Libro de las inferencias estadísticas
13. Nivel de significancia
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el nivel de significancia como un criterio previo para evaluar evidencia contra una hipótesis nula.
- Interpretar valores frecuentes de significancia como \(\alpha=0{,}10\), \(\alpha=0{,}05\) y \(\alpha=0{,}01\).
- Reconocer que rechazar o no rechazar una hipótesis nula no equivale a demostrar una verdad absoluta.
¿Por qué se necesita un criterio?
En una prueba de hipótesis, una muestra puede entregar evidencia a favor o en contra de una hipótesis nula \(H_0\).
Sin embargo, los resultados muestrales pueden variar de una muestra a otra. Por eso, no basta con observar una diferencia: se necesita un criterio para decidir si esa diferencia es suficientemente importante.
Ese criterio se relaciona con el nivel de significancia.
Nivel de significancia
El nivel de significancia se representa por la letra griega \(\alpha\).
Indica el nivel de exigencia que se usará para decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte contra la hipótesis nula.
| Nivel de significancia | Como porcentaje | Interpretación general |
|---|---|---|
| \(\alpha=0{,}10\) | \(10\%\) | Criterio menos exigente para rechazar \(H_0\). |
| \(\alpha=0{,}05\) | \(5\%\) | Criterio frecuente en muchos estudios escolares e introductorios. |
| \(\alpha=0{,}01\) | \(1\%\) | Criterio más exigente para rechazar \(H_0\). |
Idea de decisión
El nivel de significancia se fija antes de analizar la evidencia final.
Luego se compara la evidencia muestral con ese criterio.
Si la evidencia contra \(H_0\) es suficientemente fuerte según el nivel de significancia elegido, se rechaza \(H_0\).
Si la evidencia no es suficientemente fuerte, no se rechaza \(H_0\).
Error frecuente
No rechazar \(H_0\) no significa demostrar que \(H_0\) sea verdadera.
Solo significa que, con la evidencia disponible y el nivel de significancia elegido, no hay razones suficientes para rechazarla.
Del mismo modo, rechazar \(H_0\) no entrega certeza absoluta: indica que la muestra entrega evidencia suficientemente fuerte contra \(H_0\) bajo el criterio usado.
Ejemplo 1: nivel de significancia en una media
Una fábrica declara que la masa promedio real de sus envases es \(500\) g.
Se plantean las hipótesis:
\[ H_0:\mu=500 \]
\[ H_1:\mu\ne 500 \]
Antes de analizar la muestra, se decide usar un nivel de significancia de:
\[ \alpha=0{,}05 \]
Esto significa que se usará un criterio del \(5\%\) para decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte para rechazar la afirmación inicial de la fábrica.
No significa que haya \(5\%\) de probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera o falsa.
Ejemplo 2: comparar dos niveles de significancia
Supongamos que dos equipos estudian la misma afirmación:
\[ H_0:\mu=100 \]
El Equipo A usa:
\[ \alpha=0{,}10 \]
El Equipo B usa:
\[ \alpha=0{,}01 \]
El Equipo A usa un criterio menos exigente para rechazar \(H_0\).
El Equipo B usa un criterio más exigente: necesitará evidencia más fuerte para rechazar \(H_0\).
Por eso, mientras menor es \(\alpha\), más difícil suele ser rechazar la hipótesis nula.
Ejemplo 3: conclusión con significancia
Un colegio quiere evaluar si la media real de horas de sueño de sus estudiantes es menor que \(7\) horas.
Se plantean:
\[ H_0:\mu=7 \]
\[ H_1:\mu<7 \]
Se fija un nivel de significancia:
\[ \alpha=0{,}05 \]
Después de analizar la muestra, se decide rechazar \(H_0\).
Una conclusión cuidadosa sería:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que la media poblacional de horas de sueño es menor que \(7\) horas”.
La conclusión habla de evidencia suficiente, no de certeza absoluta.
Idea clave
El nivel de significancia es un criterio de decisión.
Un valor menor de \(\alpha\) exige evidencia más fuerte para rechazar \(H_0\).
En las próximas páginas, este criterio se usará junto con resultados muestrales para tomar decisiones en pruebas de hipótesis.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar \(\alpha=0{,}05\)
En una prueba de hipótesis se fija un nivel de significancia de:
\[ \alpha=0{,}05 \]
Explica qué significa este valor como criterio de decisión.
El valor \(\alpha=0{,}05\) corresponde a un nivel de significancia del \(5\%\).
Significa que se usará un criterio del \(5\%\) para decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte contra la hipótesis nula.
No significa que \(H_0\) tenga \(5\%\) de probabilidad de ser verdadera o falsa.
\(\alpha=0{,}05\) es un criterio del \(5\%\) para evaluar evidencia contra \(H_0\).
Ejercicio 2: comparar niveles de significancia
Se consideran dos niveles de significancia:
\[ \alpha=0{,}10 \]
\[ \alpha=0{,}01 \]
- ¿Cuál corresponde a un criterio más exigente?
- ¿Cuál permite rechazar \(H_0\) con menor exigencia?
El nivel \(\alpha=0{,}01\) corresponde a un criterio más exigente, porque exige evidencia más fuerte para rechazar \(H_0\).
El nivel \(\alpha=0{,}10\) es menos exigente, porque permite rechazar \(H_0\) con evidencia menos fuerte.
Más exigente: \(\alpha=0{,}01\). Menos exigente: \(\alpha=0{,}10\).
Ejercicio 3: identificar el nivel de significancia
En un estudio se indica:
“Se evaluó la hipótesis con un nivel de significancia del \(1\%\)”.
- Escribe el valor de \(\alpha\) en forma decimal.
- Indica si este criterio es más o menos exigente que \(\alpha=0{,}05\).
Un nivel de significancia del \(1\%\) corresponde a:
\[ \alpha=0{,}01 \]
Este criterio es más exigente que \(\alpha=0{,}05\), porque \(0{,}01\) es menor que \(0{,}05\).
Al usar \(\alpha=0{,}01\), se necesita evidencia más fuerte para rechazar \(H_0\).
\(\alpha=0{,}01\), y es más exigente que \(\alpha=0{,}05\).
Ejercicio 4: detectar una mala interpretación
Un estudiante afirma:
“Si usamos \(\alpha=0{,}05\), entonces hay \(5\%\) de probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera”.
Explica por qué esta interpretación es incorrecta.
La interpretación es incorrecta porque \(\alpha\) no indica la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera.
El nivel de significancia es un criterio para decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte contra \(H_0\).
Por lo tanto, \(\alpha=0{,}05\) se interpreta como un criterio del \(5\%\), no como una probabilidad de verdad de la hipótesis.
\(\alpha\) no mide la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.
Ejercicio 5: conclusión al rechazar \(H_0\)
En una prueba de hipótesis se plantea:
\[ H_0:\mu=50 \]
\[ H_1:\mu>50 \]
Con nivel de significancia \(\alpha=0{,}05\), se decide rechazar \(H_0\).
Escribe una conclusión cuidadosa.
Como se rechazó \(H_0\), la muestra entrega evidencia suficiente contra la hipótesis nula bajo el criterio elegido.
Una conclusión cuidadosa sería:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que la media poblacional es mayor que \(50\)”.
No se debe decir que se demostró con certeza absoluta que \(\mu>50\).
La conclusión debe hablar de evidencia suficiente, no de demostración absoluta.
Ejercicio 6: conclusión al no rechazar \(H_0\)
En una prueba de hipótesis se plantea:
\[ H_0:p=0{,}60 \]
\[ H_1:p\ne 0{,}60 \]
Con nivel de significancia \(\alpha=0{,}05\), se decide no rechazar \(H_0\).
Explica qué significa esta decisión.
No rechazar \(H_0\) significa que la muestra no entregó evidencia suficientemente fuerte contra la hipótesis nula, usando el nivel de significancia del \(5\%\).
No significa que se haya demostrado que \(p=0{,}60\).
Una redacción cuidadosa sería:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), no hay evidencia suficiente para rechazar que la proporción poblacional sea \(0{,}60\)”.
No rechazar \(H_0\) no significa demostrar que \(H_0\) sea verdadera.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una empresa declara que el tiempo promedio real de espera de sus clientes es \(10\) minutos.
Un equipo quiere evaluar si el tiempo promedio real es mayor que \(10\) minutos.
Se fija un nivel de significancia de \(5\%\).
- Formula \(H_0\).
- Formula \(H_1\).
- Escribe el valor de \(\alpha\) en forma decimal.
- Explica qué significa usar ese nivel de significancia.
- Si se rechaza \(H_0\), escribe una conclusión cuidadosa.
El parámetro involucrado es la media poblacional de tiempo de espera:
\[ \mu \]
La hipótesis nula es:
\[ H_0:\mu=10 \]
Como se quiere evaluar si el tiempo promedio real es mayor que \(10\), la hipótesis alternativa es:
\[ H_1:\mu>10 \]
Un nivel de significancia de \(5\%\) corresponde a:
\[ \alpha=0{,}05 \]
Usar este nivel significa que se aplicará un criterio del \(5\%\) para decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte contra \(H_0\).
Si se rechaza \(H_0\), una conclusión cuidadosa sería:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.
\(H_0:\mu=10\), \(H_1:\mu>10\), \(\alpha=0{,}05\).