Libro de las inferencias estadísticas
8. Margen de error
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el margen de error como la cantidad que se suma y se resta a una estimación puntual para construir un intervalo.
- Calcular el margen de error a partir de un intervalo de confianza.
- Interpretar el margen de error como una medida de incertidumbre, no como el error exacto cometido.
¿Qué es el margen de error?
El margen de error indica cuánto se extiende un intervalo hacia abajo y hacia arriba desde una estimación puntual.
Si una estimación puntual es \(\bar{x}=41\) y el margen de error es \(4\), entonces el intervalo se construye restando y sumando \(4\):
\[ 41-4=37 \]
\[ 41+4=45 \]
Por lo tanto, el intervalo es:
\[ [37,\ 45] \]
Forma general
Un intervalo de confianza puede expresarse como:
\[ \text{estimación puntual} \pm \text{margen de error} \]
Para una media muestral:
\[ \bar{x} \pm ME \]
donde \(ME\) representa el margen de error.
Calcular el margen de error desde un intervalo
Si se conoce un intervalo de confianza \([L,\ U]\), el margen de error corresponde a la mitad de su amplitud:
\[ ME=\frac{U-L}{2} \]
El centro del intervalo se puede calcular como:
\[ \frac{L+U}{2} \]
No confundir
El margen de error no es el error exacto de una estimación.
El error exacto sería la diferencia entre el estadístico muestral y el parámetro real, pero normalmente el parámetro no se conoce.
El margen de error expresa una cantidad de incertidumbre asociada al método usado para construir el intervalo.
Ejemplo 1: construir un intervalo con margen de error
Una muestra entrega una media muestral de:
\[ \bar{x}=52 \]
El margen de error es:
\[ ME=3 \]
Construimos el intervalo:
\[ 52-3=49 \]
\[ 52+3=55 \]
Por lo tanto:
\[ \bar{x}\pm ME=52\pm 3=[49,\ 55] \]
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(49\) y \(55\) son razonables para la media poblacional”.
Ejemplo 2: obtener el margen de error desde un intervalo
Un estudio entrega el intervalo de confianza:
\[ [18,\ 24] \]
Calculamos la amplitud del intervalo:
\[ 24-18=6 \]
El margen de error es la mitad de esa amplitud:
\[ ME=\frac{6}{2}=3 \]
El centro del intervalo es:
\[ \frac{18+24}{2}=21 \]
Entonces, el intervalo puede escribirse como:
\[ 21\pm 3 \]
Ejemplo 3: margen de error y amplitud del intervalo
Dos estudios estiman la misma media poblacional.
| Estudio | Estimación puntual | Margen de error | Intervalo |
|---|---|---|---|
| A | \(40\) | \(2\) | \([38,\ 42]\) |
| B | \(40\) | \(6\) | \([34,\ 46]\) |
Ambos estudios tienen la misma estimación puntual: \(40\).
El estudio B tiene mayor margen de error, por eso su intervalo es más amplio.
Un margen de error mayor refleja más incertidumbre sobre el valor del parámetro.
Ejemplo 4: margen de error y error estándar
En muchos intervalos de confianza, el margen de error se obtiene multiplicando el error estándar por un valor asociado al nivel de confianza.
En una aproximación escolar para intervalos de confianza del \(95\%\), se suele usar:
\[ ME\approx 2\cdot EE \]
Si el error estándar es \(EE=1{,}5\), entonces:
\[ ME\approx 2\cdot 1{,}5=3 \]
Si la media muestral es \(\bar{x}=28\), el intervalo aproximado sería:
\[ 28\pm 3=[25,\ 31] \]
Idea clave
El margen de error transforma una estimación puntual en un intervalo.
Una estimación puntual entrega un solo valor; el margen de error permite expresar incertidumbre alrededor de ese valor.
Mientras mayor sea el margen de error, más amplio será el intervalo.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: construir un intervalo
Una muestra entrega una media muestral de \(\bar{x}=35\).
El margen de error es \(ME=4\).
Construye el intervalo correspondiente.
Usamos la forma:
\[ \bar{x}\pm ME \]
Reemplazamos:
\[ 35\pm 4 \]
Calculamos el límite inferior:
\[ 35-4=31 \]
Calculamos el límite superior:
\[ 35+4=39 \]
El intervalo es \([31,\ 39]\).
Ejercicio 2: calcular el margen de error
Un intervalo de confianza para una media poblacional es:
\[ [46,\ 54] \]
Calcula el margen de error.
Identificamos los extremos:
\[ L=46,\qquad U=54 \]
Calculamos la amplitud:
\[ U-L=54-46=8 \]
El margen de error es la mitad de la amplitud:
\[ ME=\frac{8}{2}=4 \]
El margen de error es \(ME=4\).
Ejercicio 3: encontrar centro y margen
Un estudio entrega el intervalo:
\[ [12{,}5,\ 17{,}5] \]
- Calcula el centro del intervalo.
- Calcula el margen de error.
- Escribe el intervalo en la forma “estimación puntual \(\pm\) margen de error”.
Calculamos el centro:
\[ \frac{12{,}5+17{,}5}{2}=\frac{30}{2}=15 \]
Calculamos el margen de error:
\[ ME=\frac{17{,}5-12{,}5}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5 \]
Entonces, el intervalo se puede escribir como:
\[ 15\pm 2{,}5 \]
Centro: \(15\). Margen de error: \(2{,}5\). Forma: \(15\pm 2{,}5\).
Ejercicio 4: interpretar el margen de error
Una encuesta estima que el tiempo promedio de traslado es \(42\) minutos, con margen de error de \(5\) minutos.
- Construye el intervalo.
- Interpreta el resultado en contexto.
La estimación puntual es \(42\) minutos y el margen de error es \(5\) minutos.
Calculamos:
\[ 42-5=37 \]
\[ 42+5=47 \]
El intervalo es:
\[ [37,\ 47] \]
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(37\) y \(47\) minutos son razonables para la media poblacional de tiempo de traslado”.
El intervalo es \([37,\ 47]\) minutos.
Ejercicio 5: comparar márgenes de error
Dos estudios entregan la misma estimación puntual, \(60\), pero distintos márgenes de error:
| Estudio | Estimación puntual | Margen de error |
|---|---|---|
| A | \(60\) | \(3\) |
| B | \(60\) | \(8\) |
- Construye ambos intervalos.
- ¿Cuál intervalo es más amplio?
- ¿Cuál refleja mayor incertidumbre?
Para el estudio A:
\[ 60\pm 3=[57,\ 63] \]
Para el estudio B:
\[ 60\pm 8=[52,\ 68] \]
El intervalo B es más amplio, porque tiene mayor margen de error.
También refleja mayor incertidumbre sobre el parámetro.
A: \([57,\ 63]\). B: \([52,\ 68]\). El intervalo B es más amplio y refleja mayor incertidumbre.
Ejercicio 6: margen de error aproximado desde error estándar
Para un intervalo aproximado del \(95\%\), se usa:
\[ ME\approx 2\cdot EE \]
Una muestra tiene media \(\bar{x}=74\) y error estándar \(EE=2{,}5\).
- Calcula el margen de error aproximado.
- Construye el intervalo aproximado.
Calculamos el margen de error aproximado:
\[ ME\approx 2\cdot EE \]
\[ ME\approx 2\cdot 2{,}5=5 \]
Ahora construimos el intervalo:
\[ 74\pm 5 \]
Límite inferior:
\[ 74-5=69 \]
Límite superior:
\[ 74+5=79 \]
El margen de error aproximado es \(5\), y el intervalo es \([69,\ 79]\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una municipalidad estima el promedio de minutos diarios de actividad física de sus habitantes.
La estimación puntual es \(43\) minutos y el intervalo obtenido es:
\[ [38,\ 48] \]
- Identifica la estimación puntual.
- Calcula el margen de error.
- Escribe el intervalo en forma \(\bar{x}\pm ME\).
- Explica por qué el margen de error no debe interpretarse como el error exacto cometido.
La estimación puntual es:
\[ \bar{x}=43 \]
Calculamos el margen de error desde el intervalo:
\[ ME=\frac{48-38}{2}=\frac{10}{2}=5 \]
Entonces, el intervalo puede escribirse como:
\[ 43\pm 5 \]
El margen de error no es el error exacto cometido, porque el error exacto dependería de conocer la media real de la población.
Como normalmente el parámetro poblacional es desconocido, el margen de error expresa incertidumbre alrededor de la estimación, no una diferencia exacta con el verdadero valor.
Estimación puntual: \(43\). Margen de error: \(5\). Forma: \(43\pm 5\).