Distribución binomial
6. Variable \(X\): número de éxitos
Objetivo de aprendizaje
- Definir la variable aleatoria \(X\) como la cantidad de éxitos en un experimento binomial.
- Identificar los valores posibles de \(X\) según el número de ensayos \(n\).
¿Qué representa \(X\)?
En una situación binomial, la variable aleatoria \(X\) representa la cantidad de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
Por ejemplo, si se lanza una moneda \(10\) veces y el éxito es obtener cara, entonces:
\[ X=\text{cantidad de caras obtenidas en }10\text{ lanzamientos} \]
La variable no indica el orden en que ocurrieron los éxitos, sino cuántos éxitos hubo en total.
Valores posibles de \(X\)
Si se realizan \(n\) ensayos, la cantidad de éxitos puede ir desde \(0\) hasta \(n\).
Por lo tanto, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ldots,\ n \]
El valor \(0\) significa que no ocurrió ningún éxito, y el valor \(n\) significa que todos los ensayos fueron éxitos.
Idea clave
En el modelo binomial, \(X\) siempre cuenta éxitos.
Por eso, antes de calcular probabilidades, se debe tener claro qué se está considerando éxito y cuántos ensayos se realizan.
Ejemplo 1: cinco lanzamientos de una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces y se define éxito como obtener cara.
La variable aleatoria puede definirse como:
\[ X=\text{cantidad de caras obtenidas en }5\text{ lanzamientos} \]
Como hay \(5\) ensayos, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \]
El siguiente gráfico muestra los valores posibles de \(X\) como cantidades de éxito:
Por ejemplo, si el resultado fuera:
\[ C,\ S,\ C,\ C,\ S \]
entonces se obtuvieron \(3\) caras, por lo tanto:
\[ X=3 \]
Ejemplo 2: respuestas correctas
Una prueba tiene \(8\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar.
Se define éxito como responder correctamente una pregunta.
Entonces la variable aleatoria es:
\[ X=\text{cantidad de respuestas correctas en }8\text{ preguntas} \]
Los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \]
El valor \(X=0\) significa que no respondió correctamente ninguna pregunta.
El valor \(X=8\) significa que respondió correctamente todas las preguntas.
Ejemplo 3: productos defectuosos
Una fábrica revisa \(20\) productos de forma independiente. Se define éxito como encontrar un producto defectuoso.
La variable aleatoria es:
\[ X=\text{cantidad de productos defectuosos entre los }20\text{ revisados} \]
Como se revisan \(20\) productos, \(X\) puede tomar los valores:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ldots,\ 20 \]
En este contexto, \(X=4\) significa que se encontraron \(4\) productos defectuosos entre los \(20\) revisados.
Error frecuente
No se debe confundir la variable \(X\) con el resultado completo del experimento.
Por ejemplo, en \(5\) lanzamientos de una moneda, el resultado completo podría ser \(C,S,C,C,S\), pero el valor de \(X\) sería solo \(3\), porque hubo tres éxitos.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: definir \(X\)
Se lanza una moneda \(7\) veces y se define éxito como obtener sello.
Define la variable aleatoria \(X\) y escribe sus valores posibles.
Como el éxito es obtener sello, la variable aleatoria debe contar la cantidad de sellos obtenidos.
Entonces:
\[ X=\text{cantidad de sellos obtenidos en }7\text{ lanzamientos} \]
Como hay \(7\) ensayos, la cantidad de éxitos puede ir desde \(0\) hasta \(7\):
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7 \]
\(X\) cuenta sellos, y sus valores posibles son \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\).
Ejercicio 2: interpretar un valor de \(X\)
Una encuesta se aplica a \(50\) personas. Se define éxito como responder “sí” a una pregunta.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”.
Interpreta en contexto el valor \(X=32\).
La variable \(X\) cuenta cuántas personas responden “sí”.
Por lo tanto, el valor \(X=32\) significa que \(32\) de las \(50\) personas encuestadas respondieron “sí”.
No indica el orden en que respondieron ni quiénes fueron, solo la cantidad total de éxitos.
\(X=32\) significa que \(32\) personas respondieron “sí”.
Ejercicio 3: valores posibles
Se revisan \(12\) artículos y se define \(X\) como la cantidad de artículos defectuosos.
Indica los valores posibles de \(X\).
La variable \(X\) cuenta productos defectuosos entre \(12\) artículos revisados.
La menor cantidad posible de defectuosos es \(0\), si ningún artículo está defectuoso.
La mayor cantidad posible es \(12\), si todos los artículos están defectuosos.
Entonces, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12 \]
Los valores posibles son todos los enteros desde \(0\) hasta \(12\).
Ejercicio 4: identificar qué cuenta \(X\)
Se lanzan \(10\) dados equilibrados. Se define éxito como obtener un número mayor que \(4\).
Sea \(X\) la cantidad de éxitos.
- ¿Qué resultados del dado se consideran éxito?
- ¿Qué representa \(X\)?
- ¿Cuáles son los valores posibles de \(X\)?
Los resultados mayores que \(4\) son:
\[ 5,\ 6 \]
Por lo tanto, esos resultados se consideran éxito.
La variable \(X\) representa la cantidad de dados, entre los \(10\) lanzados, que muestran \(5\) o \(6\).
Como hay \(10\) dados, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ldots,\ 10 \]
Éxito: obtener \(5\) o \(6\). \(X\) cuenta cuántos dados muestran esos valores. Sus valores posibles van de \(0\) a \(10\).
Ejercicio 5: distinguir secuencia y cantidad
Se lanza una moneda \(6\) veces. El éxito es obtener cara.
El resultado observado fue:
\[ C,\ S,\ S,\ C,\ C,\ S \]
Determina el valor de \(X\), donde \(X\) es la cantidad de éxitos.
El éxito es obtener cara, representada por \(C\).
En la secuencia:
\[ C,\ S,\ S,\ C,\ C,\ S \]
aparecen \(3\) caras.
Por lo tanto:
\[ X=3 \]
La variable \(X\) no guarda la secuencia completa, solo la cantidad total de éxitos.
El valor de la variable es \(X=3\).
Ejercicio 6: corregir una definición
Una prueba tiene \(25\) preguntas. Se define éxito como responder correctamente.
Un estudiante escribe:
“\(X\) representa si la primera pregunta fue correcta”.
Explica por qué esta definición no corresponde a la variable binomial que cuenta éxitos en toda la prueba. Luego escribe una definición adecuada de \(X\).
La definición dada solo observa una pregunta específica: la primera pregunta.
En cambio, una variable binomial debe contar la cantidad total de éxitos en los \(25\) ensayos.
Una definición adecuada sería:
\[ X=\text{cantidad de preguntas respondidas correctamente en la prueba de }25\text{ preguntas} \]
Así, \(X\) puede tomar valores desde \(0\) hasta \(25\).
La definición correcta debe contar respuestas correctas en toda la prueba, no solo en una pregunta.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una plataforma envía una notificación a \(120\) usuarios. Se define éxito como que un usuario abra la notificación.
Sea \(X\) el número de éxitos.
- Define \(X\) con palabras.
- Indica el valor mínimo y máximo que puede tomar \(X\).
- Interpreta \(X=0\), \(X=120\) y \(X=47\) en contexto.
La variable \(X\) se puede definir como:
\[ X=\text{cantidad de usuarios que abren la notificación entre los }120\text{ usuarios} \]
El valor mínimo de \(X\) es \(0\), si ningún usuario abre la notificación.
El valor máximo de \(X\) es \(120\), si todos los usuarios abren la notificación.
Interpretaciones:
- \(X=0\): ningún usuario abrió la notificación.
- \(X=120\): todos los usuarios abrieron la notificación.
- \(X=47\): \(47\) usuarios abrieron la notificación.
\(X\) cuenta usuarios que abren la notificación, con valores posibles desde \(0\) hasta \(120\).