Distribución normal y puntaje Z
11. Probabilidad entre dos valores
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar probabilidades normales de la forma \(P(a
- Calcular probabilidades entre dos valores usando estandarización.
- Usar la tabla normal estándar para restar áreas acumuladas.
Área entre dos valores
En una distribución normal, la probabilidad de que una variable tome valores entre \(a\) y \(b\) corresponde al área bajo la curva entre esos dos puntos.
La expresión:
\[ P(a
representa la probabilidad de que \(X\) sea mayor que \(a\) y menor que \(b\).
Cómo calcular \(P(a
Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), se estandarizan ambos límites:
\[ z_a=\frac{a-\mu}{\sigma} \]
\[ z_b=\frac{b-\mu}{\sigma} \]
Entonces:
\[ P(a
Usando una tabla acumulada a la izquierda:
\[ P(z_a
Idea clave
Para calcular un área entre dos valores, se resta el área acumulada hasta el límite menor del área acumulada hasta el límite mayor.
Visualmente, es como tomar toda el área a la izquierda del valor mayor y quitar la parte que queda antes del valor menor.
Ejemplo 1: puntajes entre dos valores
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Queremos calcular:
\[ P(60
Estandarizamos el límite inferior \(60\):
\[ z_1=\frac{60-70}{10}=-1 \]
Estandarizamos el límite superior \(85\):
\[ z_2=\frac{85-70}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(60
Usando tabla normal estándar:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Restamos:
\[ P(-1
La probabilidad de obtener un puntaje entre \(60\) y \(85\) es aproximadamente \(0{,}7745\), es decir, \(77{,}45\%\).
Ejemplo 2: masa aceptable de un producto
La masa de cierto producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un producto se considera aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
Queremos calcular:
\[ P(470
Estandarizamos ambos valores:
\[ z_1=\frac{470-500}{20}=-1{,}5 \]
\[ z_2=\frac{530-500}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(470
De la tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Por lo tanto:
\[ P(-1{,}5
Aproximadamente el \(86{,}64\%\) de los productos tendrá masa aceptable.
Ejemplo 3: tiempo entre dos límites
Los tiempos de espera en una atención se modelan como:
\[ T\sim N(30,5) \]
Queremos calcular la probabilidad de que una persona espere entre \(22\) y \(35\) minutos:
\[ P(22
Estandarizamos:
\[ z_1=\frac{22-30}{5}=-1{,}6 \]
\[ z_2=\frac{35-30}{5}=1 \]
Entonces:
\[ P(22
Usando tabla:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
\[ P(Z<-1{,}6)=0{,}0548 \]
Restamos:
\[ P(-1{,}6
La probabilidad de esperar entre \(22\) y \(35\) minutos es aproximadamente \(78{,}65\%\).
Error frecuente
No se deben sumar directamente las probabilidades acumuladas.
Para calcular una probabilidad entre dos valores, se debe restar:
\[ P(Z
donde \(z_b\) corresponde al límite mayor y \(z_a\) al límite menor.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar un intervalo
Sea \(X\) una variable continua.
Interpreta en palabras la expresión:
\[ P(40
La expresión \(P(40
En una curva normal, corresponde al área bajo la curva ubicada entre los valores \(40\) y \(60\).
Es la probabilidad de que \(X\) esté entre \(40\) y \(60\).
Ejercicio 2: entre \(-1\) y \(1\) en la normal estándar
Usa los siguientes valores de tabla:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Calcula:
\[ P(-1
Para calcular la probabilidad entre dos valores, restamos las probabilidades acumuladas:
\[ P(-1
Reemplazamos:
\[ P(-1
\[ P(-1
La probabilidad es \(0{,}6826\), aproximadamente \(68{,}26\%\).
Ejercicio 3: puntajes entre dos límites
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(100,15) \]
Calcula:
\[ P(85
Usa:
\[ P(Z<1)=0{,}8413,\qquad P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Estandarizamos el límite inferior:
\[ z_1=\frac{85-100}{15}=-1 \]
Estandarizamos el límite superior:
\[ z_2=\frac{115-100}{15}=1 \]
Entonces:
\[ P(85
Restamos:
\[ P(-1
\(P(85
Ejercicio 4: masa aceptable
La masa de un producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un producto es aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
Calcula la probabilidad de que un producto sea aceptable usando:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Debemos calcular:
\[ P(470
Estandarizamos \(470\):
\[ z_1=\frac{470-500}{20}=-1{,}5 \]
Estandarizamos \(530\):
\[ z_2=\frac{530-500}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(470
Restamos las acumuladas:
\[ P(-1{,}5
La probabilidad de que el producto sea aceptable es \(0{,}8664\), es decir, aproximadamente \(86{,}64\%\).
Ejercicio 5: intervalo no simétrico
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Calcula:
\[ P(65
Usa:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-0{,}5)=0{,}3085 \]
Estandarizamos \(65\):
\[ z_1=\frac{65-70}{10}=-0{,}5 \]
Estandarizamos \(85\):
\[ z_2=\frac{85-70}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(65
Restamos:
\[ P(-0{,}5
\[ P(-0{,}5
La probabilidad es \(0{,}6247\), aproximadamente \(62{,}47\%\).
Ejercicio 6: corregir un procedimiento
Un estudiante quiere calcular \(P(-1
\[ P(Z<2)=0{,}9772,\qquad P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Luego afirma:
\[ P(-1
Explica el error y calcula la probabilidad correcta.
El error es sumar las probabilidades acumuladas.
Para calcular el área entre dos valores, se debe restar el área acumulada hasta el límite menor al área acumulada hasta el límite mayor.
Entonces:
\[ P(-1
\[ P(-1
La probabilidad correcta es \(0{,}8185\), aproximadamente \(81{,}85\%\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una máquina llena botellas. La cantidad de líquido, en mililitros, se modela como:
\[ X\sim N(500,10) \]
Una botella se considera aceptable si contiene entre \(485\) ml y \(515\) ml.
- Estandariza ambos límites.
- Calcula la probabilidad de que una botella sea aceptable.
- Calcula el porcentaje aproximado de botellas que quedan fuera del rango aceptable.
Usa:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
El límite inferior es \(485\):
\[ z_1=\frac{485-500}{10}=-1{,}5 \]
El límite superior es \(515\):
\[ z_2=\frac{515-500}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(485
Restamos las áreas acumuladas:
\[ P(-1{,}5
Por lo tanto, aproximadamente el \(86{,}64\%\) de las botellas queda dentro del rango aceptable.
El porcentaje fuera del rango es:
\[ 100\%-86{,}64\%=13{,}36\% \]
La probabilidad de aceptación es \(0{,}8664\), y aproximadamente el \(13{,}36\%\) queda fuera del rango.