Distribución binomial
2. Ensayo de Bernoulli
Objetivo de aprendizaje
- Comprender qué es un ensayo de Bernoulli en un experimento aleatorio.
- Reconocer situaciones en las que una repetición puede clasificarse en dos resultados: éxito o fracaso.
Definición
Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene solo dos resultados relevantes:
- éxito,
- fracaso.
La palabra “éxito” no significa necesariamente algo bueno. Solo indica el resultado que interesa contar o estudiar.
Un ensayo es una repetición
En el contexto binomial, un ensayo de Bernoulli corresponde a una sola repetición del experimento.
Por ejemplo, si se lanza una moneda \(10\) veces, cada lanzamiento individual es un ensayo de Bernoulli si se clasifica como cara o no cara.
Si se revisan \(50\) productos, cada producto revisado puede ser un ensayo de Bernoulli si se clasifica como defectuoso o no defectuoso.
Ejemplo 1: lanzar una moneda
Se lanza una moneda y se quiere estudiar si sale cara.
| Resultado | Clasificación |
|---|---|
| Cara | Éxito |
| Sello | Fracaso |
Este lanzamiento es un ensayo de Bernoulli porque tiene solo dos resultados relevantes: sale cara o no sale cara.
Ejemplo 2: revisar un producto
Una fábrica revisa un producto y quiere saber si está defectuoso.
| Resultado | Clasificación |
|---|---|
| El producto está defectuoso | Éxito |
| El producto no está defectuoso | Fracaso |
En este contexto, “éxito” significa que ocurrió el resultado de interés: encontrar un producto defectuoso.
No significa que sea algo positivo para la fábrica.
Idea clave
Un ensayo de Bernoulli transforma una situación aleatoria en una pregunta con respuesta de dos opciones.
La pregunta típica es: ¿ocurrió el resultado de interés?
Ejemplo 3: responder una pregunta
Un estudiante responde una pregunta de selección múltiple. Si interesa estudiar si la respuesta fue correcta, entonces:
- éxito: la respuesta es correcta,
- fracaso: la respuesta es incorrecta.
La pregunta individual puede verse como un ensayo de Bernoulli, porque se clasifica en dos resultados relevantes.
Error frecuente
No se debe confundir un ensayo de Bernoulli con todo el experimento repetido.
Si se lanzan \(20\) monedas, cada lanzamiento individual puede ser un ensayo de Bernoulli. El conjunto de los \(20\) lanzamientos será el experimento repetido que se modelará más adelante.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer un ensayo
Se lanza una moneda una vez y se registra si sale sello.
¿Este experimento puede considerarse un ensayo de Bernoulli? Justifica.
Sí puede considerarse un ensayo de Bernoulli.
El resultado de interés es que salga sello.
Entonces hay dos resultados relevantes:
- éxito: sale sello,
- fracaso: no sale sello, es decir, sale cara.
Sí es un ensayo de Bernoulli porque tiene dos resultados relevantes.
Ejercicio 2: clasificar éxito y fracaso
Se revisa una ampolleta y se quiere estudiar si está quemada.
Indica cuál sería el éxito y cuál sería el fracaso.
El resultado de interés es que la ampolleta esté quemada.
Por lo tanto:
- éxito: la ampolleta está quemada,
- fracaso: la ampolleta no está quemada.
La palabra éxito solo indica que ocurrió el resultado que se desea estudiar.
Éxito: está quemada. Fracaso: no está quemada.
Ejercicio 3: una pregunta de encuesta
Una encuesta pregunta a una persona si utiliza bicicleta para trasladarse al colegio.
Se quiere estudiar la respuesta “sí”.
Explica por qué la respuesta de una persona puede verse como un ensayo de Bernoulli.
La repetición consiste en encuestar a una persona.
Como interesa estudiar la respuesta “sí”, se pueden definir dos resultados relevantes:
- éxito: la persona responde “sí”,
- fracaso: la persona no responde “sí”.
Por lo tanto, la respuesta individual puede clasificarse en éxito o fracaso.
Es un ensayo de Bernoulli porque la respuesta se clasifica en dos resultados relevantes.
Ejercicio 4: no todo experimento es Bernoulli
Se lanza un dado y se registra el número exacto obtenido: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\) o \(6\).
¿Ese registro directo corresponde a un ensayo de Bernoulli? Justifica.
No corresponde directamente a un ensayo de Bernoulli, porque se están registrando seis resultados posibles distintos.
Un ensayo de Bernoulli debe tener solo dos resultados relevantes.
Sin embargo, se podría transformar en un ensayo de Bernoulli si se define una pregunta de dos opciones, por ejemplo: “¿salió un número par?”.
En ese caso:
- éxito: sale número par,
- fracaso: no sale número par.
El registro exacto del dado no es Bernoulli, pero puede convertirse en Bernoulli si se define una condición de interés.
Ejercicio 5: transformar un experimento
Se elige al azar un estudiante de un curso y se registra su promedio final.
Propón una forma de transformar esta situación en un ensayo de Bernoulli.
Para transformar la situación en un ensayo de Bernoulli, debemos definir una condición con dos resultados.
Por ejemplo, se puede estudiar si el promedio final es al menos \(6{,}0\).
Entonces:
- éxito: el estudiante tiene promedio final mayor o igual que \(6{,}0\),
- fracaso: el estudiante tiene promedio final menor que \(6{,}0\).
Así, aunque el promedio puede tomar muchos valores, la clasificación se reduce a dos resultados relevantes.
Una transformación posible es éxito si el promedio es al menos \(6{,}0\), y fracaso en caso contrario.
Ejercicio 6: caso desafiante
Una empresa llama a una persona para ofrecer un servicio. La persona puede aceptar, rechazar, pedir más información o no contestar.
La empresa quiere estudiar solo si la persona acepta el servicio.
- ¿Puede definirse un ensayo de Bernoulli en esta situación?
- ¿Cuál sería el éxito?
- ¿Cuál sería el fracaso?
Sí puede definirse un ensayo de Bernoulli, aunque originalmente haya más de dos respuestas posibles.
Como la empresa quiere estudiar si la persona acepta el servicio, el éxito será:
\[ \text{éxito: la persona acepta el servicio} \]
El fracaso agrupa todos los casos en que no acepta:
- rechaza,
- pide más información,
- no contesta.
Esto es válido porque la pregunta se redujo a dos resultados relevantes: acepta o no acepta.
Sí puede definirse. Éxito: acepta. Fracaso: cualquier resultado distinto de aceptar.