Distribución binomial
1. Experimentos repetidos con dos resultados
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer situaciones aleatorias formadas por repeticiones de un mismo experimento.
- Identificar experimentos en los que cada repetición tiene solo dos resultados relevantes.
Experimentos repetidos
Muchas situaciones de azar no ocurren una sola vez, sino que se repiten varias veces bajo condiciones similares.
Por ejemplo, lanzar una moneda \(10\) veces, revisar \(50\) productos de una fábrica o responder \(20\) preguntas de verdadero o falso.
En estos casos, no solo interesa un resultado aislado, sino lo que ocurre a lo largo de varias repeticiones.
Dos resultados posibles
En algunos experimentos repetidos, cada repetición se puede clasificar en dos resultados relevantes.
Por ejemplo:
- cara o sello,
- correcto o incorrecto,
- defectuoso o no defectuoso,
- responde “sí” o responde “no”.
Estos dos resultados no siempre tienen que llamarse “cara” y “sello”. En la distribución binomial, normalmente se organizarán como éxito y fracaso.
Idea central
La distribución binomial no se estudia solo como una fórmula.
Se estudia como un modelo para contar cuántas veces ocurre un resultado de interés al repetir un experimento con dos resultados posibles.
Ejemplo 1: lanzar una moneda varias veces
Se lanza una moneda \(5\) veces y en cada lanzamiento puede salir cara o sello.
Si interesa contar cuántas caras aparecen, cada lanzamiento se puede clasificar así:
| Resultado del lanzamiento | Clasificación |
|---|---|
| Cara | Resultado de interés |
| Sello | No es el resultado de interés |
Un posible resultado de los \(5\) lanzamientos podría ser:
\[ C,\ S,\ C,\ C,\ S \]
En ese caso, aparecieron \(3\) caras.
La pregunta binomial típica no es solo “¿salió cara?”, sino “¿cuántas caras salieron en \(5\) lanzamientos?”.
Ejemplo 2: revisar productos
Una fábrica revisa \(20\) productos seleccionados al azar. Cada producto puede clasificarse como defectuoso o no defectuoso.
| Producto revisado | Resultado posible |
|---|---|
| Producto individual | Defectuoso |
| Producto individual | No defectuoso |
Si el interés es contar productos defectuosos, entonces cada revisión tiene dos resultados relevantes:
- el producto es defectuoso,
- el producto no es defectuoso.
Una variable adecuada más adelante será \(X\): cantidad de productos defectuosos entre los \(20\) revisados.
Ejemplo 3: estructura de repeticiones
El siguiente diagrama resume la idea de repetir un experimento con dos resultados posibles:
Error frecuente
No todo experimento repetido es automáticamente binomial.
Para usar el modelo binomial se deben cumplir ciertas condiciones, como mantener el mismo número de repeticiones, tener dos resultados relevantes en cada repetición y trabajar con una probabilidad de éxito constante. Estas condiciones se estudiarán en las páginas siguientes.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer repeticiones
Indica si la situación corresponde a un experimento repetido.
“Se lanza una moneda \(12\) veces y se registra el resultado de cada lanzamiento”.
Sí corresponde a un experimento repetido.
El experimento básico es lanzar una moneda, y este se realiza \(12\) veces.
En cada repetición hay dos resultados posibles: cara o sello.
Sí es un experimento repetido con dos resultados posibles por repetición.
Ejercicio 2: identificar los dos resultados
Una encuesta pregunta a \(100\) personas si están de acuerdo con una medida municipal.
Las respuestas posibles son “sí” o “no”.
Identifica los dos resultados relevantes de cada repetición.
Cada repetición corresponde a encuestar a una persona.
Los dos resultados relevantes son:
- la persona responde “sí”,
- la persona responde “no”.
Si interesa contar cuántas personas responden “sí”, entonces “sí” será el resultado de interés.
Los resultados relevantes son “sí” y “no”.
Ejercicio 3: resultado de interés
Un estudiante responde \(15\) preguntas de verdadero o falso. Se quiere contar cuántas respuestas son correctas.
¿Cuál es el resultado de interés en cada pregunta?
Cada repetición corresponde a responder una pregunta.
Como se quiere contar cuántas respuestas son correctas, el resultado de interés es “respuesta correcta”.
El otro resultado posible es “respuesta incorrecta”.
El resultado de interés es obtener una respuesta correcta.
Ejercicio 4: contar resultados de interés
Se revisan \(8\) ampolletas y se registra si cada una funciona o no funciona.
El resultado observado fue:
\[ F,\ F,\ N,\ F,\ N,\ F,\ F,\ N \]
donde \(F\) significa “funciona” y \(N\) significa “no funciona”.
Si el resultado de interés es “no funciona”, ¿cuántas veces ocurrió?
Debemos contar cuántas veces aparece \(N\), porque \(N\) significa “no funciona”.
En la secuencia:
\[ F,\ F,\ N,\ F,\ N,\ F,\ F,\ N \]
la letra \(N\) aparece \(3\) veces.
El resultado de interés ocurrió \(3\) veces.
Ejercicio 5: proponer una variable
Un laboratorio revisa \(30\) muestras y cada una puede resultar positiva o negativa para cierta característica.
Define una variable \(X\) adecuada para contar los resultados positivos.
Una variable adecuada es:
\[ X=\text{cantidad de muestras positivas entre las }30\text{ revisadas} \]
Esta variable cuenta cuántas veces ocurre el resultado de interés.
Como se revisan \(30\) muestras, los valores posibles de \(X\) van desde \(0\) hasta \(30\).
Una definición adecuada es \(X=\) cantidad de muestras positivas entre \(30\).
Ejercicio 6: distinguir situaciones
Determina cuál situación se ajusta mejor a la idea de experimento repetido con dos resultados relevantes. Justifica.
- Medir la estatura de \(40\) estudiantes.
- Revisar \(40\) respuestas y clasificar cada una como correcta o incorrecta.
- Registrar la temperatura diaria durante \(40\) días.
La situación que se ajusta mejor es la segunda.
En ella, cada repetición consiste en revisar una respuesta, y cada respuesta se clasifica en dos resultados relevantes: correcta o incorrecta.
En cambio, medir estatura o registrar temperatura produce valores numéricos que pueden tomar muchos valores posibles, no solo dos categorías relevantes.
La situación 2 se ajusta mejor, porque cada repetición tiene dos resultados: correcta o incorrecta.