Desplegando el cono: su red y cálculo de área
Idea clave: desarmando el cono
Imagina que podemos tomar un cono de papel, como un gorro de cumpleaños, y desarmarlo. Si lo cortamos por su lado inclinado, llamado generatriz, y lo aplanamos, obtenemos su red.
La red del cono permite observar todas sus superficies en dos dimensiones y es la clave para calcular su área.
La red del cono se compone de dos figuras conocidas:
- Un círculo, que corresponde a la base.
- Un sector circular, que corresponde a la superficie lateral.
Representación esquemática de la red del cono
Al desplegar un cono se obtiene un sector circular y un círculo. El radio del círculo es \(r\), mientras que el radio del sector circular corresponde a la generatriz \(g\).
La longitud del arco del sector circular coincide con el perímetro de la base del cono, es decir, \(2\pi r\).
Fórmulas del área del cono
Para calcular el área total de un cono, se suman el área de la base y el área lateral.
- Área de la base: corresponde al área del círculo. \[ A_B = \pi r^2 \]
- Área lateral: corresponde al área del sector circular. \[ A_L = \pi r g \]
- Área total: corresponde a la suma de las dos áreas anteriores. \[ A_T = A_B + A_L \] \[ A_T = \pi r^2 + \pi r g \]
Un atajo útil
En la fórmula del área total, ambos términos tienen el factor común \(\pi r\):
\[ A_T = \pi r^2 + \pi r g \]Al factorizar, se obtiene:
\[ A_T = \pi r(r+g) \]Esta forma suele ahorrar tiempo, porque se multiplica por \(\pi\) una sola vez.
Atención: área y superficie
Cuando el enunciado pide calcular o determinar el área, se refiere a encontrar una medida numérica en unidades cuadradas, como cm², m², mm² o km².
- “Calcula el área total del cono”.
- “Determina el área de su superficie lateral”.
En cambio, se usa la palabra superficie para describir la “piel” del sólido, sin necesariamente pedir un valor numérico.
- “La superficie del cono está formada por un sector circular al desplegarla”.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: área total con radio y generatriz
Calcula el área total de un cono con radio \(4\) cm y generatriz \(10\) cm.
Usamos la fórmula:
\[ A_T = \pi r(r+g) \]Sustituimos \(r=4\) y \(g=10\):
\[ A_T = \pi(4)(4+10) \] \[ A_T = 4\pi \cdot 14 \] \[ A_T = 56\pi \text{ cm}^2 \]Respuesta: el área total del cono es \(56\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(175{,}93\text{ cm}^2\).
Ejemplo 2: área total con área de la base conocida
Se tiene un cono cuya área de base es \(9\pi\text{ cm}^2\) y cuya generatriz mide \(8\) cm. Calcula el área total del cono.
Primero encontramos el radio usando el área de la base:
\[ A_B = \pi r^2 \] \[ 9\pi = \pi r^2 \]Dividimos por \(\pi\):
\[ 9 = r^2 \] \[ r = 3 \]Entonces, el radio mide \(3\) cm.
Ahora calculamos el área lateral:
\[ A_L = \pi r g \] \[ A_L = \pi(3)(8) \] \[ A_L = 24\pi \text{ cm}^2 \]Sumamos el área de la base y el área lateral:
\[ A_T = A_B + A_L \] \[ A_T = 9\pi + 24\pi \] \[ A_T = 33\pi \text{ cm}^2 \]Respuesta: el área total del cono es \(33\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(103{,}67\text{ cm}^2\).
Ejercicios de práctica
Cuidado: altura y generatriz no son lo mismo
Lee siempre con atención si el problema entrega la altura \(h\) o la generatriz \(g\).
Si conoces el radio y la altura, pero no la generatriz, debes usar el teorema de Pitágoras:
\[ g^2 = h^2 + r^2 \]Nivel 1: cálculos básicos con generatriz conocida o calculable
Nivel 1 - Ejercicio 1
Calcula el área total de un cono de radio \(3\) cm y generatriz \(5\) cm.
Usamos la fórmula del área total:
\[ A_T = \pi r(r+g) \]Sustituimos \(r=3\) y \(g=5\):
\[ A_T = \pi(3)(3+5) \] \[ A_T = 3\pi \cdot 8 \] \[ A_T = 24\pi \text{ cm}^2 \]Como aproximación decimal:
\[ 24\pi \approx 75{,}40 \]Respuesta: el área total es \(24\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(75{,}40\text{ cm}^2\).
Nivel 1 - Ejercicio 2
Calcula el área total de un cono de radio \(6\) cm y generatriz \(10\) cm.
Usamos la fórmula:
\[ A_T = \pi r(r+g) \]Sustituimos \(r=6\) y \(g=10\):
\[ A_T = \pi(6)(6+10) \] \[ A_T = 6\pi \cdot 16 \] \[ A_T = 96\pi \text{ cm}^2 \]Como aproximación decimal:
\[ 96\pi \approx 301{,}59 \]Respuesta: el área total es \(96\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(301{,}59\text{ cm}^2\).
Nivel 1 - Ejercicio 3
Calcula el área total de un cono de radio \(2\) cm y altura \(4\) cm.
En este caso no se entrega la generatriz, por lo tanto primero debemos calcularla con el teorema de Pitágoras:
\[ g^2 = h^2 + r^2 \]Sustituimos \(h=4\) y \(r=2\):
\[ g^2 = 4^2 + 2^2 \] \[ g^2 = 16 + 4 \] \[ g^2 = 20 \] \[ g = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]Ahora calculamos el área total:
\[ A_T = \pi r(r+g) \] \[ A_T = \pi(2)(2+2\sqrt{5}) \] \[ A_T = 4\pi(1+\sqrt{5}) \text{ cm}^2 \]Como aproximación decimal:
\[ 4\pi(1+\sqrt{5}) \approx 40{,}66 \]Respuesta: el área total es \(4\pi(1+\sqrt{5})\text{ cm}^2\), aproximadamente \(40{,}66\text{ cm}^2\).
Nivel 1 - Ejercicio 4
Calcula el área total de un cono de radio \(5\) cm y altura \(12\) cm.
Primero calculamos la generatriz:
\[ g^2 = h^2 + r^2 \]Sustituimos \(h=12\) y \(r=5\):
\[ g^2 = 12^2 + 5^2 \] \[ g^2 = 144 + 25 \] \[ g^2 = 169 \] \[ g = 13 \]Ahora usamos la fórmula del área total:
\[ A_T = \pi r(r+g) \] \[ A_T = \pi(5)(5+13) \] \[ A_T = 5\pi \cdot 18 \] \[ A_T = 90\pi \text{ cm}^2 \]Como aproximación decimal:
\[ 90\pi \approx 282{,}74 \]Respuesta: el área total es \(90\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(282{,}74\text{ cm}^2\).