Distribución normal y puntaje Z
14. Taller: usar la normal para tomar decisiones
Objetivo de aprendizaje
- Resolver problemas contextualizados usando la distribución normal.
- Aplicar estandarización, tabla normal, probabilidades de cola, intervalos y percentiles.
- Interpretar probabilidades para apoyar decisiones en contextos reales.
Decidir usando probabilidades
La distribución normal permite estimar qué tan probable es que ocurra un evento cuando una variable continua se concentra alrededor de una media.
En este taller, las probabilidades se usarán para tomar decisiones como aceptar productos, evaluar riesgos, definir puntos de corte o estimar cantidades esperadas.
Herramientas del taller
Si una variable se modela como:
\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]
entonces se puede estandarizar mediante:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Luego se usa la tabla normal estándar para obtener probabilidades de la forma:
\[ P(Z
También se pueden usar complementos:
\[ P(Z>z)=1-P(Z
y diferencias de áreas:
\[ P(a
Procedimiento para decidir
- Identificar la variable y el modelo normal.
- Traducir la decisión a una probabilidad.
- Estandarizar los valores necesarios.
- Usar la tabla normal estándar.
- Interpretar el resultado como porcentaje.
- Tomar una decisión coherente con el contexto.
Ejemplo 1: decisión de control de calidad
Una máquina llena envases. La masa, en gramos, se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un envase se considera aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
Queremos calcular:
\[ P(470
Estandarizamos los límites:
\[ z_1=\frac{470-500}{20}=-1{,}5 \]
\[ z_2=\frac{530-500}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(470
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Restamos:
\[ P(-1{,}5
Aproximadamente el \(86{,}64\%\) de los envases será aceptable.
Si se producen \(1000\) envases, se espera que aproximadamente:
\[ 1000\cdot 0{,}8664=866{,}4 \]
es decir, cerca de \(866\) envases sean aceptables.
Ejemplo 2: evaluar una promesa de servicio
El tiempo de entrega de un servicio, en minutos, se modela como:
\[ X\sim N(45,8) \]
La empresa promete que una entrega no debería tardar más de \(60\) minutos.
Calculamos la probabilidad de una entrega tardía:
\[ P(X>60) \]
Estandarizamos:
\[ z=\frac{60-45}{8} \]
\[ z=\frac{15}{8}=1{,}875\approx 1{,}88 \]
Entonces:
\[ P(X>60)=P(Z>1{,}88) \]
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}88)=0{,}9699 \]
Por complemento:
\[ P(Z>1{,}88)=1-0{,}9699=0{,}0301 \]
La probabilidad de una entrega tardía es aproximadamente \(3{,}01\%\).
Si la empresa considera aceptable una tasa de tardanza menor al \(5\%\), entonces el modelo indica que la promesa podría cumplirse razonablemente.
Ejemplo 3: definir un punto de corte
Los puntajes de una prueba de selección se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Se desea seleccionar al \(10\%\) superior de los postulantes.
Eso corresponde a buscar el percentil \(90\), porque el \(90\%\) queda bajo el punto de corte y el \(10\%\) queda sobre él.
Para el percentil \(90\), usamos:
\[ z_{90}\approx 1{,}28 \]
Transformamos desde \(Z\) al puntaje original:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
\[ x=70+1{,}28\cdot 10 \]
\[ x=70+12{,}8=82{,}8 \]
El punto de corte debería ser aproximadamente \(82{,}8\) puntos.
En contexto, quienes obtengan más de \(82{,}8\) puntos quedarían dentro del \(10\%\) superior.
Error frecuente
Una probabilidad alta o baja no decide por sí sola.
La decisión depende del contexto: un \(3\%\) de fallas puede ser aceptable en una situación, pero inaceptable en otra si las consecuencias son graves.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: traducir una decisión a probabilidad
La duración de una batería se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Una batería se considera deficiente si dura menos de \(9\) horas.
- Escribe la probabilidad que representa que una batería sea deficiente.
- Estandariza el valor \(9\).
La batería es deficiente si dura menos de \(9\) horas. Por lo tanto, la probabilidad buscada es:
\[ P(X<9) \]
Estandarizamos el valor \(9\):
\[ z=\frac{9-12}{2} \]
\[ z=\frac{-3}{2}=-1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<9)=P(Z<-1{,}5) \]
La probabilidad es \(P(X<9)\), equivalente a \(P(Z<-1{,}5)\).
Ejercicio 2: porcentaje aceptable de productos
La longitud de una pieza, en centímetros, se modela como:
\[ X\sim N(100,5) \]
Una pieza es aceptable si mide entre \(92{,}5\) cm y \(107{,}5\) cm.
Calcula la probabilidad de que una pieza sea aceptable.
Usa:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Queremos calcular:
\[ P(92{,}5
Estandarizamos el límite inferior:
\[ z_1=\frac{92{,}5-100}{5} \]
\[ z_1=\frac{-7{,}5}{5}=-1{,}5 \]
Estandarizamos el límite superior:
\[ z_2=\frac{107{,}5-100}{5} \]
\[ z_2=\frac{7{,}5}{5}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(92{,}5
Restamos las áreas acumuladas:
\[ P(-1{,}5
La probabilidad de aceptación es \(0{,}8664\), aproximadamente \(86{,}64\%\).
Ejercicio 3: estimar cantidad de casos extremos
Los puntajes de una evaluación se modelan como:
\[ X\sim N(80,12) \]
Se considera puntaje sobresaliente obtener más de \(104\) puntos.
- Calcula la probabilidad de obtener un puntaje sobresaliente.
- Si rinden \(500\) estudiantes, estima cuántos tendrían puntaje sobresaliente.
Usa:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Queremos calcular:
\[ P(X>104) \]
Estandarizamos:
\[ z=\frac{104-80}{12} \]
\[ z=\frac{24}{12}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>104)=P(Z>2) \]
Como la tabla entrega el área a la izquierda:
\[ P(Z>2)=1-P(Z<2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
En \(500\) estudiantes, estimamos:
\[ 500\cdot 0{,}0228=11{,}4 \]
Por lo tanto, se esperarían aproximadamente \(11\) o \(12\) estudiantes con puntaje sobresaliente.
La probabilidad es \(0{,}0228\), y en \(500\) estudiantes se esperan cerca de \(11\) o \(12\) casos.
Ejercicio 4: punto de corte superior
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(50,6) \]
Se quiere premiar al \(5\%\) superior de los estudiantes.
Calcula el punto de corte usando:
\[ z_{95}\approx 1{,}65 \]
Premiar al \(5\%\) superior significa buscar el percentil \(95\), porque el \(95\%\) queda bajo el punto de corte.
Usamos:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
Reemplazamos:
\[ x=50+1{,}65\cdot 6 \]
\[ x=50+9{,}9=59{,}9 \]
Por lo tanto, el punto de corte es aproximadamente \(59{,}9\) puntos.
En contexto, los estudiantes con puntajes sobre \(59{,}9\) quedarían dentro del \(5\%\) superior.
El punto de corte aproximado es \(59{,}9\) puntos.
Ejercicio 5: comparar dos procesos
Dos máquinas producen piezas con masa promedio \(500\) g, pero con distinta desviación estándar:
- Máquina A: \(X_A\sim N(500,10)\)
- Máquina B: \(X_B\sim N(500,20)\)
Una pieza es aceptable si su masa está entre \(480\) g y \(520\) g.
- Calcula la probabilidad de aceptación para cada máquina.
- Decide cuál máquina conviene preferir si se busca mayor regularidad.
Usa:
\[ P(Z<2)=0{,}9772,\quad P(Z<-2)=0{,}0228 \]
\[ P(Z<1)=0{,}8413,\quad P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Para la Máquina A:
\[ z_1=\frac{480-500}{10}=-2 \]
\[ z_2=\frac{520-500}{10}=2 \]
Entonces:
\[ P(480
\[ P(-2
Para la Máquina B:
\[ z_1=\frac{480-500}{20}=-1 \]
\[ z_2=\frac{520-500}{20}=1 \]
Entonces:
\[ P(480
\[ P(-1
La Máquina A tiene mayor probabilidad de producir piezas aceptables, porque su desviación estándar es menor y sus masas se concentran más cerca de \(500\) g.
Máquina A: \(95{,}44\%\). Máquina B: \(68{,}26\%\). Conviene preferir la Máquina A.
Ejercicio 6: interpretar una decisión con riesgo
El tiempo de atención en una oficina se modela como:
\[ X\sim N(20,4) \]
La oficina considera aceptable que como máximo el \(10\%\) de las atenciones tarde más de \(25\) minutos.
Evalúa si se cumple esa condición.
Usa:
\[ P(Z<1{,}25)=0{,}8944 \]
Queremos calcular:
\[ P(X>25) \]
Estandarizamos \(25\):
\[ z=\frac{25-20}{4} \]
\[ z=\frac{5}{4}=1{,}25 \]
Entonces:
\[ P(X>25)=P(Z>1{,}25) \]
Usamos complemento:
\[ P(Z>1{,}25)=1-P(Z<1{,}25) \]
\[ P(Z>1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056 \]
Como \(0{,}1056=10{,}56\%\), el porcentaje estimado de atenciones sobre \(25\) minutos supera levemente el \(10\%\).
Por lo tanto, según este modelo, la oficina no cumple exactamente la condición propuesta.
No se cumple la condición, porque la probabilidad estimada es \(10{,}56\%\), mayor que \(10\%\).
Ejercicio 7: caso integrador
Una empresa vende baterías cuya duración, en horas, se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
La empresa quiere clasificar las baterías en tres grupos:
- Deficientes: duran menos de \(9\) horas.
- Normales: duran entre \(9\) y \(15\) horas.
- Destacadas: duran más de \(15\) horas.
- Calcula la probabilidad de que una batería sea deficiente.
- Calcula la probabilidad de que una batería sea normal.
- Calcula la probabilidad de que una batería sea destacada.
- Si se producen \(2000\) baterías, estima cuántas serán deficientes.
Usa:
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668,\qquad P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Primero estandarizamos \(9\):
\[ z_1=\frac{9-12}{2}=-1{,}5 \]
Luego estandarizamos \(15\):
\[ z_2=\frac{15-12}{2}=1{,}5 \]
La probabilidad de que una batería sea deficiente es:
\[ P(X<9)=P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
La probabilidad de que sea normal es:
\[ P(9
\[ P(-1{,}5
La probabilidad de que sea destacada es:
\[ P(X>15)=P(Z>1{,}5) \]
\[ P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668 \]
Si se producen \(2000\) baterías, el número esperado de deficientes es:
\[ 2000\cdot 0{,}0668=133{,}6 \]
Se estiman aproximadamente \(134\) baterías deficientes.
Deficientes: \(6{,}68\%\). Normales: \(86{,}64\%\). Destacadas: \(6{,}68\%\). En \(2000\) baterías, cerca de \(134\) serían deficientes.
Cierre del libro
La distribución normal permite convertir datos en probabilidades mediante la estandarización.
El puntaje Z permite ubicar un valor respecto de su media y desviación estándar, mientras que la tabla normal estándar permite calcular áreas bajo la curva.
Estas herramientas ayudan a interpretar resultados, estimar riesgos y tomar decisiones fundamentadas en contextos reales.