Libro de las inferencias estadísticas
7. Nivel de confianza
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el nivel de confianza como una medida de confiabilidad del método usado para construir intervalos.
- Interpretar correctamente niveles de confianza como \(90\%\), \(95\%\) y \(99\%\).
- Reconocer que aumentar el nivel de confianza suele producir intervalos más amplios.
¿Qué indica el nivel de confianza?
El nivel de confianza indica qué tan confiable es el método usado para construir un intervalo de confianza.
Por ejemplo, un nivel de confianza de \(95\%\) significa que, si se repitiera muchas veces el proceso de tomar muestras y construir intervalos con el mismo método, aproximadamente el \(95\%\) de esos intervalos contendría el parámetro poblacional.
No significa que tengamos certeza absoluta. La inferencia estadística trabaja con evidencia y con incertidumbre.
Interpretación general
Un intervalo de confianza siempre se interpreta junto con su nivel de confianza.
Por ejemplo:
\[ [6{,}8,\ 7{,}4] \quad \text{con } 95\% \text{ de confianza} \]
Una interpretación cuidadosa sería:
“Usando este método, tenemos un intervalo de valores razonables para el parámetro poblacional, construido con un nivel de confianza de \(95\%\)”.
En lenguaje escolar, también puede decirse que el intervalo fue construido mediante un método que acierta aproximadamente \(95\) de cada \(100\) veces, si se repite muchas veces bajo las mismas condiciones.
Error frecuente
No es correcto decir:
“Hay \(95\%\) de probabilidad de que el parámetro esté dentro de este intervalo”.
Una vez construido el intervalo, el parámetro poblacional es un valor fijo, aunque desconocido.
Lo correcto es interpretar el \(95\%\) como una propiedad del método de construcción de intervalos, no como una garantía absoluta para un intervalo particular.
Ejemplo 1: interpretar un intervalo con \(95\%\) de confianza
Una muestra aleatoria permite construir el siguiente intervalo para la media poblacional de horas de sueño:
\[ [6{,}8,\ 7{,}4] \]
El intervalo se construyó con un nivel de confianza de \(95\%\).
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(6{,}8\) y \(7{,}4\) horas son razonables para la media poblacional de horas de sueño. El método usado tiene un nivel de confianza de \(95\%\)”.
No se debe afirmar que la media poblacional sea exactamente el centro del intervalo ni que el intervalo entregue certeza absoluta.
Ejemplo 2: pensar en muchos intervalos
Supongamos que se repite \(100\) veces el proceso de tomar una muestra y construir un intervalo de confianza del \(95\%\).
La idea del nivel de confianza indica que, aproximadamente, \(95\) de esos \(100\) intervalos contendrían el verdadero parámetro poblacional.
Los otros \(5\) podrían no contenerlo.
Esto muestra que un nivel de confianza alto no elimina completamente la posibilidad de error, pero sí describe la confiabilidad del método a largo plazo.
Ejemplo 3: comparar niveles de confianza
Con los mismos datos muestrales, se construyen tres intervalos para una media poblacional:
| Nivel de confianza | Intervalo obtenido |
|---|---|
| \(90\%\) | \([40,\ 44]\) |
| \(95\%\) | \([39,\ 45]\) |
| \(99\%\) | \([37,\ 47]\) |
El intervalo con \(90\%\) de confianza es más estrecho.
El intervalo con \(99\%\) de confianza es más amplio.
Esto ocurre porque, para tener mayor confianza, normalmente se necesita aceptar un rango más grande de valores razonables para el parámetro.
Idea clave
A mayor nivel de confianza, mayor suele ser la amplitud del intervalo.
Un intervalo más amplio refleja más seguridad del método, pero también menos precisión.
Por eso, en muchos estudios se usa \(95\%\) como un equilibrio razonable entre confianza y precisión.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar un nivel de confianza
Un estudio entrega un intervalo de confianza del \(95\%\) para la media de tiempo de traslado al colegio.
Explica qué significa el \(95\%\) en este contexto.
El \(95\%\) indica el nivel de confianza del método usado para construir el intervalo.
Esto significa que, si se repitiera muchas veces el proceso de tomar muestras y construir intervalos con el mismo método, aproximadamente el \(95\%\) de esos intervalos contendría la media poblacional real.
No significa certeza absoluta para un intervalo particular.
El \(95\%\) describe la confiabilidad del método de construcción del intervalo.
Ejercicio 2: detectar una mala interpretación
Un intervalo de confianza para una media poblacional es:
\[ [28,\ 34] \]
con \(95\%\) de confianza.
Un estudiante afirma:
“Hay exactamente \(95\%\) de probabilidad de que la media poblacional esté entre \(28\) y \(34\)”.
Explica por qué esta interpretación no es adecuada.
La interpretación no es adecuada porque el parámetro poblacional es un valor fijo, aunque desconocido.
El nivel de confianza no se interpreta como una probabilidad exacta sobre ese intervalo particular.
El \(95\%\) se refiere al método: si se repitiera muchas veces el procedimiento, aproximadamente el \(95\%\) de los intervalos construidos contendría el parámetro real.
Una interpretación más cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(28\) y \(34\) son razonables para la media poblacional, con un método de \(95\%\) de confianza”.
El \(95\%\) describe la confiabilidad del método, no una certeza probabilística exacta para un intervalo ya construido.
Ejercicio 3: muchos intervalos
Supongamos que se construyen \(200\) intervalos de confianza usando un método con nivel de confianza \(95\%\).
- Aproximadamente, ¿cuántos intervalos contendrían el verdadero parámetro poblacional?
- Aproximadamente, ¿cuántos podrían no contenerlo?
Si el nivel de confianza es \(95\%\), entonces aproximadamente el \(95\%\) de los intervalos contendría el verdadero parámetro.
Calculamos:
\[ 0{,}95 \cdot 200=190 \]
Por lo tanto, aproximadamente \(190\) intervalos contendrían el parámetro.
El \(5\%\) restante podría no contenerlo:
\[ 0{,}05 \cdot 200=10 \]
Aproximadamente \(190\) intervalos contendrían el parámetro y \(10\) podrían no contenerlo.
Ejercicio 4: comparar niveles de confianza
Con los mismos datos se construyen los siguientes intervalos para una media poblacional:
| Intervalo | Nivel de confianza |
|---|---|
| \([18,\ 22]\) | \(90\%\) |
| \([17,\ 23]\) | \(95\%\) |
| \([15,\ 25]\) | \(99\%\) |
- ¿Cuál intervalo es más estrecho?
- ¿Cuál intervalo es más amplio?
- ¿Qué relación observas entre nivel de confianza y amplitud del intervalo?
El intervalo más estrecho es:
\[ [18,\ 22] \]
Su amplitud es:
\[ 22-18=4 \]
El intervalo más amplio es:
\[ [15,\ 25] \]
Su amplitud es:
\[ 25-15=10 \]
Se observa que, al aumentar el nivel de confianza, el intervalo se vuelve más amplio.
Esto ocurre porque se necesita un rango mayor de valores para aumentar la confiabilidad del método.
El intervalo de \(90\%\) es más estrecho y el de \(99\%\) es más amplio.
Ejercicio 5: elegir la interpretación correcta
Un intervalo de confianza del \(95\%\) para la proporción de hogares que reciclan es:
\[ [0{,}52,\ 0{,}68] \]
Elige la interpretación más adecuada:
- “El \(95\%\) de los hogares recicla”.
- “La proporción poblacional está exactamente en el centro del intervalo”.
- “Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(52\%\) y \(68\%\) son razonables para la proporción poblacional, con un método de \(95\%\) de confianza”.
La interpretación correcta es la tercera.
La primera es incorrecta porque confunde el nivel de confianza con la proporción de hogares que reciclan.
La segunda es incorrecta porque el centro del intervalo no necesariamente es el valor exacto del parámetro.
La tercera interpretación reconoce el intervalo como un rango razonable de valores para el parámetro y menciona correctamente el nivel de confianza.
La interpretación correcta es la opción 3.
Ejercicio 6: confianza y precisión
Dos intervalos se construyen con los mismos datos:
\[ [46,\ 54] \quad \text{con } 95\% \text{ de confianza} \]
\[ [43,\ 57] \quad \text{con } 99\% \text{ de confianza} \]
- ¿Cuál tiene mayor nivel de confianza?
- ¿Cuál es más preciso en el sentido de ser más estrecho?
- Explica el intercambio entre confianza y precisión.
El intervalo con mayor nivel de confianza es:
\[ [43,\ 57] \]
porque tiene \(99\%\) de confianza.
El intervalo más preciso, en el sentido de ser más estrecho, es:
\[ [46,\ 54] \]
porque su amplitud es:
\[ 54-46=8 \]
Mientras que el intervalo de \(99\%\) tiene amplitud:
\[ 57-43=14 \]
El intercambio es que, al aumentar el nivel de confianza, el intervalo suele hacerse más amplio. Se gana confianza, pero se pierde precisión.
El \(99\%\) da mayor confianza, pero el \(95\%\) entrega un intervalo más estrecho.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una ciudad quiere estimar el promedio de minutos diarios que sus habitantes destinan a actividad física.
Con una muestra aleatoria se construyen los siguientes intervalos:
| Nivel de confianza | Intervalo para la media |
|---|---|
| \(90\%\) | \([38,\ 44]\) |
| \(95\%\) | \([37,\ 45]\) |
| \(99\%\) | \([35,\ 47]\) |
- Interpreta el intervalo de \(95\%\) en contexto.
- Explica por qué el intervalo de \(99\%\) es más amplio.
- Indica cuál intervalo elegirías si se busca mayor precisión y cuál si se busca mayor confianza.
El intervalo de \(95\%\) es:
\[ [37,\ 45] \]
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(37\) y \(45\) minutos son razonables para la media poblacional de minutos diarios de actividad física, usando un método con \(95\%\) de confianza”.
El intervalo de \(99\%\) es más amplio porque se busca un mayor nivel de confianza. Para aumentar la confiabilidad del método, se necesita considerar un rango más grande de valores posibles.
Si se busca mayor precisión, se elegiría el intervalo más estrecho, que es el de \(90\%\):
\[ [38,\ 44] \]
Si se busca mayor confianza, se elegiría el intervalo de \(99\%\):
\[ [35,\ 47] \]
Mayor precisión: \(90\%\). Mayor confianza: \(99\%\).