Libro de las inferencias estadísticas
12. Hipótesis nula y alternativa
Objetivo de aprendizaje
- Distinguir entre hipótesis nula e hipótesis alternativa en una situación estadística.
- Formular hipótesis usando parámetros poblacionales como \(\mu\) y \(p\).
- Reconocer si una hipótesis alternativa plantea diferencia, aumento o disminución respecto de un valor de referencia.
Dos hipótesis para comparar
En una prueba de hipótesis se plantean dos afirmaciones sobre un parámetro poblacional.
La primera se llama hipótesis nula y se representa por \(H_0\).
La segunda se llama hipótesis alternativa y se representa por \(H_1\) o \(H_a\).
Luego se usa evidencia muestral para decidir si hay razones suficientes para cuestionar la hipótesis nula.
Hipótesis nula e hipótesis alternativa
| Hipótesis | Representación | Idea central |
|---|---|---|
| Hipótesis nula | \(H_0\) | Plantea un valor de referencia, igualdad o situación inicial que se evalúa con los datos. |
| Hipótesis alternativa | \(H_1\) o \(H_a\) | Plantea la afirmación que se busca apoyar si la evidencia muestral es suficientemente fuerte. |
Siempre se formulan sobre parámetros
Las hipótesis estadísticas deben referirse a parámetros poblacionales, no a estadísticos muestrales.
Por ejemplo, se escribe:
\[ H_0:\mu=500 \]
No se escribe:
\[ H_0:\bar{x}=500 \]
La media muestral \(\bar{x}\) se usa como evidencia, pero la hipótesis se plantea sobre la media poblacional \(\mu\).
Tipos frecuentes de hipótesis alternativa
| Tipo de afirmación | Forma de \(H_1\) | Interpretación |
|---|---|---|
| Diferente de un valor | \(\mu \ne 500\) | La media poblacional no es \(500\). |
| Mayor que un valor | \(\mu > 500\) | La media poblacional es mayor que \(500\). |
| Menor que un valor | \(\mu < 500\) | La media poblacional es menor que \(500\). |
Ejemplo 1: hipótesis sobre una media
Una fábrica afirma que la masa promedio real de sus envases es \(500\) g.
El parámetro involucrado es:
\[ \mu=\text{masa promedio real de todos los envases} \]
Si se quiere evaluar si la media poblacional es distinta de \(500\) g, se pueden plantear las hipótesis:
\[ H_0:\mu=500 \]
\[ H_1:\mu\ne 500 \]
La hipótesis nula representa el valor declarado por la fábrica.
La hipótesis alternativa plantea que la media real no es \(500\) g.
Ejemplo 2: hipótesis sobre una proporción
Una municipalidad quiere evaluar si más del \(60\%\) de los hogares separa residuos reciclables.
El parámetro involucrado es:
\[ p=\text{proporción real de hogares que separan residuos reciclables} \]
En una versión escolar, se pueden plantear las hipótesis usando \(60\%\) como valor de referencia:
\[ H_0:p=0{,}60 \]
\[ H_1:p>0{,}60 \]
La hipótesis alternativa usa el signo \(>\), porque la afirmación que se quiere evaluar es que la proporción real sea mayor que \(60\%\).
Ejemplo 3: alternativa menor que un valor
Una orientadora sospecha que los estudiantes de enseñanza media duermen en promedio menos de \(7\) horas diarias.
El parámetro involucrado es:
\[ \mu=\text{media real de horas de sueño de los estudiantes} \]
Como la sospecha es “menos de \(7\) horas”, la hipótesis alternativa debe usar el signo \(<\):
\[ H_0:\mu=7 \]
\[ H_1:\mu<7 \]
La muestra se usará después para evaluar si hay evidencia suficiente a favor de la alternativa.
Error frecuente
No se debe formular la hipótesis usando el resultado de la muestra.
Por ejemplo, si una muestra entrega \(\bar{x}=497\), no corresponde escribir \(H_0:\bar{x}=497\).
La hipótesis debe hablar del parámetro poblacional, como \(\mu\) o \(p\). El estadístico muestral se usa después como evidencia.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar hipótesis nula y alternativa
Una empresa afirma que la duración promedio real de sus ampolletas es \(800\) horas.
Se quiere evaluar si la duración promedio real es distinta de \(800\) horas.
- Identifica el parámetro involucrado.
- Escribe \(H_0\).
- Escribe \(H_1\).
El parámetro involucrado es la media poblacional de duración de las ampolletas:
\[ \mu \]
La hipótesis nula plantea el valor de referencia:
\[ H_0:\mu=800 \]
Como se quiere evaluar si la duración real es distinta de \(800\), la hipótesis alternativa es:
\[ H_1:\mu\ne 800 \]
\(H_0:\mu=800\) y \(H_1:\mu\ne 800\).
Ejercicio 2: hipótesis alternativa mayor que un valor
Un colegio quiere evaluar si más del \(70\%\) de sus estudiantes usa una plataforma digital para estudiar.
- Identifica el parámetro involucrado.
- Escribe una hipótesis nula usando \(70\%\) como valor de referencia.
- Escribe la hipótesis alternativa.
El parámetro involucrado es la proporción real de estudiantes del colegio que usa una plataforma digital para estudiar:
\[ p \]
Como valor de referencia se usa \(70\%=0{,}70\):
\[ H_0:p=0{,}70 \]
La afirmación “más del \(70\%\)” se representa con el signo \(>\):
\[ H_1:p>0{,}70 \]
\(H_0:p=0{,}70\) y \(H_1:p>0{,}70\).
Ejercicio 3: hipótesis alternativa menor que un valor
Una aplicación afirma que el tiempo promedio para completar una actividad es menor que \(12\) minutos.
Formula las hipótesis usando \(\mu\) como media poblacional del tiempo de resolución.
El parámetro es:
\[ \mu=\text{tiempo promedio real para completar la actividad} \]
Como el valor de referencia es \(12\) minutos, la hipótesis nula puede escribirse como:
\[ H_0:\mu=12 \]
La afirmación que se quiere evaluar es que el promedio sea menor que \(12\), por lo tanto:
\[ H_1:\mu<12 \]
\(H_0:\mu=12\) y \(H_1:\mu<12\).
Ejercicio 4: elegir el signo correcto
Indica si la hipótesis alternativa debe usar \(>\), \(<\) o \(\ne\):
- Se quiere evaluar si la media poblacional es mayor que \(50\).
- Se quiere evaluar si la proporción poblacional es menor que \(0{,}30\).
- Se quiere evaluar si la media poblacional es distinta de \(100\).
- Se quiere evaluar si la proporción poblacional es mayor que \(0{,}65\).
Analizamos cada afirmación:
- “Mayor que \(50\)” se representa con \(>\).
- “Menor que \(0{,}30\)” se representa con \(<\).
- “Distinta de \(100\)” se representa con \(\ne\).
- “Mayor que \(0{,}65\)” se representa con \(>\).
Los signos son: \(>\), \(<\), \(\ne\), \(>\).
Ejercicio 5: detectar un error de formulación
Una muestra de \(64\) paquetes entrega una media muestral de \(\bar{x}=497\) g.
Un estudiante escribe:
\[ H_0:\bar{x}=497 \]
Explica por qué esta formulación es incorrecta y corrígela si se quiere evaluar la afirmación de que la media poblacional es \(500\) g.
La formulación es incorrecta porque usa \(\bar{x}\), que es una media muestral.
Las hipótesis estadísticas deben formularse sobre parámetros poblacionales, no sobre estadísticos muestrales.
Si se quiere evaluar la afirmación de que la media poblacional es \(500\) g, debe usarse \(\mu\):
\[ H_0:\mu=500 \]
Si se quiere evaluar si es distinta, la alternativa sería:
\[ H_1:\mu\ne 500 \]
La hipótesis debe usar \(\mu\), no \(\bar{x}\).
Ejercicio 6: formular hipótesis desde un contexto
Una municipalidad afirma que la proporción real de hogares con acceso a internet fijo es al menos cercana al \(80\%\).
Un equipo quiere evaluar si esa proporción es menor que \(80\%\).
- Identifica el parámetro poblacional.
- Escribe \(H_0\) usando \(80\%\) como valor de referencia.
- Escribe \(H_1\) según lo que el equipo quiere evaluar.
El parámetro es:
\[ p=\text{proporción real de hogares con acceso a internet fijo} \]
El valor de referencia es \(80\%=0{,}80\):
\[ H_0:p=0{,}80 \]
Como el equipo quiere evaluar si la proporción es menor que \(80\%\), la hipótesis alternativa es:
\[ H_1:p<0{,}80 \]
\(H_0:p=0{,}80\) y \(H_1:p<0{,}80\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una empresa declara que el promedio real de tiempo de espera de sus clientes es \(10\) minutos.
Un grupo de usuarios sospecha que el tiempo promedio real es mayor que \(10\) minutos.
Se toma una muestra y se obtiene una media muestral de \(11{,}2\) minutos.
- Identifica el parámetro poblacional.
- Formula \(H_0\).
- Formula \(H_1\).
- Explica por qué \(11{,}2\) no debe aparecer en la formulación de las hipótesis.
- Explica qué papel cumple la media muestral \(11{,}2\).
El parámetro poblacional es:
\[ \mu=\text{tiempo promedio real de espera de todos los clientes} \]
La hipótesis nula usa el valor declarado por la empresa:
\[ H_0:\mu=10 \]
Como el grupo sospecha que el tiempo promedio real es mayor que \(10\) minutos, la alternativa es:
\[ H_1:\mu>10 \]
El valor \(11{,}2\) no debe aparecer en las hipótesis porque es un resultado muestral, no un parámetro poblacional.
La media muestral \(11{,}2\) cumple el papel de evidencia para evaluar si hay razones suficientes para cuestionar \(H_0\) y apoyar \(H_1\).
\(H_0:\mu=10\), \(H_1:\mu>10\), y \(\bar{x}=11{,}2\) se usa como evidencia muestral.