Distribución normal y puntaje Z
12. Valores extremos y percentiles en la normal
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer valores extremos en una distribución normal mediante probabilidades de cola.
- Interpretar percentiles como puntos que dejan cierto porcentaje de valores bajo ellos.
- Calcular valores asociados a percentiles usando puntajes Z.
Valores extremos
En una distribución normal, los valores extremos se ubican en las colas de la campana.
Un valor muy alto se ubica en la cola derecha; un valor muy bajo se ubica en la cola izquierda.
Mientras menor sea el área de la cola, menos frecuente es el valor o conjunto de valores que se está analizando.
Percentiles
El percentil \(p\) es un valor que deja aproximadamente el \(p\%\) de los datos bajo él.
Por ejemplo, el percentil \(90\) es un valor \(x\) tal que:
\[ P(X
Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\) y conocemos el puntaje \(z_p\) asociado al percentil, entonces:
\[ x=\mu+z_p\cdot\sigma \]
Valores de referencia útiles
| Percentil aproximado | Probabilidad acumulada | Puntaje Z aproximado |
|---|---|---|
| Percentil \(5\) | \(P(Z | \(z\approx -1{,}65\) |
| Percentil \(10\) | \(P(Z | \(z\approx -1{,}28\) |
| Percentil \(90\) | \(P(Z | \(z\approx 1{,}28\) |
| Percentil \(95\) | \(P(Z | \(z\approx 1{,}65\) |
| Percentil \(97{,}5\) | \(P(Z | \(z\approx 1{,}96\) |
Ejemplo 1: reconocer un valor extremo alto
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Queremos analizar si obtener más de \(90\) puntos es poco frecuente:
\[ P(X>90) \]
Estandarizamos:
\[ z=\frac{90-70}{10}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>90)=P(Z>2) \]
Usando tabla:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Por complemento:
\[ P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
La probabilidad es aproximadamente \(2{,}28\%\), por lo que obtener más de \(90\) puntos es un valor poco frecuente en este modelo.
Ejemplo 2: calcular el percentil 90
La masa de cierto producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Queremos encontrar el percentil \(90\). Esto significa buscar un valor \(x\) tal que:
\[ P(X
De la tabla normal estándar, para el percentil \(90\):
\[ z\approx 1{,}28 \]
Usamos:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
\[ x=500+1{,}28\cdot 20 \]
\[ x=500+25{,}6=525{,}6 \]
El percentil \(90\) es aproximadamente \(525{,}6\) g. Esto significa que cerca del \(90\%\) de los productos tiene masa menor que \(525{,}6\) g.
Ejemplo 3: calcular un percentil bajo
La duración de una batería, en horas, se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Queremos calcular el percentil \(5\). Esto significa buscar un valor \(x\) tal que:
\[ P(X
De la tabla normal estándar:
\[ z\approx -1{,}65 \]
Entonces:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
\[ x=12+(-1{,}65)\cdot 2 \]
\[ x=12-3{,}3=8{,}7 \]
El percentil \(5\) es aproximadamente \(8{,}7\) horas. Esto significa que cerca del \(5\%\) de las baterías dura menos de \(8{,}7\) horas.
Ejemplo 4: intervalo central del 95%
Los puntajes de un test se modelan como:
\[ X\sim N(100,15) \]
Para encontrar un intervalo central aproximado del \(95\%\), usamos los valores:
\[ z=-1{,}96 \quad \text{y} \quad z=1{,}96 \]
Calculamos el límite inferior:
\[ x_1=100+(-1{,}96)\cdot 15=100-29{,}4=70{,}6 \]
Calculamos el límite superior:
\[ x_2=100+1{,}96\cdot 15=100+29{,}4=129{,}4 \]
Aproximadamente el \(95\%\) central de los puntajes se encuentra entre \(70{,}6\) y \(129{,}4\).
Error frecuente
No se debe confundir un percentil con un porcentaje de probabilidad.
El percentil es un valor de la variable, mientras que el porcentaje indica el área acumulada bajo la curva.
Por ejemplo, si el percentil \(90\) es \(525{,}6\) g, entonces \(525{,}6\) g es un valor de masa, no una probabilidad.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar un percentil
En una prueba, el percentil \(90\) corresponde a \(82\) puntos.
Interpreta esta afirmación en palabras.
El percentil \(90\) es el valor que deja aproximadamente el \(90\%\) de los datos bajo él.
Entonces, si el percentil \(90\) corresponde a \(82\) puntos, significa que cerca del \(90\%\) de los puntajes está bajo \(82\) puntos.
También significa que aproximadamente el \(10\%\) de los puntajes está sobre ese valor.
Aproximadamente el \(90\%\) de los puntajes está bajo \(82\) puntos.
Ejercicio 2: reconocer una cola derecha
Una variable se distribuye normalmente con media \(50\) y desviación estándar \(5\).
Se quiere analizar el evento \(X>60\).
- Estandariza el valor \(60\).
- Indica si corresponde a una cola izquierda o derecha.
Estandarizamos:
\[ z=\frac{60-50}{5} \]
\[ z=\frac{10}{5}=2 \]
El evento \(X>60\) corresponde a valores mayores que \(60\), por lo tanto se ubica a la derecha del valor \(60\).
Como \(z=2\), se trata de una cola derecha alejada dos desviaciones estándar de la media.
El valor estandarizado es \(z=2\) y corresponde a una cola derecha.
Ejercicio 3: calcular una probabilidad extrema
Sea:
\[ X\sim N(100,15) \]
Calcula \(P(X>130)\), sabiendo que:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Estandarizamos \(130\):
\[ z=\frac{130-100}{15} \]
\[ z=\frac{30}{15}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>130)=P(Z>2) \]
Como la tabla entrega el área a la izquierda:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Usamos el complemento:
\[ P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
Esta es una probabilidad pequeña, por lo que valores mayores que \(130\) son poco frecuentes en este modelo.
\(P(X>130)=0{,}0228\), aproximadamente \(2{,}28\%\).
Ejercicio 4: calcular el percentil 90
Una variable se distribuye como:
\[ X\sim N(80,10) \]
Calcula el percentil \(90\), usando:
\[ z_{90}\approx 1{,}28 \]
Usamos la fórmula para transformar desde puntaje Z al valor original:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
Reemplazamos:
\[ x=80+1{,}28\cdot 10 \]
\[ x=80+12{,}8=92{,}8 \]
Esto significa que aproximadamente el \(90\%\) de los valores está bajo \(92{,}8\).
El percentil \(90\) es aproximadamente \(92{,}8\).
Ejercicio 5: calcular el percentil 10
El tiempo de duración de una actividad se modela como:
\[ X\sim N(40,6) \]
Calcula el percentil \(10\), usando:
\[ z_{10}\approx -1{,}28 \]
El percentil \(10\) deja aproximadamente el \(10\%\) de los valores bajo él.
Usamos:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
Reemplazamos:
\[ x=40+(-1{,}28)\cdot 6 \]
\[ x=40-7{,}68=32{,}32 \]
Esto significa que aproximadamente el \(10\%\) de las duraciones está bajo \(32{,}32\).
El percentil \(10\) es aproximadamente \(32{,}32\).
Ejercicio 6: percentil y cola complementaria
En una distribución normal, el percentil \(95\) corresponde a \(73\).
- ¿Qué porcentaje de valores está bajo \(73\)?
- ¿Qué porcentaje de valores está sobre \(73\)?
- ¿El valor \(73\) puede considerarse alto respecto de la distribución? Justifica.
Si \(73\) corresponde al percentil \(95\), entonces aproximadamente el \(95\%\) de los valores está bajo \(73\).
Como el total es \(100\%\), el porcentaje sobre \(73\) es:
\[ 100\%-95\%=5\% \]
El valor \(73\) puede considerarse alto respecto de la distribución, porque deja solo aproximadamente el \(5\%\) de los valores por encima.
Bajo \(73\) está el \(95\%\); sobre \(73\), el \(5\%\). Es un valor alto en la distribución.
Ejercicio 7: caso desafiante
La duración de cierta batería se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Una empresa quiere identificar las baterías de duración muy baja, definiendo como “muy baja” toda duración ubicada bajo el percentil \(5\).
- Calcula el valor límite usando \(z_5\approx -1{,}65\).
- Interpreta el resultado en contexto.
- ¿Qué porcentaje de baterías quedaría clasificado como “muy baja duración”?
Usamos la fórmula:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
Con \(\mu=12\), \(\sigma=2\) y \(z=-1{,}65\):
\[ x=12+(-1{,}65)\cdot 2 \]
\[ x=12-3{,}3=8{,}7 \]
El límite es aproximadamente \(8{,}7\) horas.
En contexto, una batería que dure menos de \(8{,}7\) horas quedaría clasificada como de muy baja duración.
Como se usa el percentil \(5\), aproximadamente el \(5\%\) de las baterías quedaría en esa categoría.
El límite es \(8{,}7\) horas y corresponde aproximadamente al \(5\%\) inferior de las baterías.