Distribución binomial
4. Condiciones para usar distribución binomial
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer las condiciones necesarias para modelar una situación mediante distribución binomial.
- Distinguir situaciones binomiales de situaciones que no cumplen las condiciones del modelo.
Condiciones del modelo binomial
Una situación puede modelarse con distribución binomial cuando cumple estas condiciones:
- Hay un número fijo de repeticiones o ensayos.
- Cada ensayo tiene solo dos resultados relevantes: éxito o fracaso.
- La probabilidad de éxito se mantiene constante en cada ensayo.
- Los ensayos son independientes entre sí.
- La variable aleatoria cuenta el número de éxitos obtenidos.
Ruta de verificación
Antes de aplicar una fórmula binomial, conviene revisar si la situación cumple las condiciones del modelo.
Idea clave
La distribución binomial sirve para contar éxitos en repeticiones de un mismo ensayo, siempre que las condiciones se mantengan estables.
Si cambia la probabilidad de éxito, si no hay independencia o si no se cuenta el número de éxitos, el modelo binomial puede no ser adecuado.
Ejemplo 1: situación binomial
Se lanza una moneda equilibrada \(10\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Revisamos las condiciones:
- Hay un número fijo de ensayos: \(10\) lanzamientos.
- Cada ensayo tiene dos resultados relevantes: cara o sello.
- La probabilidad de éxito es constante: \(P(\text{cara})=\frac{1}{2}\).
- Los lanzamientos son independientes entre sí.
- La variable \(X\) cuenta éxitos: cantidad de caras.
Por lo tanto, esta situación puede modelarse con distribución binomial.
Ejemplo 2: probabilidad que no se mantiene constante
Una bolsa tiene \(3\) fichas rojas y \(2\) fichas azules. Se extraen \(3\) fichas sin devolverlas a la bolsa. Se quiere contar cuántas fichas rojas salen.
Hay dos resultados relevantes en cada extracción: roja o no roja.
Sin embargo, la probabilidad de obtener una ficha roja cambia después de cada extracción, porque las fichas no se devuelven a la bolsa.
Por ejemplo, al inicio:
\[ P(\text{roja})=\frac{3}{5} \]
Pero después de extraer una ficha, la composición de la bolsa cambia.
Por eso, esta situación no cumple directamente la condición de probabilidad de éxito constante.
Ejemplo 3: no se cuenta el número de éxitos
Se lanzan \(5\) dados equilibrados y se registra la suma total de los puntos obtenidos.
Aunque hay un número fijo de lanzamientos, la variable no cuenta éxitos.
Además, cada dado puede producir seis valores diferentes si se registra el número exacto.
Por eso, la suma de los puntos no se modela directamente con distribución binomial.
En cambio, si se definiera \(X\) como la cantidad de dados que muestran un \(6\), entonces sí se estaría contando éxitos.
Error frecuente
No se debe usar distribución binomial solo porque una situación se repite varias veces.
Además de repetirse, debe haber dos resultados relevantes por ensayo, probabilidad de éxito constante, independencia y una variable que cuente éxitos.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: verificar una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(8\) veces y se define \(X\) como la cantidad de sellos obtenidos.
¿Puede modelarse esta situación con distribución binomial? Justifica.
Sí puede modelarse con distribución binomial.
Revisamos las condiciones:
- Hay un número fijo de ensayos: \(8\) lanzamientos.
- Cada ensayo tiene dos resultados relevantes: sello o no sello.
- La probabilidad de éxito es constante: \(P(\text{sello})=\frac{1}{2}\).
- Los lanzamientos son independientes.
- La variable \(X\) cuenta éxitos: cantidad de sellos.
Sí corresponde a una situación binomial.
Ejercicio 2: revisar productos
Una fábrica sabe que la probabilidad de que un producto sea defectuoso es \(0{,}04\). Se revisan \(25\) productos de forma independiente y se define \(X\) como la cantidad de productos defectuosos.
¿Se cumplen las condiciones para usar distribución binomial?
Sí se cumplen las condiciones.
Hay \(25\) ensayos, porque se revisan \(25\) productos.
Cada producto puede clasificarse en dos resultados relevantes: defectuoso o no defectuoso.
La probabilidad de éxito se mantiene constante: \(p=0{,}04\), si se asume que todos los productos tienen la misma probabilidad de ser defectuosos.
El enunciado indica que los productos se revisan de forma independiente.
La variable \(X\) cuenta la cantidad de éxitos, es decir, productos defectuosos.
Sí puede modelarse con distribución binomial.
Ejercicio 3: extracción sin reposición
Una bolsa contiene \(5\) fichas rojas y \(5\) fichas azules. Se extraen \(4\) fichas sin reposición y se cuenta cuántas son rojas.
¿Qué condición binomial puede fallar? Justifica.
Puede fallar la condición de probabilidad de éxito constante y también la independencia.
Al extraer sin reposición, la composición de la bolsa cambia después de cada extracción.
Por ejemplo, si en la primera extracción sale una ficha roja, quedan menos fichas rojas disponibles para la siguiente extracción.
Entonces la probabilidad de éxito no se mantiene igual en todos los ensayos.
La situación no cumple directamente el modelo binomial porque las extracciones sin reposición cambian las probabilidades.
Ejercicio 4: variable que no cuenta éxitos
Se lanzan \(6\) dados equilibrados y se define \(S\) como la suma de los puntos obtenidos.
¿La variable \(S\) corresponde a una variable binomial? Justifica.
No corresponde a una variable binomial.
La variable \(S\) no cuenta éxitos, sino que suma los resultados obtenidos en los dados.
Además, al registrar el número exacto de cada dado, cada ensayo tiene seis resultados posibles.
Para tener una variable binomial, se podría definir, por ejemplo, \(X\) como la cantidad de dados que muestran \(6\).
\(S\) no es binomial porque no cuenta éxitos; es una suma de puntos.
Ejercicio 5: transformar una situación
Se lanzan \(12\) dados equilibrados.
Propón una variable que sí pueda modelarse con distribución binomial y explica por qué.
Una variable adecuada es:
\[ X=\text{cantidad de dados que muestran un número par} \]
Esta variable puede modelarse con distribución binomial porque:
- hay \(12\) ensayos fijos,
- cada dado se clasifica en par o no par,
- la probabilidad de éxito es constante: \(p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\),
- los lanzamientos son independientes,
- \(X\) cuenta la cantidad de éxitos.
Una variable posible es \(X=\) cantidad de dados pares en \(12\) lanzamientos.
Ejercicio 6: encuesta
En una ciudad, se sabe que el \(60\%\) de las personas usa transporte público al menos tres veces por semana. Se encuesta de forma independiente a \(40\) personas y se define \(X\) como la cantidad de personas que usan transporte público al menos tres veces por semana.
Verifica si se cumplen las condiciones binomiales.
Revisamos las condiciones:
- Número fijo de ensayos: se encuestan \(40\) personas.
- Dos resultados relevantes: usa transporte público al menos tres veces por semana, o no lo usa.
- Probabilidad de éxito constante: \(p=0{,}60\), si se mantiene la misma proporción para cada persona considerada.
- Independencia: el enunciado indica que se encuesta de forma independiente.
- La variable \(X\) cuenta éxitos: cantidad de personas que cumplen la característica.
Por lo tanto, la situación puede modelarse con distribución binomial bajo esas condiciones.
Sí se cumplen las condiciones binomiales.
Ejercicio 7: caso desafiante
Un estudiante realiza el siguiente procedimiento: extrae una carta de un mazo, registra si es corazón, devuelve la carta al mazo, mezcla y repite el proceso \(10\) veces.
Se define \(X\) como la cantidad de veces que obtiene una carta de corazón.
- ¿Hay número fijo de ensayos?
- ¿Hay dos resultados relevantes por ensayo?
- ¿La probabilidad de éxito se mantiene constante?
- ¿Los ensayos pueden considerarse independientes?
- ¿Puede modelarse con distribución binomial?
Hay número fijo de ensayos, porque el proceso se repite \(10\) veces.
Hay dos resultados relevantes por ensayo:
- éxito: obtener una carta de corazón,
- fracaso: no obtener una carta de corazón.
La probabilidad de éxito se mantiene constante porque la carta se devuelve al mazo y luego se mezcla.
En un mazo usual de \(52\) cartas, hay \(13\) corazones, por lo tanto:
\[ p=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} \]
Como se devuelve la carta y se mezcla, los ensayos pueden considerarse independientes.
La variable \(X\) cuenta la cantidad de éxitos obtenidos en \(10\) ensayos.
Sí puede modelarse con distribución binomial.