Distribución normal y puntaje Z
1. La campana normal
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer la forma general de la distribución normal.
- Comprender que en una distribución normal los valores se concentran alrededor de un promedio.
- Relacionar el área bajo la curva normal con probabilidades.
¿Qué es la campana normal?
La distribución normal es un modelo de probabilidad que se representa mediante una curva con forma de campana.
En esta curva, los valores cercanos al promedio son más frecuentes o más probables, mientras que los valores muy alejados del promedio son menos frecuentes.
Por eso, muchas situaciones reales que presentan variación natural pueden aproximarse mediante una curva normal.
Área bajo la curva
En una distribución normal, las probabilidades se representan mediante áreas bajo la curva.
El área total bajo la curva normal es:
\[ 1 \]
Esto representa el \(100\%\) de los valores posibles.
Por ejemplo, si cierta zona bajo la curva tiene área \(0{,}30\), entonces representa una probabilidad del \(30\%\).
Ejemplo 1: una campana centrada en el promedio
Supongamos que los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de manera normal, con promedio \(60\) puntos y desviación estándar \(10\) puntos.
Esto significa que muchos puntajes estarán cerca de \(60\), y menos puntajes estarán muy por debajo o muy por encima de ese valor.
La zona sombreada representa los puntajes cercanos al promedio, entre \(50\) y \(70\) puntos.
En una distribución normal, no se cuenta la altura de la curva como probabilidad; la probabilidad corresponde al área bajo la curva.
Ejemplo 2: valores cercanos y valores extremos
Si las estaturas de un grupo grande de estudiantes se distribuyen aproximadamente de forma normal con promedio \(170\) cm, entonces:
- las estaturas cercanas a \(170\) cm serán más comunes,
- las estaturas muy bajas respecto del promedio serán menos comunes,
- las estaturas muy altas respecto del promedio también serán menos comunes.
La curva muestra que los valores se agrupan alrededor del promedio. A medida que nos alejamos del centro, la curva baja.
Ejemplo 3: interpretar una situación
Un test tiene puntajes que se distribuyen aproximadamente de manera normal, con promedio \(100\).
Si una persona obtiene \(100\), su puntaje está justo en el centro de la distribución.
Si obtiene un puntaje mucho mayor que \(100\), estará en la parte derecha de la campana.
Si obtiene un puntaje mucho menor que \(100\), estará en la parte izquierda de la campana.
Esta idea será importante más adelante para interpretar valores sobre y bajo el promedio.
Idea clave
La campana normal permite transformar datos en probabilidades.
Para ello, no basta con mirar si un valor está a la izquierda o a la derecha del promedio: también importa qué tan lejos está del promedio.
Error frecuente
No se debe interpretar la altura de la curva como si fuera directamente una probabilidad.
En una distribución normal, la probabilidad se calcula como área bajo la curva, no como altura de un punto específico.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer la forma de campana
En una distribución normal, ¿dónde se concentran principalmente los valores: cerca del promedio o lejos del promedio?
En una distribución normal, los valores se concentran principalmente cerca del promedio.
La curva tiene mayor altura en la zona central, lo que indica que los valores cercanos al promedio son más frecuentes.
A medida que los valores se alejan del promedio, la curva disminuye.
Los valores se concentran principalmente cerca del promedio.
Ejercicio 2: interpretar el centro
Los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de forma normal con promedio \(70\).
Un estudiante obtiene \(70\) puntos. ¿Qué significa esto respecto de la campana normal?
Si el promedio es \(70\) y el estudiante obtiene \(70\) puntos, entonces su puntaje está en el centro de la distribución.
En una campana normal, el promedio se ubica en la zona central, donde se concentran muchos de los valores.
No significa que todos obtuvieron \(70\), sino que ese valor representa el centro de referencia de la distribución.
El puntaje \(70\) está ubicado en el centro de la campana normal.
Ejercicio 3: valores sobre y bajo el promedio
Una variable se distribuye aproximadamente de forma normal con promedio \(50\).
- ¿El valor \(62\) está sobre o bajo el promedio?
- ¿El valor \(41\) está sobre o bajo el promedio?
- ¿En qué lado de la campana se ubicaría cada valor?
El promedio es \(50\).
Como \(62>50\), el valor \(62\) está sobre el promedio y se ubica a la derecha del centro de la campana.
Como \(41<50\), el valor \(41\) está bajo el promedio y se ubica a la izquierda del centro de la campana.
\(62\) está sobre el promedio y a la derecha; \(41\) está bajo el promedio y a la izquierda.
Ejercicio 4: área y probabilidad
En una distribución normal, una zona bajo la curva tiene área \(0{,}18\).
Interpreta ese valor como probabilidad y como porcentaje.
En una distribución normal, el área bajo la curva representa probabilidad.
Si una zona tiene área \(0{,}18\), entonces la probabilidad asociada a esa zona es:
\[ 0{,}18 \]
Para expresarlo como porcentaje, multiplicamos por \(100\):
\[ 0{,}18\cdot 100=18 \]
El área \(0{,}18\) representa una probabilidad de \(18\%\).
Ejercicio 5: distinguir probabilidad y altura
Un estudiante afirma: “La probabilidad de un valor en la normal se obtiene mirando la altura de la curva en ese punto”.
Explica por qué esta afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque, en una distribución normal, las probabilidades se representan mediante áreas bajo la curva.
La altura de la curva ayuda a visualizar dónde los valores son más frecuentes, pero no corresponde directamente a una probabilidad.
Para calcular probabilidades se necesita considerar un intervalo de valores y el área asociada a ese intervalo.
La probabilidad corresponde al área bajo la curva, no a la altura de un punto.
Ejercicio 6: reconocer un contexto apropiado
Indica cuál situación podría aproximarse mejor mediante una distribución normal. Justifica.
- El color favorito de un grupo de estudiantes.
- La estatura de una gran cantidad de estudiantes de la misma edad.
- El número exacto obtenido al lanzar un dado una vez.
La situación que podría aproximarse mejor mediante una distribución normal es la estatura de una gran cantidad de estudiantes de la misma edad.
La estatura es una variable numérica continua y suele presentar valores concentrados alrededor de un promedio, con menos casos en los extremos.
En cambio, el color favorito es una variable cualitativa, y el resultado de lanzar un dado una vez tiene solo seis valores posibles.
La situación 2 es la más adecuada para aproximarse con una distribución normal.