probabilidad debe estar entre \(0\) y \(1\), incluyendo ambos extremos:
\[ 0\leq P(X=x)\leq 1 \]
- La suma de todas las probabilidades debe ser \(1\):
\[ P(X=x_1)+P(X=x_2)+\cdots+P(X=x_n)=1 \]
Cómo revisar una tabla
Al revisar una tabla de distribución, no basta con mirar que tenga valores y probabilidades. Hay que comprobar que las probabilidades tengan sentido.
Idea clave
Una distribución de probabilidad reparte el total de probabilidad disponible.
Ese total es \(1\), que equivale al \(100\%\) de las posibilidades.
Ejemplo 1: tabla válida
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente tabla:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
Primero revisamos que todas las probabilidades estén entre \(0\) y \(1\):
\[ 0\leq 0{,}25\leq 1,\qquad 0\leq 0{,}50\leq 1,\qquad 0\leq 0{,}25\leq 1 \]
Luego sumamos las probabilidades:
\[ 0{,}25+0{,}50+0{,}25=1 \]
Como cumple ambas condiciones, la tabla sí representa una distribución de probabilidad válida.
Ejemplo 2: tabla que no suma 1
Consideremos la siguiente tabla:
| Valor de \(Y\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}20\) | \(0{,}30\) | \(0{,}40\) |
Cada probabilidad está entre \(0\) y \(1\), pero al sumar:
\[ 0{,}20+0{,}30+0{,}40=0{,}90 \]
La suma no es \(1\). Por lo tanto, la tabla no representa una distribución de probabilidad válida.
Ejemplo 3: tabla con una probabilidad imposible
Consideremos la siguiente tabla:
| Valor de \(Z\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Z=z)\) | \(0{,}60\) | \(-0{,}10\) | \(0{,}50\) |
Aunque la suma es:
\[ 0{,}60+(-0{,}10)+0{,}50=1 \]
la tabla no es válida, porque una probabilidad no puede ser negativa.
El valor \(-0{,}10\) no cumple la condición:
\[ 0\leq P(Z=1)\leq 1 \]
Error frecuente
Una tabla puede sumar \(1\) y aun así no ser válida si alguna probabilidad es negativa o mayor que \(1\).
Siempre se deben revisar las dos condiciones.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: verificar una tabla simple
Determina si la siguiente tabla representa una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) |
Primero revisamos que todas las probabilidades estén entre \(0\) y \(1\):
\[ 0{,}2,\quad 0{,}5,\quad 0{,}3 \]
Todas cumplen la condición.
Ahora sumamos:
\[ 0{,}2+0{,}5+0{,}3=1 \]
Como la suma es \(1\), la tabla cumple las dos condiciones.
Sí es una distribución de probabilidad válida.
Ejercicio 2: detectar una suma incorrecta
Determina si la siguiente tabla representa una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(Y\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}25\) | \(0{,}40\) |
Todas las probabilidades están entre \(0\) y \(1\).
Sin embargo, al sumar:
\[ 0{,}25+0{,}25+0{,}40=0{,}90 \]
La suma no es \(1\).
Por lo tanto, no se reparte toda la probabilidad disponible.
No es una distribución válida, porque las probabilidades suman \(0{,}90\), no \(1\).
Ejercicio 3: detectar una probabilidad imposible
Determina si la siguiente tabla representa una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(Z\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Z=z)\) | \(0{,}4\) | \(1{,}2\) | \(-0{,}6\) |
Revisamos las probabilidades:
\[ 0{,}4,\quad 1{,}2,\quad -0{,}6 \]
El valor \(1{,}2\) es mayor que \(1\), por lo que no puede ser una probabilidad.
Además, el valor \(-0{,}6\) es negativo, por lo que tampoco puede ser una probabilidad.
Aunque se sumara la tabla, ya falla la primera condición.
No es válida, porque contiene probabilidades fuera del intervalo entre \(0\) y \(1\).
Ejercicio 4: encontrar una probabilidad faltante
La siguiente tabla corresponde a una distribución de probabilidad válida. Encuentra el valor de \(p\):
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}15\) | \(0{,}35\) | \(p\) | \(0{,}20\) |
Como la tabla es una distribución válida, las probabilidades deben sumar \(1\):
\[ 0{,}15+0{,}35+p+0{,}20=1 \]
Sumamos los valores conocidos:
\[ 0{,}15+0{,}35+0{,}20=0{,}70 \]
Entonces:
\[ 0{,}70+p=1 \]
\[ p=1-0{,}70=0{,}30 \]
Además, \(0{,}30\) está entre \(0\) y \(1\), por lo que es una probabilidad posible.
El valor faltante es \(p=0{,}30\).
Ejercicio 5: verificar con fracciones
Determina si la siguiente tabla representa una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(Y\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) |
Todas las probabilidades son fracciones positivas menores que \(1\).
Ahora sumamos:
\[ \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \]
Como tienen el mismo denominador:
\[ \frac{1+3+3+1}{8}=\frac{8}{8}=1 \]
Cumple ambas condiciones.
Sí es una distribución de probabilidad válida.
Ejercicio 6: caso desafiante
Se propone la siguiente tabla para una variable aleatoria \(X\):
| Valor de \(X\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}10\) | \(0{,}25\) | \(0{,}45\) | \(0{,}20\) |
- Verifica si la tabla es una distribución de probabilidad válida.
- Explica por qué el valor \(X=-1\) no causa problema.
- Indica cuál es el valor más probable de \(X\).
Primero revisamos las probabilidades:
\[ 0{,}10,\quad 0{,}25,\quad 0{,}45,\quad 0{,}20 \]
Todas están entre \(0\) y \(1\).
Ahora sumamos:
\[ 0{,}10+0{,}25+0{,}45+0{,}20=1 \]
Por lo tanto, la tabla sí es una distribución de probabilidad válida.
El valor \(X=-1\) no causa problema, porque la condición entre \(0\) y \(1\) se aplica a las probabilidades, no necesariamente a los valores que puede tomar la variable.
El valor más probable es el que tiene mayor probabilidad. La mayor probabilidad es \(0{,}45\), asociada a \(X=1\).
La tabla es válida. El valor \(X=-1\) puede aparecer; lo importante es que su probabilidad sea válida. El valor más probable es \(X=1\).