Libro de las inferencias estadísticas
9. Intervalo de confianza para una media
Objetivo de aprendizaje
- Construir un intervalo de confianza aproximado para una media poblacional usando una media muestral.
- Relacionar media muestral, error estándar y margen de error en la construcción de un intervalo.
- Interpretar un intervalo de confianza para una media en contexto.
¿Qué queremos estimar?
Cuando se estudia una variable cuantitativa, muchas veces se quiere estimar una media poblacional \(\mu\).
Como normalmente no se puede medir a toda la población, se toma una muestra y se calcula la media muestral \(\bar{x}\).
Luego, para reconocer la incertidumbre de esa estimación, se construye un intervalo de confianza alrededor de \(\bar{x}\).
Intervalo de confianza aproximado para una media
En una versión escolar, un intervalo de confianza aproximado del \(95\%\) para una media puede construirse así:
\[ \bar{x} \pm ME \]
donde el margen de error se puede aproximar por:
\[ ME \approx 2\cdot EE \]
y el error estándar de la media se calcula como:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}} \]
Por lo tanto, el intervalo queda:
\[ \bar{x} \pm 2\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]
Pasos para construir el intervalo
- Identificar la media muestral \(\bar{x}\).
- Calcular el error estándar \(EE=\frac{s}{\sqrt{n}}\).
- Calcular el margen de error aproximado \(ME\approx 2\cdot EE\).
- Restar y sumar el margen de error a la media muestral.
- Interpretar el intervalo en contexto.
Atención
El intervalo de confianza no dice que la media poblacional sea exactamente igual a la media muestral.
El intervalo entrega un rango de valores razonables para \(\mu\), construido a partir de la muestra y del método utilizado.
Además, en esta página usaremos la aproximación escolar \(ME\approx 2\cdot EE\) para intervalos cercanos al \(95\%\) de confianza.
Ejemplo 1: construir un intervalo para una media
Una muestra aleatoria de \(36\) estudiantes tiene una media de \(72\) puntos en una prueba.
La desviación estándar muestral es \(s=12\).
Queremos construir un intervalo de confianza aproximado del \(95\%\) para la media poblacional.
Identificamos los datos:
\[ \bar{x}=72,\qquad s=12,\qquad n=36 \]
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{36}} \]
Como \(\sqrt{36}=6\), entonces:
\[ EE=\frac{12}{6}=2 \]
Calculamos el margen de error aproximado:
\[ ME\approx 2\cdot EE=2\cdot 2=4 \]
Construimos el intervalo:
\[ 72\pm 4 \]
\[ [68,\ 76] \]
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(68\) y \(76\) puntos son razonables para la media poblacional de puntaje en la prueba”.
Ejemplo 2: intervalo en contexto
Una municipalidad quiere estimar el tiempo promedio de traslado al trabajo de los habitantes de una comuna.
Se selecciona una muestra aleatoria de \(81\) personas y se obtiene:
\[ \bar{x}=42 \text{ minutos},\qquad s=18 \text{ minutos} \]
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{18}{\sqrt{81}}=\frac{18}{9}=2 \]
Calculamos el margen de error aproximado:
\[ ME\approx 2\cdot 2=4 \]
Construimos el intervalo:
\[ 42\pm 4=[38,\ 46] \]
Por lo tanto, un intervalo de confianza aproximado del \(95\%\) para la media poblacional es:
\[ [38,\ 46] \]
Esto significa que, según la muestra y el método utilizado, el promedio real de tiempo de traslado podría estar razonablemente entre \(38\) y \(46\) minutos.
Ejemplo 3: efecto del tamaño muestral
Dos estudios tienen la misma media muestral y la misma desviación estándar, pero distinto tamaño muestral.
| Estudio | \(\bar{x}\) | \(s\) | \(n\) | \(EE=\frac{s}{\sqrt{n}}\) | Intervalo aproximado |
|---|---|---|---|---|---|
| A | \(50\) | \(20\) | \(25\) | \(\frac{20}{5}=4\) | \(50\pm 8=[42,\ 58]\) |
| B | \(50\) | \(20\) | \(100\) | \(\frac{20}{10}=2\) | \(50\pm 4=[46,\ 54]\) |
El estudio B tiene mayor tamaño muestral, por eso su error estándar es menor.
Al disminuir el error estándar, también disminuye el margen de error y el intervalo queda más estrecho.
Idea clave
Para construir un intervalo de confianza para una media, no basta con conocer \(\bar{x}\).
También se necesita considerar la variabilidad de los datos y el tamaño muestral.
El error estándar permite transformar esa información en un margen de error para construir el intervalo.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular error estándar y margen de error
Una muestra tiene desviación estándar \(s=15\) y tamaño muestral \(n=25\).
- Calcula el error estándar.
- Calcula el margen de error aproximado para un intervalo del \(95\%\), usando \(ME\approx 2\cdot EE\).
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{25}} \]
Como \(\sqrt{25}=5\), entonces:
\[ EE=\frac{15}{5}=3 \]
Ahora calculamos el margen de error aproximado:
\[ ME\approx 2\cdot EE=2\cdot 3=6 \]
El error estándar es \(EE=3\) y el margen de error aproximado es \(ME=6\).
Ejercicio 2: construir un intervalo
Una muestra aleatoria entrega:
\[ \bar{x}=64,\qquad s=10,\qquad n=25 \]
Construye un intervalo de confianza aproximado del \(95\%\) para la media poblacional.
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{25}} \]
Como \(\sqrt{25}=5\), entonces:
\[ EE=\frac{10}{5}=2 \]
Calculamos el margen de error aproximado:
\[ ME\approx 2\cdot EE=2\cdot 2=4 \]
Construimos el intervalo:
\[ 64\pm 4 \]
\[ [60,\ 68] \]
El intervalo de confianza aproximado es \([60,\ 68]\).
Ejercicio 3: interpretar un intervalo para una media
Un estudio entrega el siguiente intervalo de confianza aproximado para la media de horas de sueño de una población:
\[ [6{,}6,\ 7{,}4] \]
Escribe una interpretación cuidadosa del intervalo en contexto.
El intervalo va desde \(6{,}6\) hasta \(7{,}4\) horas.
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(6{,}6\) y \(7{,}4\) horas son razonables para la media poblacional de horas de sueño”.
No se debe afirmar que la media real sea exactamente el centro del intervalo.
El intervalo entrega un rango razonable para \(\mu\), no un valor exacto obligatorio.
Ejercicio 4: completar el procedimiento
Una muestra tiene:
\[ \bar{x}=28,\qquad s=12,\qquad n=36 \]
- Calcula el error estándar.
- Calcula el margen de error aproximado.
- Construye el intervalo de confianza aproximado.
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{12}{\sqrt{36}} \]
Como \(\sqrt{36}=6\):
\[ EE=\frac{12}{6}=2 \]
Calculamos el margen de error aproximado:
\[ ME\approx 2\cdot EE=2\cdot 2=4 \]
Construimos el intervalo:
\[ 28\pm 4 \]
\[ [24,\ 32] \]
\(EE=2\), \(ME=4\), intervalo \([24,\ 32]\).
Ejercicio 5: comparar dos intervalos
Dos estudios tienen la misma media muestral \(\bar{x}=80\) y la misma desviación estándar \(s=16\), pero distinto tamaño muestral.
| Estudio | Tamaño muestral |
|---|---|
| A | \(n=16\) |
| B | \(n=64\) |
- Construye el intervalo aproximado del \(95\%\) para cada estudio.
- Indica cuál intervalo es más estrecho.
- Explica por qué ocurre eso.
Para el estudio A:
\[ EE_A=\frac{16}{\sqrt{16}}=\frac{16}{4}=4 \]
\[ ME_A\approx 2\cdot 4=8 \]
\[ 80\pm 8=[72,\ 88] \]
Para el estudio B:
\[ EE_B=\frac{16}{\sqrt{64}}=\frac{16}{8}=2 \]
\[ ME_B\approx 2\cdot 2=4 \]
\[ 80\pm 4=[76,\ 84] \]
El intervalo B es más estrecho.
Esto ocurre porque el tamaño muestral es mayor, lo que disminuye el error estándar y el margen de error.
A: \([72,\ 88]\). B: \([76,\ 84]\). El intervalo B es más estrecho.
Ejercicio 6: detectar una interpretación incorrecta
Un intervalo de confianza aproximado para una media poblacional es:
\[ [48,\ 56] \]
Un estudiante afirma:
“La media poblacional es exactamente \(52\), porque \(52\) está al centro del intervalo”.
Explica el error y escribe una interpretación más adecuada.
El centro del intervalo es:
\[ \frac{48+56}{2}=52 \]
Pero eso no significa que la media poblacional sea exactamente \(52\).
El intervalo indica un rango de valores razonables para la media poblacional, no un valor exacto obligatorio.
Una interpretación más adecuada sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(48\) y \(56\) son razonables para la media poblacional”.
El error es interpretar el centro del intervalo como si fuera necesariamente el valor exacto de \(\mu\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una empresa quiere estimar la masa promedio real de sus envases.
Selecciona una muestra aleatoria de \(100\) envases y obtiene:
\[ \bar{x}=502 \text{ g},\qquad s=15 \text{ g} \]
- Calcula el error estándar.
- Calcula el margen de error aproximado para un intervalo del \(95\%\).
- Construye el intervalo de confianza aproximado.
- Interpreta el intervalo en contexto.
- Explica por qué no se debe afirmar que la media real es exactamente \(502\) g.
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{100}} \]
Como \(\sqrt{100}=10\):
\[ EE=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
Calculamos el margen de error aproximado:
\[ ME\approx 2\cdot EE=2\cdot 1{,}5=3 \]
Construimos el intervalo:
\[ 502\pm 3 \]
\[ [499,\ 505] \]
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(499\) g y \(505\) g son razonables para la masa promedio real de los envases”.
No se debe afirmar que la media real sea exactamente \(502\) g porque ese valor es una estimación puntual obtenida desde una muestra.
El intervalo expresa la incertidumbre alrededor de esa estimación.
\(EE=1{,}5\), \(ME=3\), intervalo aproximado \([499,\ 505]\).