Distribución normal y puntaje Z
3. Forma de la distribución normal
Objetivo de aprendizaje
- Describir las características principales de la forma de una distribución normal.
- Reconocer la simetría de la curva normal respecto de su centro.
- Interpretar las colas de la distribución normal como zonas de valores poco frecuentes.
Una curva con forma de campana
La distribución normal tiene una forma característica: es una curva suave, con un solo punto más alto en el centro y colas que se extienden hacia ambos lados.
Esta forma indica que los valores cercanos al centro son más frecuentes, mientras que los valores muy alejados del centro son menos frecuentes.
Características principales
La forma de una distribución normal cumple estas propiedades:
- Es simétrica respecto de su centro.
- Tiene forma de campana.
- Los valores cercanos al promedio son más probables que los valores extremos.
- El área total bajo la curva es \(1\).
- Las colas se acercan al eje horizontal, pero no se cortan bruscamente.
Ejemplo 1: simetría de la curva normal
La siguiente curva normal está centrada en \(0\). La zona sombreada entre \(-1\) y \(1\) muestra valores cercanos al centro.
La curva es simétrica: el lado izquierdo y el lado derecho tienen la misma forma.
Por eso, un valor que está \(1\) unidad bajo el promedio y otro que está \(1\) unidad sobre el promedio tienen posiciones equivalentes respecto del centro.
Ejemplo 2: mitad izquierda y mitad derecha
En una distribución normal, el centro divide el área total en dos partes iguales.
Como el área total bajo la curva es \(1\), el área a la izquierda del centro es \(0{,}5\) y el área a la derecha también es \(0{,}5\).
En este ejemplo, la curva está centrada en \(100\). La zona sombreada representa la mitad izquierda de la distribución.
Por simetría, la mitad derecha tiene la misma área.
Ejemplo 3: valores extremos
Supongamos que los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de forma normal con promedio \(60\).
Los puntajes cercanos a \(60\) estarán cerca del centro de la campana.
En cambio, puntajes como \(30\) o \(90\), si están muy alejados del centro, se ubican hacia las colas de la distribución.
La zona sombreada corresponde a una cola derecha. Representa valores altos respecto del promedio, que suelen ser menos frecuentes que los valores cercanos al centro.
Idea clave
La forma de la normal permite interpretar rápidamente si un valor es común o poco frecuente.
Un valor cercano al centro se ubica en la parte alta de la campana. Un valor muy alejado del centro se ubica en una cola.
Error frecuente
No se debe pensar que las colas de la normal terminan de golpe.
Las colas se acercan al eje horizontal, pero en el modelo normal continúan extendiéndose hacia ambos lados.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer características
Indica tres características de la forma de una distribución normal.
Algunas características de la distribución normal son:
- tiene forma de campana,
- es simétrica respecto de su centro,
- los valores cercanos al centro son más frecuentes,
- el área total bajo la curva es \(1\),
- sus colas se extienden hacia ambos lados.
Estas características permiten reconocer la forma general de la normal.
Tres respuestas posibles: forma de campana, simetría y área total igual a \(1\).
Ejercicio 2: simetría respecto del centro
Una distribución normal está centrada en \(50\).
Compara los valores \(45\) y \(55\): ¿qué tienen en común respecto del centro?
El centro de la distribución es \(50\).
El valor \(45\) está \(5\) unidades bajo el centro:
\[ 50-45=5 \]
El valor \(55\) está \(5\) unidades sobre el centro:
\[ 55-50=5 \]
Por lo tanto, ambos valores están a la misma distancia del centro, pero en lados opuestos de la campana.
\(45\) y \(55\) son valores simétricos respecto de \(50\).
Ejercicio 3: área a cada lado del centro
En una distribución normal, el área total bajo la curva es \(1\).
Si la curva es simétrica respecto de su centro, ¿cuánta área queda a la izquierda del centro y cuánta a la derecha?
Como la distribución normal es simétrica, el centro divide el área total en dos partes iguales.
El área total bajo la curva es:
\[ 1 \]
Por lo tanto, cada mitad tiene área:
\[ \frac{1}{2}=0{,}5 \]
A la izquierda queda área \(0{,}5\) y a la derecha también queda área \(0{,}5\).
Ejercicio 4: ubicar valores en la campana
Una variable se distribuye aproximadamente de forma normal con centro en \(80\).
- ¿El valor \(82\) estará cerca o lejos del centro?
- ¿El valor \(115\) estará cerca o lejos del centro?
- ¿Cuál de los dos valores se ubicaría más hacia una cola?
El centro de la distribución es \(80\).
El valor \(82\) está a \(2\) unidades del centro:
\[ 82-80=2 \]
Por lo tanto, está cerca del centro.
El valor \(115\) está a \(35\) unidades del centro:
\[ 115-80=35 \]
Por lo tanto, está mucho más lejos del centro.
El valor \(115\) se ubicaría más hacia la cola derecha de la distribución.
\(82\) está cerca del centro; \(115\) está lejos y se ubica hacia la cola derecha.
Ejercicio 5: corregir una afirmación
Un estudiante afirma: “En una distribución normal, los valores extremos son imposibles”.
Explica por qué esta afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque los valores extremos no son imposibles en una distribución normal.
Lo que ocurre es que los valores muy alejados del centro tienen menor probabilidad.
En la curva normal, esos valores se ubican en las colas, donde el área bajo la curva es pequeña.
Por lo tanto, son poco frecuentes, pero no se consideran imposibles dentro del modelo.
Los valores extremos son poco probables, no imposibles.
Ejercicio 6: distinguir centro y cola
Los tiempos de espera en una atención se distribuyen aproximadamente de forma normal con centro en \(12\) minutos.
Clasifica cada tiempo como cercano al centro, bajo el centro o sobre el centro:
- \(12\) minutos.
- \(8\) minutos.
- \(19\) minutos.
El centro de la distribución es \(12\) minutos.
- \(12\) minutos está exactamente en el centro.
- \(8\) minutos está bajo el centro, porque \(8<12\).
- \(19\) minutos está sobre el centro, porque \(19>12\).
Además, \(19\) está más alejado del centro que \(8\), porque:
\[ 19-12=7,\qquad 12-8=4 \]
Por eso, \(19\) estaría más hacia la cola derecha que \(8\) hacia la izquierda.
\(12\) está en el centro, \(8\) bajo el centro y \(19\) sobre el centro.
Ejercicio 7: caso desafiante
Dos cursos rinden una prueba. En ambos cursos el promedio es \(60\), pero las distribuciones tienen formas distintas:
- Curso A: la mayoría de los puntajes está muy cerca de \(60\).
- Curso B: hay puntajes mucho más dispersos, tanto bajo como sobre \(60\).
- ¿Cuál distribución tendría una campana más angosta?
- ¿Cuál tendría colas más extendidas?
- ¿Qué indica esto sobre la variabilidad de los puntajes?
El Curso A tendría una campana más angosta, porque la mayoría de sus puntajes está cerca del promedio \(60\).
El Curso B tendría una campana más extendida, porque sus puntajes están más dispersos hacia valores bajos y altos.
Esto indica que el Curso B presenta mayor variabilidad en los puntajes, mientras que el Curso A presenta menor variabilidad.
Curso A: campana más angosta. Curso B: colas más extendidas y mayor variabilidad.