Variable aleatoria y distribución de probabilidad
8. Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la varianza como una medida de dispersión de una variable aleatoria respecto de su esperanza.
- Calcular e interpretar la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.
¿Por qué no basta con la esperanza?
La esperanza matemática indica el valor promedio esperado de una variable aleatoria a largo plazo.
Sin embargo, dos variables pueden tener la misma esperanza y comportarse de manera muy distinta: una puede concentrarse cerca del promedio y otra puede tomar valores mucho más alejados.
Para estudiar esa variabilidad usamos la varianza y la desviación estándar.
Varianza
Sea \(X\) una variable aleatoria discreta con esperanza \(\mu=E(X)\).
La varianza de \(X\) mide qué tan alejados están, en promedio, los valores de \(X\) respecto de su esperanza.
Se calcula mediante:
\[ Var(X)=\sum (x-\mu)^2\cdot P(X=x) \]
También puede escribirse como:
\[ \sigma^2=Var(X) \]
Desviación estándar
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
\[ \sigma=\sqrt{Var(X)} \]
La varianza queda expresada en unidades cuadradas, mientras que la desviación estándar queda en las mismas unidades de la variable original.
Idea clave
Una desviación estándar pequeña indica que los valores de la variable suelen estar cerca de la esperanza.
Una desviación estándar grande indica que los valores pueden alejarse más de la esperanza.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
La distribución de probabilidad es:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Primero calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}=1 \]
Entonces \(\mu=1\).
Ahora calculamos la varianza:
\[ Var(X)=(0-1)^2\cdot \frac{1}{4}+(1-1)^2\cdot \frac{1}{2}+(2-1)^2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ Var(X)=1\cdot \frac{1}{4}+0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{4} \]
\[ Var(X)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}71 \]
Esto significa que la cantidad de caras suele variar alrededor de \(1\) cara, con una desviación estándar aproximada de \(0{,}71\) caras.
Ejemplo 2: misma esperanza, distinta variabilidad
Consideremos dos variables aleatorias \(A\) y \(B\), ambas con esperanza \(5\).
| Valor de \(A\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|
| \(P(A=a)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
| Valor de \(B\) | \(2\) | \(5\) | \(8\) |
|---|---|---|---|
| \(P(B=b)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
Ambas variables tienen esperanza \(5\), pero \(B\) puede tomar valores más alejados de \(5\).
Para \(A\):
\[ Var(A)=(4-5)^2\cdot 0{,}25+(5-5)^2\cdot 0{,}50+(6-5)^2\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(A)=0{,}25+0+0{,}25=0{,}5 \]
Para \(B\):
\[ Var(B)=(2-5)^2\cdot 0{,}25+(5-5)^2\cdot 0{,}50+(8-5)^2\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(B)=9\cdot 0{,}25+0+9\cdot 0{,}25=4{,}5 \]
Como \(Var(B)>Var(A)\), la variable \(B\) tiene mayor variabilidad.
Error frecuente
No se debe calcular la varianza promediando directamente las diferencias \(x-\mu\).
Las diferencias positivas y negativas pueden anularse. Por eso, en la varianza se usan cuadrados: \((x-\mu)^2\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular varianza y desviación estándar
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}6\) | \(0{,}4\) |
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(Var(X)\).
- Calcula la desviación estándar.
Primero calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot 0{,}6+1\cdot 0{,}4=0{,}4 \]
Entonces \(\mu=0{,}4\).
Ahora calculamos la varianza:
\[ Var(X)=(0-0{,}4)^2\cdot 0{,}6+(1-0{,}4)^2\cdot 0{,}4 \]
\[ Var(X)=0{,}16\cdot 0{,}6+0{,}36\cdot 0{,}4 \]
\[ Var(X)=0{,}096+0{,}144=0{,}24 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{0{,}24}\approx 0{,}49 \]
\(E(X)=0{,}4\), \(Var(X)=0{,}24\) y \(\sigma\approx 0{,}49\).
Ejercicio 2: variable simétrica
Sea \(Y\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(Y\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
Calcula \(E(Y)\), \(Var(Y)\) y \(\sigma\).
Calculamos la esperanza:
\[ E(Y)=(-1)\cdot 0{,}25+0\cdot 0{,}50+1\cdot 0{,}25 \]
\[ E(Y)=-0{,}25+0+0{,}25=0 \]
Entonces \(\mu=0\).
Calculamos la varianza:
\[ Var(Y)=(-1-0)^2\cdot 0{,}25+(0-0)^2\cdot 0{,}50+(1-0)^2\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(Y)=1\cdot 0{,}25+0\cdot 0{,}50+1\cdot 0{,}25=0{,}5 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}71 \]
\(E(Y)=0\), \(Var(Y)=0{,}5\) y \(\sigma\approx 0{,}71\).
Ejercicio 3: interpretar desviación estándar
Dos variables aleatorias tienen la misma esperanza:
\[ E(A)=10 \qquad E(B)=10 \]
Pero sus desviaciones estándar son:
\[ \sigma_A=1{,}2 \qquad \sigma_B=4{,}8 \]
¿Cuál variable presenta mayor variabilidad? Justifica.
La desviación estándar mide cuánto suelen alejarse los valores de una variable respecto de su esperanza.
Como:
\[ 4{,}8>1{,}2 \]
la variable \(B\) presenta mayor variabilidad que la variable \(A\).
Ambas tienen la misma esperanza, pero los valores de \(B\) tienden a estar más dispersos alrededor de \(10\).
La variable \(B\) presenta mayor variabilidad.
Ejercicio 4: completar una tabla de cálculo
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(X\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
- Calcula la esperanza.
- Calcula la varianza.
- Calcula la desviación estándar.
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=2\cdot 0{,}25+4\cdot 0{,}50+6\cdot 0{,}25 \]
\[ E(X)=0{,}5+2+1{,}5=4 \]
Entonces \(\mu=4\).
Calculamos la varianza:
\[ Var(X)=(2-4)^2\cdot 0{,}25+(4-4)^2\cdot 0{,}50+(6-4)^2\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(X)=4\cdot 0{,}25+0\cdot 0{,}50+4\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(X)=1+0+1=2 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{2}\approx 1{,}41 \]
\(E(X)=4\), \(Var(X)=2\) y \(\sigma\approx 1{,}41\).
Ejercicio 5: comparar dos distribuciones
Las variables \(A\) y \(B\) tienen las siguientes distribuciones:
| Valor de \(A\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) |
|---|---|---|---|
| \(P(A=a)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
| Valor de \(B\) | \(6\) | \(10\) | \(14\) |
|---|---|---|---|
| \(P(B=b)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
Sin calcular todos los detalles, explica cuál variable tiene mayor varianza.
Ambas distribuciones están centradas en \(10\), porque el valor central tiene probabilidad \(0{,}50\) y los valores extremos tienen probabilidades iguales.
En la variable \(A\), los valores extremos \(9\) y \(11\) están a una distancia de \(1\) respecto de \(10\).
En la variable \(B\), los valores extremos \(6\) y \(14\) están a una distancia de \(4\) respecto de \(10\).
Como los valores de \(B\) están más alejados de su centro, su varianza es mayor.
La variable \(B\) tiene mayor varianza porque sus valores están más dispersos.
Ejercicio 6: caso desafiante
Un juego entrega una ganancia neta \(G\), en pesos, con la siguiente distribución:
| Valor de \(G\) | \(-500\) | \(0\) | \(1\,000\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(0{,}50\) | \(0{,}30\) | \(0{,}20\) |
- Calcula \(E(G)\).
- Calcula \(Var(G)\).
- Calcula la desviación estándar aproximada.
- Interpreta por qué la desviación estándar es alta en comparación con la esperanza.
Primero calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-500)\cdot 0{,}50+0\cdot 0{,}30+1\,000\cdot 0{,}20 \]
\[ E(G)=-250+0+200=-50 \]
Entonces \(\mu=-50\).
Ahora calculamos la varianza:
\[ Var(G)=(-500-(-50))^2\cdot 0{,}50+(0-(-50))^2\cdot 0{,}30+(1\,000-(-50))^2\cdot 0{,}20 \]
\[ Var(G)=(-450)^2\cdot 0{,}50+50^2\cdot 0{,}30+1\,050^2\cdot 0{,}20 \]
\[ Var(G)=202\,500\cdot 0{,}50+2\,500\cdot 0{,}30+1\,102\,500\cdot 0{,}20 \]
\[ Var(G)=101\,250+750+220\,500=322\,500 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{322\,500}\approx 567{,}9 \]
La desviación estándar es alta porque los valores posibles de la ganancia están bastante separados: se puede perder \(\$500\), no ganar ni perder, o ganar \(\$1\,000\).
Aunque la esperanza es \(-\$50\), los resultados individuales pueden alejarse mucho de ese promedio teórico.
\(E(G)=-\$50\), \(Var(G)=322\,500\) y \(\sigma\approx \$567{,}9\).