Distribución binomial
10. Probabilidad de “al menos”
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar expresiones de probabilidad binomial de la forma \(P(X\geq k)\).
- Calcular probabilidades de “al menos” sumando probabilidades binomiales exactas o usando el complemento.
¿Qué significa “al menos”?
En una variable binomial, \(X\) cuenta la cantidad de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
La expresión “al menos \(k\) éxitos” significa que pueden ocurrir \(k\) éxitos o más.
En símbolos:
\[ P(X\geq k) \]
Por ejemplo, si \(n=6\), entonces “al menos \(4\) éxitos” incluye los casos:
\[ X=4,\quad X=5,\quad X=6 \]
Cómo calcular \(P(X\geq k)\)
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X\geq k)=P(X=k)+P(X=k+1)+\cdots+P(X=n) \]
Cada término se calcula usando la fórmula binomial:
\[ P(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r} \]
donde \(r\) toma los valores \(k,\ k+1,\ldots,\ n\).
Uso del complemento
A veces es más rápido calcular una probabilidad de “al menos” usando el complemento.
El complemento de \(X\geq k\) es \(X
\[ X=0,\ X=1,\ \ldots,\ X=k-1 \]
Por eso:
\[ P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \]
Ejemplo 1: al menos tres caras
Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Queremos calcular la probabilidad de obtener al menos \(3\) caras:
\[ P(X\geq 3) \]
Como \(n=4\), esto incluye:
\[ X=3 \quad \text{y} \quad X=4 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 3)=P(X=3)+P(X=4) \]
Calculamos:
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{4}{16} \]
\[ P(X=4)=\binom{4}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^0=\frac{1}{16} \]
Sumamos:
\[ P(X\geq 3)=\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}=0{,}3125 \]
La probabilidad de obtener al menos \(3\) caras en \(4\) lanzamientos es \(0{,}3125\), es decir, \(31{,}25\%\).
En esta distribución, \(P(X\geq 3)\) corresponde a sumar las barras de \(X=3\) y \(X=4\).
Ejemplo 2: al menos dos productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}10\). Se revisan \(10\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos. Queremos calcular:
\[ P(X\geq 2) \]
Calcular directamente implicaría sumar:
\[ P(X=2)+P(X=3)+\cdots+P(X=10) \]
Es más eficiente usar el complemento:
\[ P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1) \]
Esto significa:
\[ P(X\geq 2)=1-[P(X=0)+P(X=1)] \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{10}{0}(0{,}10)^0(0{,}90)^{10}=0{,}90^{10}\approx 0{,}3487 \]
\[ P(X=1)=\binom{10}{1}(0{,}10)^1(0{,}90)^9\approx 0{,}3874 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 2)\approx 1-(0{,}3487+0{,}3874) \]
\[ P(X\geq 2)\approx 1-0{,}7361=0{,}2639 \]
La probabilidad de encontrar al menos \(2\) productos defectuosos es aproximadamente \(0{,}2639\), es decir, \(26{,}39\%\).
Ejemplo 3: al menos cuatro respuestas “sí”
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}30\). Se encuesta a \(6\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”. Queremos calcular:
\[ P(X\geq 4) \]
Esto incluye:
\[ X=4,\quad X=5,\quad X=6 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) \]
Calculamos:
\[ P(X=4)=\binom{6}{4}(0{,}30)^4(0{,}70)^2=0{,}059535 \]
\[ P(X=5)=\binom{6}{5}(0{,}30)^5(0{,}70)^1=0{,}010206 \]
\[ P(X=6)=\binom{6}{6}(0{,}30)^6(0{,}70)^0=0{,}000729 \]
Sumamos:
\[ P(X\geq 4)=0{,}059535+0{,}010206+0{,}000729=0{,}07047 \]
La probabilidad de que al menos \(4\) de las \(6\) personas respondan “sí” es aproximadamente \(0{,}0705\), es decir, \(7{,}05\%\).
Error frecuente
No se debe confundir \(P(X\geq k)\) con \(P(X=k)\).
La expresión \(X\geq k\) incluye el valor \(k\) y todos los valores mayores posibles hasta \(n\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar “al menos”
Sea \(X\) la cantidad de éxitos en \(8\) ensayos.
Escribe qué valores de \(X\) se incluyen en el evento:
\[ X\geq 5 \]
La expresión \(X\geq 5\) significa que \(X\) puede tomar valores mayores o iguales que \(5\).
Como hay \(8\) ensayos, el valor máximo posible de \(X\) es \(8\).
Por lo tanto, el evento incluye:
\[ X=5,\quad X=6,\quad X=7,\quad X=8 \]
El evento \(X\geq 5\) incluye los valores \(5,\ 6,\ 7,\ 8\).
Ejercicio 2: al menos cuatro caras
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Calcula:
\[ P(X\geq 4) \]
El evento \(X\geq 4\) incluye:
\[ X=4 \quad \text{y} \quad X=5 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 4)=P(X=4)+P(X=5) \]
En \(5\) lanzamientos de una moneda equilibrada, cada secuencia tiene probabilidad \(\frac{1}{32}\).
Usando coeficientes binomiales:
\[ P(X=4)=\binom{5}{4}\frac{1}{32}=\frac{5}{32} \]
\[ P(X=5)=\binom{5}{5}\frac{1}{32}=\frac{1}{32} \]
Sumamos:
\[ P(X\geq 4)=\frac{5}{32}+\frac{1}{32}=\frac{6}{32}=0{,}1875 \]
La probabilidad es \(P(X\geq 4)=0{,}1875\), es decir, \(18{,}75\%\).
Ejercicio 3: usar complemento
Sea \(X\sim B(4,0{,}2)\).
Calcula:
\[ P(X\geq 1) \]
El evento \(X\geq 1\) significa obtener al menos un éxito.
Su complemento es \(X=0\), es decir, no obtener ningún éxito.
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 1)=1-P(X=0) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{4}{0}(0{,}2)^0(0{,}8)^4 \]
\[ P(X=0)=0{,}8^4=0{,}4096 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 1)=1-0{,}4096=0{,}5904 \]
La probabilidad es \(P(X\geq 1)=0{,}5904\).
Ejercicio 4: productos defectuosos
Una fábrica produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}05\). Se revisan \(12\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos.
Calcula la probabilidad de encontrar al menos \(1\) artículo defectuoso.
Queremos calcular:
\[ P(X\geq 1) \]
El complemento de encontrar al menos \(1\) defectuoso es no encontrar ningún defectuoso:
\[ P(X\geq 1)=1-P(X=0) \]
Como \(X\sim B(12,0{,}05)\), tenemos \(1-p=0{,}95\).
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{12}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^{12}=0{,}95^{12} \]
\[ P(X=0)\approx 0{,}5404 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 1)\approx 1-0{,}5404=0{,}4596 \]
La probabilidad de encontrar al menos \(1\) defectuoso es aproximadamente \(0{,}4596\), es decir, \(45{,}96\%\).
Ejercicio 5: escribir sin calcular
Sea \(X\sim B(15,0{,}4)\).
Escribe, sin calcular el valor final, una expresión para:
\[ P(X\geq 12) \]
El evento \(X\geq 12\) incluye:
\[ X=12,\quad X=13,\quad X=14,\quad X=15 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 12)=P(X=12)+P(X=13)+P(X=14)+P(X=15) \]
Como \(p=0{,}4\), se tiene \(1-p=0{,}6\).
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 12)=\binom{15}{12}(0{,}4)^{12}(0{,}6)^3 \]
\[ +\binom{15}{13}(0{,}4)^{13}(0{,}6)^2 \]
\[ +\binom{15}{14}(0{,}4)^{14}(0{,}6)^1 \]
\[ +\binom{15}{15}(0{,}4)^{15}(0{,}6)^0 \]
Se deben sumar las probabilidades exactas desde \(X=12\) hasta \(X=15\).
Ejercicio 6: interpretar una diferencia
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas en una prueba de \(10\) preguntas.
Explica la diferencia entre \(P(X=7)\) y \(P(X\geq 7)\).
\(P(X=7)\) representa la probabilidad de obtener exactamente \(7\) respuestas correctas.
En cambio, \(P(X\geq 7)\) representa la probabilidad de obtener al menos \(7\) respuestas correctas.
Eso incluye:
\[ X=7,\quad X=8,\quad X=9,\quad X=10 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \]
\(P(X=7)\) considera solo un valor; \(P(X\geq 7)\) suma varios valores.
Ejercicio 7: caso desafiante
En una encuesta, la probabilidad de que una persona prefiera clases en modalidad híbrida es \(0{,}35\). Se seleccionan \(8\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que prefieren modalidad híbrida.
- Calcula \(P(X\geq 3)\).
- Interpreta el resultado en contexto.
Tenemos:
\[ X\sim B(8,0{,}35) \]
Queremos calcular:
\[ P(X\geq 3) \]
Usamos el complemento:
\[ P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}35)^0(0{,}65)^8\approx 0{,}0319 \]
\[ P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}35)^1(0{,}65)^7\approx 0{,}1375 \]
\[ P(X=2)=\binom{8}{2}(0{,}35)^2(0{,}65)^6\approx 0{,}2596 \]
Entonces:
\[ P(X\leq 2)\approx 0{,}0319+0{,}1375+0{,}2596=0{,}4290 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 3)\approx 1-0{,}4290=0{,}5710 \]
Esto significa que la probabilidad de que al menos \(3\) de las \(8\) personas prefieran modalidad híbrida es aproximadamente \(57{,}10\%\).
\(P(X\geq 3)\approx 0{,}5710\).