Distribución normal y puntaje Z
6. Regla 68–95–99,7
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la regla 68–95–99,7 en distribuciones normales.
- Construir intervalos alrededor de la media usando la desviación estándar.
- Interpretar porcentajes aproximados de datos dentro de una, dos y tres desviaciones estándar.
Una regla para interpretar la normal
En una distribución normal, la desviación estándar permite medir qué tan lejos están los valores respecto de la media.
La regla 68–95–99,7 indica aproximadamente qué porcentaje de valores se encuentra alrededor de la media.
Esta regla es útil para estimar probabilidades sin usar todavía una tabla normal.
Regla 68–95–99,7
Si \(X\) se distribuye aproximadamente de forma normal con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), entonces:
\[ P(\mu-\sigma
\[ P(\mu-2\sigma
\[ P(\mu-3\sigma
En porcentaje, esto corresponde aproximadamente a \(68\%\), \(95\%\) y \(99{,}7\%\).
Ejemplo 1: una desviación estándar
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(100,15) \]
La media es \(\mu=100\) y la desviación estándar es \(\sigma=15\).
El intervalo de una desviación estándar alrededor de la media es:
\[ \mu-\sigma=100-15=85 \]
\[ \mu+\sigma=100+15=115 \]
Por la regla 68–95–99,7:
\[ P(85
Esto significa que aproximadamente el \(68\%\) de los puntajes se encuentra entre \(85\) y \(115\) puntos.
Ejemplo 2: dos desviaciones estándar
Los puntajes de otro instrumento se modelan como:
\[ Y\sim N(60,8) \]
Queremos determinar el intervalo que contiene aproximadamente el \(95\%\) de los valores.
Según la regla, el \(95\%\) aproximado se encuentra entre dos desviaciones estándar bajo y sobre la media.
Calculamos:
\[ \mu-2\sigma=60-2\cdot 8=60-16=44 \]
\[ \mu+2\sigma=60+2\cdot 8=60+16=76 \]
Entonces:
\[ P(44
Aproximadamente el \(95\%\) de los valores está entre \(44\) y \(76\).
Ejemplo 3: tres desviaciones estándar
Las estaturas de un grupo grande de estudiantes se modelan como:
\[ X\sim N(170,6) \]
Para encontrar el intervalo que contiene aproximadamente el \(99{,}7\%\) de los valores, usamos tres desviaciones estándar.
Calculamos:
\[ \mu-3\sigma=170-3\cdot 6=170-18=152 \]
\[ \mu+3\sigma=170+3\cdot 6=170+18=188 \]
Entonces:
\[ P(152
Esto significa que aproximadamente el \(99{,}7\%\) de las estaturas se encuentra entre \(152\) cm y \(188\) cm.
Fuera de ese intervalo queda aproximadamente el \(0{,}3\%\) de los valores.
Idea clave
La regla 68–95–99,7 permite interpretar rápidamente qué tan común o extremo puede ser un valor.
Un valor dentro de una desviación estándar de la media suele considerarse cercano al promedio. Un valor a más de tres desviaciones estándar se considera muy extremo dentro del modelo normal.
Error frecuente
La regla 68–95–99,7 es aproximada y se aplica a distribuciones normales o aproximadamente normales.
No debe usarse automáticamente en cualquier conjunto de datos, especialmente si la distribución es muy asimétrica o no tiene forma de campana.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: construir intervalos
Una variable se distribuye normalmente con media \(\mu=50\) y desviación estándar \(\sigma=4\).
Determina los intervalos correspondientes a:
- Una desviación estándar alrededor de la media.
- Dos desviaciones estándar alrededor de la media.
- Tres desviaciones estándar alrededor de la media.
Para una desviación estándar:
\[ \mu-\sigma=50-4=46 \]
\[ \mu+\sigma=50+4=54 \]
El intervalo es:
\[ 46
Para dos desviaciones estándar:
\[ \mu-2\sigma=50-2\cdot 4=42 \]
\[ \mu+2\sigma=50+2\cdot 4=58 \]
El intervalo es:
\[ 42
Para tres desviaciones estándar:
\[ \mu-3\sigma=50-3\cdot 4=38 \]
\[ \mu+3\sigma=50+3\cdot 4=62 \]
El intervalo es:
\[ 38
Los intervalos son \((46,54)\), \((42,58)\) y \((38,62)\).
Ejercicio 2: aplicar el 68%
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Usando la regla 68–95–99,7, estima:
\[ P(60
La media es \(\mu=70\) y la desviación estándar es \(\sigma=10\).
Calculamos una desviación estándar bajo y sobre la media:
\[ \mu-\sigma=70-10=60 \]
\[ \mu+\sigma=70+10=80 \]
El intervalo \(60
Por la regla 68–95–99,7:
\[ P(60
La probabilidad aproximada es \(0{,}68\), es decir, \(68\%\).
Ejercicio 3: aplicar el 95%
Una variable se distribuye normalmente con media \(120\) y desviación estándar \(15\).
Determina el intervalo que contiene aproximadamente el \(95\%\) de los valores.
El \(95\%\) aproximado de los valores se encuentra dentro de dos desviaciones estándar alrededor de la media.
Como \(\mu=120\) y \(\sigma=15\), calculamos:
\[ \mu-2\sigma=120-2\cdot 15=120-30=90 \]
\[ \mu+2\sigma=120+2\cdot 15=120+30=150 \]
Por lo tanto:
\[ P(90
El intervalo aproximado es \((90,150)\).
Ejercicio 4: aplicar el 99,7%
Las estaturas de un grupo grande se modelan como:
\[ X\sim N(165,7) \]
Determina el intervalo que contiene aproximadamente el \(99{,}7\%\) de las estaturas.
El \(99{,}7\%\) aproximado se encuentra dentro de tres desviaciones estándar alrededor de la media.
Como \(\mu=165\) y \(\sigma=7\):
\[ \mu-3\sigma=165-3\cdot 7=165-21=144 \]
\[ \mu+3\sigma=165+3\cdot 7=165+21=186 \]
Entonces:
\[ P(144
Aproximadamente el \(99{,}7\%\) de las estaturas está entre \(144\) cm y \(186\) cm.
Ejercicio 5: ubicar un valor usando desviaciones estándar
Una prueba tiene puntajes modelados como:
\[ X\sim N(70,6) \]
Un estudiante obtiene \(82\) puntos.
- ¿Cuántas desviaciones estándar sobre la media está el puntaje?
- ¿Está dentro del intervalo central aproximado del \(95\%\)?
La media es \(\mu=70\) y la desviación estándar es \(\sigma=6\).
Calculamos la diferencia respecto de la media:
\[ 82-70=12 \]
Ahora dividimos por la desviación estándar:
\[ \frac{12}{6}=2 \]
El puntaje está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El intervalo central aproximado del \(95\%\) es:
\[ \mu-2\sigma
\[ 70-12
\[ 58
El valor \(82\) está justo en el límite superior de ese intervalo.
Está \(2\) desviaciones estándar sobre la media y queda en el límite superior del intervalo central del \(95\%\).
Ejercicio 6: porcentaje fuera de un intervalo
Una variable normal tiene media \(100\) y desviación estándar \(12\).
Usando la regla 68–95–99,7, estima qué porcentaje de valores queda fuera del intervalo:
\[ 76
La media es \(\mu=100\) y la desviación estándar es \(\sigma=12\).
Calculamos dos desviaciones estándar:
\[ 2\sigma=2\cdot 12=24 \]
Entonces:
\[ \mu-2\sigma=100-24=76 \]
\[ \mu+2\sigma=100+24=124 \]
El intervalo \(76
Por lo tanto, fuera de ese intervalo queda aproximadamente:
\[ 100\%-95\%=5\% \]
Aproximadamente el \(5\%\) de los valores queda fuera del intervalo.
Ejercicio 7: caso desafiante
La masa de cierto producto se distribuye aproximadamente de forma normal con media \(500\) g y desviación estándar \(20\) g.
La empresa considera aceptables los productos cuya masa esté entre \(460\) g y \(540\) g.
- Expresa los límites \(460\) y \(540\) en relación con la media y la desviación estándar.
- Estima qué porcentaje de productos será aceptable usando la regla 68–95–99,7.
- Estima qué porcentaje quedará fuera del rango aceptable.
La media es \(\mu=500\) y la desviación estándar es \(\sigma=20\).
El límite inferior es:
\[ 460=500-40=500-2\cdot 20=\mu-2\sigma \]
El límite superior es:
\[ 540=500+40=500+2\cdot 20=\mu+2\sigma \]
Por lo tanto, el intervalo aceptable corresponde a dos desviaciones estándar alrededor de la media:
\[ \mu-2\sigma
Usando la regla 68–95–99,7, aproximadamente el \(95\%\) de los productos estará dentro de ese intervalo.
Entonces, fuera del rango aceptable quedará aproximadamente:
\[ 100\%-95\%=5\% \]
Aproximadamente el \(95\%\) será aceptable y el \(5\%\) quedará fuera del rango.