Libro de las inferencias estadísticas
3. Estimación puntual y necesidad de medir incertidumbre
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar una estimación puntual como un valor muestral que aproxima un parámetro poblacional.
- Reconocer que una estimación puntual por sí sola no informa qué tan cerca está del parámetro real.
- Comprender la necesidad de medir la incertidumbre asociada a una estimación.
Una estimación puntual entrega un solo valor
Una estimación puntual es un valor calculado desde una muestra que se usa para aproximar un parámetro poblacional.
Por ejemplo, una media muestral \(\bar{x}\) puede estimar una media poblacional \(\mu\), y una proporción muestral \(\hat{p}\) puede estimar una proporción poblacional \(p\).
Sin embargo, una estimación puntual entrega solo un número. Por sí sola no indica qué tan cerca está del valor real de la población.
Estimación puntual y parámetro
| Situación | Estimación puntual | Parámetro estimado |
|---|---|---|
| Estimar una media poblacional | \(\bar{x}\) | \(\mu\) |
| Estimar una proporción poblacional | \(\hat{p}\) | \(p\) |
La relación central es:
\[ \bar{x}\ \text{estima a}\ \mu \]
\[ \hat{p}\ \text{estima a}\ p \]
¿Por qué no basta un solo número?
Si una muestra entrega \(\bar{x}=6{,}8\), ese valor puede ser una buena aproximación de \(\mu\), pero no sabemos si está muy cerca o algo lejos de la media real.
Otra muestra de la misma población podría entregar \(\bar{x}=6{,}5\) o \(\bar{x}=7{,}0\).
Por eso, en inferencia estadística no basta con calcular una estimación puntual. También interesa estudiar la incertidumbre de esa estimación.
Error de estimación como idea
El error de estimación corresponde a la diferencia entre una estimación muestral y el parámetro real que se quiere estimar.
Para una media:
\[ \bar{x}-\mu \]
Para una proporción:
\[ \hat{p}-p \]
En la práctica, normalmente no conocemos \(\mu\) ni \(p\). Por eso, no siempre podemos calcular exactamente el error de estimación.
Idea clave
La estimación puntual es el primer paso, pero no el final de la inferencia.
Después de estimar un parámetro, necesitamos estudiar cuánta incertidumbre tiene esa estimación.
Esa necesidad dará origen a ideas como distribución muestral, error estándar, margen de error e intervalo de confianza.
Ejemplo 1: una media muestral como estimación puntual
Una muestra aleatoria de \(50\) estudiantes entrega una media de horas de sueño de:
\[ \bar{x}=7{,}2 \]
Este valor es una estimación puntual de la media poblacional \(\mu\).
Una interpretación cuidadosa sería:
“La muestra entrega una media de \(7{,}2\) horas de sueño. Este valor puede usarse como estimación de la media real de horas de sueño de la población”.
No sería correcto afirmar automáticamente que:
“La media real de toda la población es exactamente \(7{,}2\) horas”.
La diferencia es importante: \(7{,}2\) es una estimación, no una certeza exacta.
Ejemplo 2: una proporción muestral como estimación puntual
Una encuesta aleatoria a \(200\) hogares muestra que \(126\) separan residuos reciclables.
Calculamos la proporción muestral:
\[ \hat{p}=\frac{126}{200}=0{,}63 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}63=63\% \]
El valor \(63\%\) es una estimación puntual de la proporción poblacional \(p\).
Una conclusión cuidadosa sería:
“En la muestra, el \(63\%\) de los hogares separa residuos reciclables. Este porcentaje puede estimar la proporción correspondiente en la población”.
Con solo esta estimación puntual, todavía no sabemos qué tan cerca está el \(63\%\) del valor real de la población.
Ejemplo 3: dos muestras, dos estimaciones
Se quiere estimar la proporción de estudiantes de un colegio que estudian con música.
Dos muestras aleatorias entregan los siguientes resultados:
| Muestra | Tamaño muestral | Estudiantes que estudian con música | Proporción muestral |
|---|---|---|---|
| A | \(100\) | \(58\) | \(\hat{p}=0{,}58\) |
| B | \(100\) | \(63\) | \(\hat{p}=0{,}63\) |
Ambas muestras intentan estimar el mismo parámetro poblacional \(p\).
Que las estimaciones sean distintas no significa necesariamente que una esté mal. Puede deberse a la variabilidad natural entre muestras.
Este ejemplo muestra por qué necesitamos medir la incertidumbre de una estimación.
Error frecuente
No se debe presentar una estimación puntual como si fuera el valor exacto del parámetro.
Una frase como “el \(63\%\) de toda la población separa residuos” es demasiado fuerte si solo se observó una muestra.
Es más correcto decir que el \(63\%\) observado en la muestra estima la proporción poblacional.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar una estimación puntual
Una muestra aleatoria de \(40\) estudiantes entrega una media de \(18{,}5\) minutos de traslado al colegio.
- Identifica la estimación puntual.
- Indica qué parámetro se quiere estimar.
La estimación puntual es la media muestral calculada desde la muestra:
\[ \bar{x}=18{,}5 \]
El parámetro que se quiere estimar es la media real de minutos de traslado de todos los estudiantes de la población.
Ese parámetro se representa por \(\mu\).
La estimación puntual es \(\bar{x}=18{,}5\), y estima la media poblacional \(\mu\).
Ejercicio 2: calcular e interpretar una proporción muestral
En una muestra aleatoria de \(120\) estudiantes, \(84\) declaran usar una plataforma digital para estudiar.
- Calcula la proporción muestral.
- Interpreta el resultado como estimación puntual.
- Explica por qué no debe interpretarse como certeza exacta.
Calculamos la proporción muestral:
\[ \hat{p}=\frac{84}{120}=0{,}70 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}70=70\% \]
Esto significa que, en la muestra, el \(70\%\) de los estudiantes declaró usar una plataforma digital para estudiar.
Este valor puede usarse como estimación puntual de la proporción poblacional \(p\).
No debe interpretarse como certeza exacta porque fue calculado desde una muestra. Otra muestra podría entregar un porcentaje diferente.
La proporción muestral es \(\hat{p}=0{,}70\), es decir, \(70\%\).
Ejercicio 3: explicar la necesidad de incertidumbre
Dos muestras aleatorias de una misma población entregan las siguientes medias de horas de sueño:
\[ \bar{x}_1=6{,}8 \]
\[ \bar{x}_2=7{,}2 \]
Explica por qué estos resultados muestran la necesidad de medir incertidumbre en una estimación.
Las dos muestras provienen de la misma población, pero entregan medias distintas.
Esto ocurre porque las muestras pueden contener estudiantes diferentes.
La diferencia entre \(6{,}8\) y \(7{,}2\) muestra que una estimación puntual puede variar de una muestra a otra.
Por eso, además de calcular una estimación, necesitamos estudiar su incertidumbre.
Las estimaciones varían entre muestras; por eso se necesita medir la incertidumbre.
Ejercicio 4: detectar una conclusión demasiado exacta
Una encuesta aleatoria a \(200\) estudiantes muestra que \(126\) prefieren evaluaciones con proyectos.
Un informe concluye:
“Exactamente el \(63\%\) de todos los estudiantes prefiere evaluaciones con proyectos”.
- Calcula la proporción muestral.
- Explica el error en la conclusión.
- Reescribe la conclusión de forma cuidadosa.
Calculamos la proporción muestral:
\[ \hat{p}=\frac{126}{200}=0{,}63 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}63=63\% \]
El error está en afirmar que el \(63\%\) es exactamente el valor real de toda la población.
Ese porcentaje fue obtenido desde una muestra, por lo que debe interpretarse como estimación.
Una conclusión cuidadosa sería:
“En la muestra, el \(63\%\) de los estudiantes prefirió evaluaciones con proyectos. Este porcentaje puede usarse como estimación de la proporción correspondiente en la población”.
La proporción muestral es \(63\%\), pero debe presentarse como estimación, no como certeza exacta.
Ejercicio 5: error de estimación desconocido
Una muestra entrega una media muestral de \(\bar{x}=52{,}4\).
Se quiere estimar la media poblacional \(\mu\), pero no se conoce su valor real.
- ¿Se puede calcular exactamente el error de estimación \(\bar{x}-\mu\)?
- ¿Por qué esta situación muestra la necesidad de nuevas herramientas inferenciales?
No se puede calcular exactamente el error de estimación porque no se conoce el valor real de \(\mu\).
La expresión sería:
\[ \bar{x}-\mu \]
Pero como \(\mu\) es desconocido, no podemos obtener un valor exacto para esa diferencia.
Esto muestra la necesidad de herramientas inferenciales que permitan estudiar la incertidumbre de una estimación sin conocer directamente el parámetro.
No se puede calcular exactamente el error si \(\mu\) es desconocido.
Ejercicio 6: elegir una conclusión cuidadosa
Una muestra aleatoria de \(90\) personas entrega que el \(46\%\) usa bicicleta al menos una vez por semana.
Elige la conclusión más adecuada y justifica:
- “El \(46\%\) de toda la población usa bicicleta al menos una vez por semana”.
- “En la muestra, el \(46\%\) usa bicicleta al menos una vez por semana; este valor puede estimar la proporción correspondiente en la población”.
- “La muestra demuestra que casi la mitad exacta de la población usa bicicleta”.
La conclusión más adecuada es la segunda.
La primera es demasiado fuerte porque presenta el \(46\%\) como si fuera directamente el valor poblacional.
La tercera también es demasiado fuerte porque usa la palabra “demuestra” y habla de “mitad exacta”.
La segunda reconoce que el \(46\%\) fue observado en una muestra y que puede usarse como estimación de una proporción poblacional.
La conclusión 2 es la más adecuada.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una fábrica quiere estimar la masa promedio real de sus envases. Selecciona una muestra aleatoria de \(64\) envases y obtiene:
\[ \bar{x}=502 \]
La empresa espera que la media poblacional sea cercana a \(500\) g.
- Identifica la estimación puntual.
- Identifica el parámetro que se quiere estimar.
- Explica por qué no basta decir que \(502\) g es mayor que \(500\) g para tomar una decisión definitiva.
- Indica qué tipo de información sería útil estudiar más adelante.
La estimación puntual es la media muestral:
\[ \bar{x}=502 \]
El parámetro que se quiere estimar es la masa promedio real de todos los envases de la población:
\[ \mu \]
No basta decir que \(502\) g es mayor que \(500\) g para tomar una decisión definitiva, porque \(502\) g proviene de una muestra.
Otra muestra podría entregar una media algo distinta debido a la variabilidad muestral.
Más adelante sería útil estudiar la incertidumbre de esta estimación, por ejemplo mediante el error estándar, el margen de error o un intervalo de confianza.
\(\bar{x}=502\) estima a \(\mu\), pero se necesita medir la incertidumbre antes de tomar una decisión definitiva.