Libro de las inferencias estadísticas
2. Del estadístico al parámetro
Objetivo de aprendizaje
- Relacionar estadísticos muestrales con los parámetros poblacionales que se desea estimar.
- Interpretar \(\bar{x}\) como estimador de \(\mu\) y \(\hat{p}\) como estimador de \(p\).
- Reconocer que un estadístico entrega evidencia sobre un parámetro, pero no necesariamente su valor exacto.
Lo que sabemos y lo que queremos saber
En inferencia estadística, normalmente no conocemos el valor real del parámetro poblacional.
Por ejemplo, puede que no sepamos la media real de horas de sueño de todos los estudiantes de un colegio, o la proporción real de hogares de una comuna que reciclan.
Lo que sí podemos calcular es un estadístico a partir de una muestra. Ese estadístico se usa como evidencia para aproximarnos al parámetro.
Relación entre estadístico y parámetro
| Parámetro poblacional | Estadístico muestral | Interpretación |
|---|---|---|
| \(\mu\) | \(\bar{x}\) | La media muestral estima la media poblacional. |
| \(p\) | \(\hat{p}\) | La proporción muestral estima la proporción poblacional. |
La idea central puede resumirse así:
\[ \bar{x}\ \text{estima a}\ \mu \]
\[ \hat{p}\ \text{estima a}\ p \]
Puente inferencial
El estadístico pertenece a la muestra y se puede calcular con los datos observados.
El parámetro pertenece a la población y generalmente es desconocido.
La inferencia estadística busca usar el estadístico para decir algo razonable sobre el parámetro.
Ejemplo 1: media muestral y media poblacional
Un colegio quiere estimar la media real de horas de sueño de sus estudiantes de enseñanza media.
Se selecciona una muestra aleatoria de \(80\) estudiantes y se obtiene:
\[ \bar{x}=7{,}1 \]
En este caso, el estadístico muestral es:
\[ \bar{x}=7{,}1 \]
El parámetro que se quiere estimar es:
\[ \mu=\text{media real de horas de sueño de todos los estudiantes de enseñanza media del colegio} \]
Entonces, \(\bar{x}=7{,}1\) se usa como estimación de \(\mu\).
No se afirma que \(\mu=7{,}1\) exactamente, sino que la muestra entrega evidencia para aproximar ese valor.
Ejemplo 2: proporción muestral y proporción poblacional
Una municipalidad quiere estimar la proporción real de hogares de una comuna que separan residuos reciclables.
Se toma una muestra aleatoria de \(240\) hogares y \(156\) declaran separar residuos.
Calculamos la proporción muestral:
\[ \hat{p}=\frac{156}{240}=0{,}65 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}65=65\% \]
El estadístico muestral es:
\[ \hat{p}=0{,}65 \]
El parámetro que se quiere estimar es:
\[ p=\text{proporción real de hogares de la comuna que separan residuos reciclables} \]
Por lo tanto, \(\hat{p}=0{,}65\) estima a \(p\).
Ejemplo 3: dos muestras pueden estimar el mismo parámetro
Una empresa quiere estimar la media real de masa de sus paquetes, representada por \(\mu\).
Dos muestras aleatorias entregan los siguientes resultados:
| Muestra | Tamaño muestral | Media muestral |
|---|---|---|
| A | \(50\) | \(\bar{x}=498\) g |
| B | \(50\) | \(\bar{x}=502\) g |
Ambas medias muestrales estiman el mismo parámetro poblacional \(\mu\).
Que no coincidan exactamente no significa que una esté necesariamente mal. La diferencia puede deberse a la variabilidad natural entre muestras.
Error frecuente
No se debe escribir que el parámetro es igual al estadístico solo porque ese fue el valor observado en la muestra.
Por ejemplo, si una muestra tiene \(\bar{x}=7{,}1\), lo correcto es decir que \(\bar{x}=7{,}1\) estima a \(\mu\), no que necesariamente \(\mu=7{,}1\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar estadístico y parámetro
Una muestra aleatoria de \(60\) estudiantes entrega una media de \(6{,}4\) horas de estudio semanal.
- Identifica el estadístico muestral.
- Identifica el parámetro poblacional que se quiere estimar.
El estadístico muestral es el valor calculado desde la muestra.
En este caso:
\[ \bar{x}=6{,}4 \]
El parámetro que se quiere estimar es la media real de horas de estudio semanal de la población de estudiantes.
Ese parámetro se representa por:
\[ \mu \]
El estadístico es \(\bar{x}=6{,}4\), y estima la media poblacional \(\mu\).
Ejercicio 2: proporción muestral y parámetro
En una muestra aleatoria de \(180\) personas, \(117\) declaran usar transporte público para ir al trabajo.
- Calcula la proporción muestral.
- Indica qué parámetro se quiere estimar.
Calculamos la proporción muestral:
\[ \hat{p}=\frac{117}{180}=0{,}65 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}65=65\% \]
El parámetro que se quiere estimar es la proporción real de personas de la población que usan transporte público para ir al trabajo.
Ese parámetro se representa por \(p\).
La proporción muestral es \(\hat{p}=0{,}65\), y estima la proporción poblacional \(p\).
Ejercicio 3: completar relaciones
Completa cada relación usando \(\bar{x}\), \(\hat{p}\), \(\mu\) o \(p\):
- La media muestral se representa por ________ y estima a ________.
- La proporción muestral se representa por ________ y estima a ________.
La media muestral se representa por \(\bar{x}\) y estima a la media poblacional \(\mu\).
Entonces:
\[ \bar{x}\ \text{estima a}\ \mu \]
La proporción muestral se representa por \(\hat{p}\) y estima a la proporción poblacional \(p\).
Entonces:
\[ \hat{p}\ \text{estima a}\ p \]
Media: \(\bar{x}\) estima a \(\mu\). Proporción: \(\hat{p}\) estima a \(p\).
Ejercicio 4: detectar una confusión
Una muestra de \(100\) hogares entrega una proporción muestral de \(\hat{p}=0{,}72\).
Un estudiante afirma:
“Entonces el parámetro poblacional es exactamente \(p=0{,}72\)”.
Explica el error.
El error está en tratar la proporción muestral como si fuera necesariamente igual a la proporción poblacional.
El valor \(\hat{p}=0{,}72\) fue calculado desde una muestra.
Por lo tanto, sirve como estimación de \(p\), pero no garantiza que el valor real de \(p\) sea exactamente \(0{,}72\).
Una forma correcta de decirlo sería:
“La proporción muestral \(\hat{p}=0{,}72\) estima a la proporción poblacional \(p\)”.
\(\hat{p}=0{,}72\) es una estimación de \(p\), no necesariamente su valor exacto.
Ejercicio 5: relacionar contexto y símbolo
Indica si el parámetro que se quiere estimar corresponde a \(\mu\) o a \(p\):
- La media real de masa de todos los paquetes producidos por una máquina.
- La proporción real de estudiantes que usan bicicleta para llegar al colegio.
- El promedio real de tiempo de espera en una atención.
- La proporción real de clientes satisfechos con un servicio.
Cuando se quiere estimar un promedio o media, el parámetro es \(\mu\).
Cuando se quiere estimar una proporción, el parámetro es \(p\).
- Media real de masa: \(\mu\).
- Proporción real de estudiantes que usan bicicleta: \(p\).
- Promedio real de tiempo de espera: \(\mu\).
- Proporción real de clientes satisfechos: \(p\).
Las respuestas son: \(\mu\), \(p\), \(\mu\), \(p\).
Ejercicio 6: dos muestras, un mismo parámetro
Se quiere estimar la media real de horas de sueño de los estudiantes de un colegio.
Dos muestras aleatorias entregan:
\[ \bar{x}_1=7{,}0 \]
\[ \bar{x}_2=7{,}3 \]
¿Ambas medias muestrales pueden estimar el mismo parámetro? Justifica.
Sí, ambas medias muestrales pueden estimar el mismo parámetro.
El parámetro que se quiere estimar es la media real de horas de sueño de todos los estudiantes del colegio, es decir, \(\mu\).
Las dos medias muestrales pueden ser distintas porque provienen de muestras diferentes.
Esto no significa necesariamente que una esté mal; refleja la variabilidad natural entre muestras.
Sí, ambas estiman a \(\mu\), aunque entreguen valores distintos.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una empresa quiere estimar la masa promedio real de todos los paquetes producidos en un día.
Selecciona una muestra aleatoria de \(64\) paquetes y obtiene una media muestral de \(985\) g.
- Identifica el estadístico muestral.
- Identifica el parámetro poblacional.
- Explica qué significa decir que \(985\) g estima al parámetro.
- Explica por qué no se debe afirmar automáticamente que la media poblacional es exactamente \(985\) g.
El estadístico muestral es la media calculada desde la muestra:
\[ \bar{x}=985 \]
El parámetro poblacional es la masa promedio real de todos los paquetes producidos en el día:
\[ \mu \]
Decir que \(985\) g estima al parámetro significa que la media muestral se usa como aproximación de la media poblacional.
No se debe afirmar automáticamente que \(\mu=985\), porque el valor proviene de una muestra. Otra muestra podría entregar una media diferente.
La inferencia estadística permitirá estudiar la incertidumbre asociada a esa estimación.
El estadístico es \(\bar{x}=985\) g y estima a la media poblacional \(\mu\).