Distribución binomial
14. Taller contextual: encuestas, pruebas, defectos y decisiones
Objetivo de aprendizaje
- Resolver problemas contextualizados usando el modelo binomial.
- Calcular e interpretar probabilidades exactas, acumuladas, esperanza y desviación estándar.
- Tomar decisiones justificadas a partir de resultados binomiales.
Resolver problemas binomiales en contexto
En este taller se integran las ideas principales de la distribución binomial.
Antes de calcular, es necesario comprender el contexto, definir qué se considera éxito y verificar que la variable cuente la cantidad de éxitos en un número fijo de ensayos.
Resumen de herramientas
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
\[ P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=k) \]
\[ P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \]
\[ E(X)=np \]
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
Ruta de resolución
La siguiente ruta ayuda a ordenar el trabajo antes de calcular:
Ejemplo 1: encuesta
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}6\). Se seleccionan \(10\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”. Queremos calcular la probabilidad de que exactamente \(7\) personas respondan “sí”.
Primero identificamos:
- \(n=10\), porque se encuestan \(10\) personas.
- \(p=0{,}6\), porque la probabilidad de éxito es responder “sí”.
- \(X=\) cantidad de personas que responden “sí”.
- Se pide \(P(X=7)\).
Aplicamos la fórmula binomial:
\[ P(X=7)=\binom{10}{7}(0{,}6)^7(0{,}4)^3 \]
Como \(\binom{10}{7}=120\), se obtiene:
\[ P(X=7)=120(0{,}6)^7(0{,}4)^3 \]
\[ P(X=7)\approx 0{,}2150 \]
La probabilidad de que exactamente \(7\) de las \(10\) personas respondan “sí” es aproximadamente \(21{,}50\%\).
Ejemplo 2: prueba de verdadero o falso
Una prueba tiene \(8\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar.
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas. Queremos calcular la probabilidad de obtener al menos \(6\) respuestas correctas.
Como cada pregunta tiene dos alternativas y se responde al azar:
\[ X\sim B(8,0{,}5) \]
Se pide:
\[ P(X\geq 6) \]
Esto incluye:
\[ X=6,\quad X=7,\quad X=8 \]
Calculamos:
\[ P(X\geq 6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8) \]
Como hay \(2^8=256\) secuencias posibles:
\[ P(X=6)=\frac{\binom{8}{6}}{256}=\frac{28}{256} \]
\[ P(X=7)=\frac{\binom{8}{7}}{256}=\frac{8}{256} \]
\[ P(X=8)=\frac{\binom{8}{8}}{256}=\frac{1}{256} \]
Entonces:
\[ P(X\geq 6)=\frac{28+8+1}{256}=\frac{37}{256}\approx 0{,}1445 \]
La probabilidad de obtener al menos \(6\) respuestas correctas respondiendo al azar es aproximadamente \(14{,}45\%\).
Ejemplo 3: decisión sobre defectos
Una empresa afirma que solo el \(5\%\) de sus productos son defectuosos. Se revisan \(20\) productos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos.
Primero calculamos la esperanza:
\[ E(X)=np=20\cdot 0{,}05=1 \]
Esto significa que se espera, en promedio, \(1\) producto defectuoso entre \(20\) revisados.
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{20\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95} \]
\[ \sigma=\sqrt{0{,}95}\approx 0{,}97 \]
Si en una revisión aparecen \(5\) productos defectuosos, ese resultado está bastante por sobre el valor esperado de \(1\). No demuestra por sí solo que la afirmación sea falsa, pero sí justifica revisar el proceso con más cuidado.
Error frecuente
No basta con calcular una probabilidad; también se debe interpretar el resultado.
En problemas de decisión, una probabilidad pequeña puede indicar que un resultado es poco compatible con el modelo supuesto, pero no reemplaza el análisis del contexto.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: encuesta y probabilidad exacta
En una encuesta escolar, la probabilidad de que un estudiante prefiera estudiar con música es \(0{,}4\). Se seleccionan \(6\) estudiantes de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de estudiantes que prefieren estudiar con música.
- Identifica \(n\) y \(p\).
- Calcula \(P(X=2)\).
- Interpreta el resultado.
Hay \(6\) estudiantes seleccionados, por lo tanto:
\[ n=6 \]
El éxito es que un estudiante prefiera estudiar con música, por lo tanto:
\[ p=0{,}4 \]
Se pide exactamente \(2\) éxitos:
\[ P(X=2)=\binom{6}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^4 \]
Como \(\binom{6}{2}=15\):
\[ P(X=2)=15(0{,}16)(0{,}1296) \]
\[ P(X=2)=0{,}31104 \]
Esto significa que la probabilidad de que exactamente \(2\) de los \(6\) estudiantes prefieran estudiar con música es aproximadamente \(31{,}10\%\).
\(n=6\), \(p=0{,}4\), y \(P(X=2)=0{,}31104\).
Ejercicio 2: prueba al azar
Una prueba tiene \(5\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar.
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas.
Calcula la probabilidad de obtener a lo más \(2\) respuestas correctas.
Como la prueba tiene \(5\) preguntas de verdadero o falso respondidas al azar:
\[ X\sim B(5,0{,}5) \]
Se pide:
\[ P(X\leq 2) \]
Esto incluye \(X=0\), \(X=1\) y \(X=2\):
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
Como hay \(2^5=32\) secuencias posibles:
\[ P(X=0)=\frac{\binom{5}{0}}{32}=\frac{1}{32} \]
\[ P(X=1)=\frac{\binom{5}{1}}{32}=\frac{5}{32} \]
\[ P(X=2)=\frac{\binom{5}{2}}{32}=\frac{10}{32} \]
Entonces:
\[ P(X\leq 2)=\frac{1+5+10}{32}=\frac{16}{32}=0{,}5 \]
La probabilidad de obtener a lo más \(2\) respuestas correctas es \(0{,}5\).
Ejercicio 3: productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}1\). Se revisan \(8\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos.
- Calcula la probabilidad de encontrar exactamente \(1\) artículo defectuoso.
- Calcula la probabilidad de encontrar al menos \(1\) artículo defectuoso.
La variable se modela como:
\[ X\sim B(8,0{,}1) \]
Para exactamente \(1\) defectuoso:
\[ P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}1)^1(0{,}9)^7 \]
\[ P(X=1)=8\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9^7 \]
\[ P(X=1)\approx 0{,}3826 \]
Para al menos \(1\) defectuoso, usamos el complemento:
\[ P(X\geq 1)=1-P(X=0) \]
\[ P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}1)^0(0{,}9)^8=0{,}9^8 \]
\[ P(X=0)\approx 0{,}4305 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 1)\approx 1-0{,}4305=0{,}5695 \]
\(P(X=1)\approx 0{,}3826\) y \(P(X\geq 1)\approx 0{,}5695\).
Ejercicio 4: esperanza y desviación estándar
En una comuna, el \(30\%\) de las personas declara usar bicicleta al menos una vez por semana. Se encuesta a \(50\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que declaran usar bicicleta al menos una vez por semana.
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(\sigma\).
- Interpreta ambos resultados.
La variable se modela como:
\[ X\sim B(50,0{,}3) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=np=50\cdot 0{,}3=15 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
\[ \sigma=\sqrt{50\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7} \]
\[ \sigma=\sqrt{10{,}5}\approx 3{,}24 \]
En promedio, se espera que \(15\) de las \(50\) personas declaren usar bicicleta al menos una vez por semana. La cantidad observada suele variar alrededor de \(15\) con una desviación típica aproximada de \(3{,}24\) personas.
\(E(X)=15\) y \(\sigma\approx 3{,}24\).
Ejercicio 5: decisión con encuesta
Una organización afirma que el \(70\%\) de los estudiantes apoya una iniciativa. Se encuesta de forma independiente a \(10\) estudiantes.
Sea \(X\) la cantidad de estudiantes que apoyan la iniciativa.
- Calcula la probabilidad de que \(6\) o menos estudiantes apoyen la iniciativa.
- Interpreta el resultado como apoyo a una decisión.
Según la afirmación de la organización:
\[ X\sim B(10,0{,}7) \]
Se pide:
\[ P(X\leq 6) \]
Calculamos usando complemento:
\[ P(X\leq 6)=1-P(X\geq 7) \]
Ahora:
\[ P(X\geq 7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \]
Calculamos los términos:
\[ P(X=7)=\binom{10}{7}(0{,}7)^7(0{,}3)^3\approx 0{,}2668 \]
\[ P(X=8)=\binom{10}{8}(0{,}7)^8(0{,}3)^2\approx 0{,}2335 \]
\[ P(X=9)=\binom{10}{9}(0{,}7)^9(0{,}3)^1\approx 0{,}1211 \]
\[ P(X=10)=\binom{10}{10}(0{,}7)^{10}\approx 0{,}0282 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 7)\approx 0{,}2668+0{,}2335+0{,}1211+0{,}0282=0{,}6496 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 6)\approx 1-0{,}6496=0{,}3504 \]
Esto significa que, si realmente el \(70\%\) apoya la iniciativa, obtener \(6\) o menos apoyos en una muestra de \(10\) estudiantes no es imposible; ocurre con probabilidad aproximada de \(35{,}04\%\).
Por sí solo, este resultado no sería evidencia fuerte para rechazar la afirmación.
\(P(X\leq 6)\approx 0{,}3504\). El resultado debe interpretarse con cautela.
Ejercicio 6: comparar dos planes
Dos campañas digitales se muestran a la misma cantidad de usuarios.
- Campaña A: \(X_A\sim B(100,0{,}12)\)
- Campaña B: \(X_B\sim B(100,0{,}18)\)
- Calcula la esperanza de clics de cada campaña.
- Calcula la desviación estándar de cada campaña.
- Indica cuál campaña tiene mayor número esperado de clics.
Para la campaña A:
\[ E(X_A)=100\cdot 0{,}12=12 \]
\[ \sigma_A=\sqrt{100\cdot 0{,}12\cdot 0{,}88} \]
\[ \sigma_A=\sqrt{10{,}56}\approx 3{,}25 \]
Para la campaña B:
\[ E(X_B)=100\cdot 0{,}18=18 \]
\[ \sigma_B=\sqrt{100\cdot 0{,}18\cdot 0{,}82} \]
\[ \sigma_B=\sqrt{14{,}76}\approx 3{,}84 \]
La campaña B tiene mayor número esperado de clics, porque \(18>12\).
Campaña A: \(E=12\), \(\sigma\approx 3{,}25\). Campaña B: \(E=18\), \(\sigma\approx 3{,}84\). Conviene B si el criterio es mayor número esperado de clics.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una empresa afirma que la probabilidad de que un producto sea defectuoso es \(0{,}04\). Se revisan \(50\) productos de forma independiente y se decide investigar el proceso si aparecen al menos \(5\) defectuosos.
- Define la variable binomial \(X\).
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(\sigma\).
- Explica si observar \(5\) defectuosos parece un resultado que justifica investigar.
La variable puede definirse como:
\[ X=\text{cantidad de productos defectuosos entre los }50\text{ revisados} \]
Según la afirmación de la empresa:
\[ X\sim B(50,0{,}04) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=np=50\cdot 0{,}04=2 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
\[ \sigma=\sqrt{50\cdot 0{,}04\cdot 0{,}96} \]
\[ \sigma=\sqrt{1{,}92}\approx 1{,}39 \]
Observar \(5\) defectuosos está por sobre la esperanza de \(2\). La diferencia es:
\[ 5-2=3 \]
Esto equivale a un poco más de dos desviaciones estándar aproximadamente, porque:
\[ \frac{3}{1{,}39}\approx 2{,}16 \]
Por lo tanto, observar \(5\) defectuosos no prueba automáticamente que la afirmación sea falsa, pero sí es un resultado suficientemente alto como para justificar una revisión del proceso.
\(X\sim B(50,0{,}04)\), \(E(X)=2\), \(\sigma\approx 1{,}39\). Observar \(5\) defectuosos justifica investigar.
Cierre del libro
La distribución binomial permite modelar situaciones donde se repite un ensayo con dos resultados posibles y se cuenta la cantidad de éxitos.
Su valor no está solo en aplicar una fórmula, sino en interpretar probabilidades, promedios y variabilidad para tomar decisiones justificadas en contextos reales.