Distribución normal y puntaje Z
2. Variables continuas
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer variables continuas en contextos reales.
- Distinguir variables continuas de variables discretas.
- Comprender que en variables continuas las probabilidades se calculan sobre intervalos.
¿Qué es una variable continua?
Una variable continua es una variable numérica que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.
Generalmente aparece cuando se mide una magnitud, como longitud, masa, tiempo, temperatura o estatura.
Por ejemplo, una estatura podría registrarse como \(168\) cm, \(168{,}4\) cm o \(168{,}43\) cm, dependiendo de la precisión del instrumento de medición.
Medir, no contar
Una forma útil de reconocer variables continuas es preguntarse si la variable se obtiene midiendo o contando.
- Si se mide, suele ser continua.
- Si se cuenta, suele ser discreta.
Ejemplos de variables continuas:
- estatura de una persona,
- masa de una mochila,
- tiempo que tarda un estudiante en llegar al colegio,
- temperatura registrada durante el día.
Ejemplo 1: estaturas
La estatura de estudiantes de un mismo nivel puede considerarse una variable continua.
Si se mide con suficiente precisión, una estatura puede tomar muchos valores dentro de un intervalo.
Por ejemplo, no solo existen \(165\) cm y \(166\) cm; también puede haber valores como:
\[ 165{,}2,\quad 165{,}7,\quad 165{,}84 \]
Cuando se trabaja con muchos datos de este tipo, la distribución normal puede ser un modelo razonable para representar la concentración de valores alrededor de un promedio.
La zona sombreada representa un intervalo de estaturas, no un valor exacto.
Ejemplo 2: tiempo de llegada
El tiempo que tarda una persona en llegar al colegio también puede ser una variable continua.
Una persona podría tardar:
\[ 18\text{ min},\quad 18{,}5\text{ min},\quad 18{,}73\text{ min} \]
En la práctica, muchas veces redondeamos el tiempo a minutos, pero la variable original puede tomar valores intermedios.
Por eso, el tiempo se considera una variable continua.
Ejemplo 3: variable discreta y variable continua
Observemos la diferencia entre contar y medir:
| Situación | Variable | Tipo |
|---|---|---|
| Contar estudiantes ausentes | Cantidad de ausentes | Discreta |
| Medir la estatura de estudiantes | Estatura | Continua |
| Contar respuestas correctas | Número de respuestas correctas | Discreta |
| Medir el tiempo de respuesta | Tiempo utilizado | Continua |
La diferencia principal es que una variable discreta toma valores separados, mientras que una variable continua puede tomar valores dentro de un intervalo.
Probabilidades en variables continuas
En una variable continua, normalmente se calculan probabilidades sobre intervalos.
Por ejemplo, no se pregunta por la probabilidad de que una estatura sea exactamente \(170\) cm, sino por probabilidades como:
\[ P(165
Esta expresión representa la probabilidad de que la estatura esté entre \(165\) cm y \(175\) cm.
Error frecuente
No se debe confundir una variable continua con los valores redondeados que aparecen en una tabla.
Por ejemplo, si una estatura se anota como \(170\) cm, eso puede ser una aproximación. La estatura real podría estar cerca de \(170\), pero no necesariamente ser exactamente \(170{,}000\ldots\) cm.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer una variable continua
Indica si la variable es continua o discreta:
“La masa, en kilogramos, de una mochila”.
La masa de una mochila se obtiene midiendo.
Puede tomar valores como \(4\) kg, \(4{,}2\) kg, \(4{,}25\) kg o \(4{,}253\) kg, dependiendo de la precisión del instrumento.
Por lo tanto, puede tomar valores dentro de un intervalo.
La variable es continua.
Ejercicio 2: distinguir contar y medir
Clasifica cada variable como discreta o continua:
- Cantidad de hermanos de un estudiante.
- Temperatura registrada a las \(12{:}00\) horas.
- Tiempo que tarda una persona en correr \(100\) metros.
- Número de libros en una mochila.
Analizamos cada caso:
- La cantidad de hermanos se cuenta, por lo tanto es discreta.
- La temperatura se mide, por lo tanto es continua.
- El tiempo se mide, por lo tanto es continuo.
- El número de libros se cuenta, por lo tanto es discreto.
Discreta, continua, continua, discreta.
Ejercicio 3: valores posibles
Una variable \(X\) representa el tiempo, en minutos, que tarda un estudiante en llegar al colegio.
Explica por qué \(X\) puede considerarse continua.
El tiempo se mide, no se cuenta.
Un estudiante podría tardar \(20\) minutos, pero también \(20{,}5\), \(20{,}75\) o \(20{,}752\) minutos, dependiendo de la precisión con que se mida.
Como puede tomar valores intermedios dentro de un intervalo, se considera una variable continua.
\(X\) es continua porque representa una medición de tiempo.
Ejercicio 4: interpretar un intervalo
Sea \(X\) la estatura, en centímetros, de un estudiante seleccionado al azar.
Interpreta en palabras la expresión:
\[ P(160
La variable \(X\) representa la estatura del estudiante.
La expresión \(160
Por lo tanto, la probabilidad:
\[ P(160
representa la probabilidad de que el estudiante seleccionado tenga una estatura mayor que \(160\) cm y menor que \(175\) cm.
Es la probabilidad de que la estatura esté entre \(160\) cm y \(175\) cm.
Ejercicio 5: corregir una interpretación
Un estudiante afirma: “Como la estatura fue registrada en centímetros enteros, entonces la estatura es una variable discreta”.
Explica por qué esta afirmación puede ser incorrecta.
La afirmación puede ser incorrecta porque el registro en centímetros enteros puede deberse al redondeo de la medición.
La estatura real no cambia de un centímetro entero a otro de forma separada; puede tomar valores intermedios.
Por ejemplo, una estatura registrada como \(168\) cm podría corresponder a una medición cercana a \(168\), como \(167{,}8\) cm o \(168{,}2\) cm.
Por eso, aunque se registre redondeada, la estatura se considera una variable continua.
El redondeo no transforma necesariamente una variable continua en discreta.
Ejercicio 6: elegir la probabilidad adecuada
Sea \(X\) el tiempo, en segundos, que demora una persona en completar una tarea.
¿Cuál expresión es más adecuada para trabajar con una variable continua?
- \(P(X=30)\)
- \(P(28
Justifica tu elección.
Para una variable continua, normalmente se trabajan probabilidades sobre intervalos.
Por eso, la expresión más adecuada es:
\[ P(28
Esta probabilidad considera un rango de tiempos entre \(28\) y \(32\) segundos.
En el modelo continuo ideal, la probabilidad de un valor exacto como \(X=30\) se considera \(0\), porque hay infinitos valores posibles dentro de cualquier intervalo.
La expresión más adecuada es \(P(28
Ejercicio 7: caso desafiante
Un colegio registra dos variables de sus estudiantes:
- \(A\): cantidad de atrasos durante el mes.
- \(B\): tiempo total, en minutos, dedicado a estudiar durante una semana.
- Clasifica \(A\) y \(B\) como discretas o continuas.
- Explica cuál de ellas podría modelarse mejor mediante una distribución normal y por qué.
- Escribe una probabilidad de intervalo adecuada para esa variable.
La variable \(A\) representa una cantidad de atrasos. Como se cuenta, es discreta.
La variable \(B\) representa tiempo total de estudio. Como se mide en minutos y puede tener valores intermedios, se considera continua.
La variable que podría modelarse mejor mediante una distribución normal es \(B\), porque es una medición continua y, en un grupo grande, podría concentrarse alrededor de un promedio.
Una probabilidad de intervalo adecuada podría ser:
\[ P(300
Esta expresión representa la probabilidad de que el tiempo total de estudio semanal esté entre \(300\) y \(500\) minutos.
\(A\) es discreta, \(B\) es continua, y una probabilidad adecuada sería \(P(300