Libro de las inferencias estadísticas
16. Taller: concluir con evidencia, no con certeza absoluta
Objetivo de aprendizaje
- Redactar conclusiones estadísticas cuidadosas usando intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.
- Distinguir entre evidencia suficiente, evidencia insuficiente y certeza absoluta.
- Evaluar si una conclusión respeta el alcance de la muestra, el método usado y el contexto del problema.
Propósito del taller
En inferencia estadística, las conclusiones se basan en datos muestrales.
Por eso, una conclusión correcta no debe presentarse como una verdad absoluta, sino como una decisión o interpretación basada en evidencia.
En este taller se integran estimaciones puntuales, intervalos de confianza, hipótesis, nivel de significancia y valor p.
Lenguaje cuidadoso para concluir
| Situación | Conclusión cuidadosa | Evitar decir |
|---|---|---|
| Intervalo de confianza | “Valores entre \(L\) y \(U\) son razonables para el parámetro poblacional, según la muestra y el método utilizado”. | “El parámetro está con certeza dentro del intervalo”. |
| Se rechaza \(H_0\) | “La muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\)”. | “Se demostró que \(H_0\) es falsa”. |
| No se rechaza \(H_0\) | “La muestra no entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\)”. | “Se demostró que \(H_0\) es verdadera”. |
Error frecuente
La inferencia estadística permite tomar decisiones razonables con evidencia, pero no demuestra verdades absolutas.
Una muestra puede apoyar una conclusión, cuestionar una hipótesis o entregar un intervalo de valores razonables, pero siempre existe incertidumbre asociada al proceso muestral.
Ejemplo 1: conclusión a partir de un intervalo
Una municipalidad estima el promedio de minutos diarios de actividad física de sus habitantes.
El intervalo de confianza obtenido es:
\[ [36,\ 48] \]
Una conclusión cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(36\) y \(48\) minutos son razonables para la media poblacional de minutos diarios de actividad física”.
No sería correcto decir:
“Todos los habitantes realizan entre \(36\) y \(48\) minutos de actividad física”.
El intervalo se refiere a la media poblacional, no a cada individuo.
Ejemplo 2: conclusión al rechazar una hipótesis
Una empresa declara que el tiempo promedio real de espera de sus clientes es \(10\) minutos.
Se plantea:
\[ H_0:\mu=10 \]
\[ H_1:\mu>10 \]
Una prueba entrega:
\[ p\text{-valor}=0{,}03 \]
Con nivel de significancia:
\[ \alpha=0{,}05 \]
Como:
\[ 0{,}03\le 0{,}05 \]
se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.
Esta conclusión no demuestra con certeza absoluta que \(\mu>10\), pero sí indica evidencia estadística a favor de esa afirmación.
Ejemplo 3: conclusión al no rechazar una hipótesis
Un colegio afirma que la media real de puntaje en una prueba es \(60\) puntos.
Se plantea:
\[ H_0:\mu=60 \]
\[ H_1:\mu\ne 60 \]
Una prueba entrega:
\[ p\text{-valor}=0{,}18 \]
Con nivel de significancia:
\[ \alpha=0{,}05 \]
Como:
\[ 0{,}18>0{,}05 \]
no se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra no entrega evidencia suficiente para rechazar que la media poblacional sea \(60\) puntos”.
No sería correcto decir que quedó demostrado que \(\mu=60\).
Idea clave
Una buena conclusión inferencial debe mencionar el contexto, la evidencia usada y el alcance de la decisión.
La frase central de este libro es:
“La inferencia estadística permite concluir con evidencia, no con certeza absoluta”.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer una conclusión cuidadosa
Un intervalo de confianza para la media de horas de sueño es:
\[ [6{,}6,\ 7{,}4] \]
Indica cuál conclusión es más adecuada:
- “Todos los estudiantes duermen entre \(6{,}6\) y \(7{,}4\) horas”.
- “Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(6{,}6\) y \(7{,}4\) horas son razonables para la media poblacional de horas de sueño”.
- “La media real es exactamente \(7\) horas”.
La conclusión más adecuada es la segunda.
La primera es incorrecta porque interpreta el intervalo como si describiera a todos los estudiantes individualmente.
La tercera es incorrecta porque trata el centro del intervalo como si fuera necesariamente el valor exacto de la media poblacional.
La segunda conclusión reconoce que el intervalo entrega valores razonables para la media poblacional.
La conclusión correcta es la opción 2.
Ejercicio 2: redactar una conclusión desde un intervalo
Una encuesta estima la proporción de hogares de una comuna que separan residuos reciclables.
El intervalo de confianza obtenido es:
\[ [0{,}58,\ 0{,}70] \]
- Exprésalo como porcentaje.
- Redacta una conclusión cuidadosa en contexto.
Convertimos los extremos a porcentaje:
\[ 0{,}58=58\% \]
\[ 0{,}70=70\% \]
Entonces, el intervalo es:
\[ [58\%,\ 70\%] \]
Una conclusión cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(58\%\) y \(70\%\) son razonables para la proporción poblacional de hogares de la comuna que separan residuos reciclables”.
El intervalo corresponde a \([58\%,\ 70\%]\) y se interpreta como rango razonable para \(p\).
Ejercicio 3: decisión con valor p
En una prueba de hipótesis se obtiene:
\[ p\text{-valor}=0{,}042 \]
Se usa:
\[ \alpha=0{,}05 \]
- Decide si se rechaza o no se rechaza \(H_0\).
- Explica la decisión.
Comparamos el valor p con \(\alpha\):
\[ 0{,}042\le 0{,}05 \]
Como el valor p es menor que el nivel de significancia, se rechaza \(H_0\).
Esto significa que la muestra entrega evidencia suficiente contra \(H_0\), usando el criterio del \(5\%\).
Se rechaza \(H_0\), porque \(0{,}042\le 0{,}05\).
Ejercicio 4: conclusión al rechazar \(H_0\)
Una empresa afirma que el tiempo promedio real de espera es \(10\) minutos.
Se plantea:
\[ H_0:\mu=10 \]
\[ H_1:\mu>10 \]
Con \(\alpha=0{,}05\), se obtiene \(p\text{-valor}=0{,}018\).
Escribe una conclusión cuidadosa en contexto.
Primero comparamos:
\[ 0{,}018\le 0{,}05 \]
Como el valor p es menor que \(\alpha\), se rechaza \(H_0\).
Una conclusión cuidadosa sería:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.
No se debe afirmar que esto quedó demostrado con certeza absoluta.
Se rechaza \(H_0\); hay evidencia suficiente para apoyar que \(\mu>10\).
Ejercicio 5: conclusión al no rechazar \(H_0\)
Un colegio afirma que la media real de puntaje en una prueba es \(60\) puntos.
Se plantea:
\[ H_0:\mu=60 \]
\[ H_1:\mu\ne 60 \]
Con \(\alpha=0{,}05\), se obtiene \(p\text{-valor}=0{,}22\).
Escribe una conclusión cuidadosa en contexto.
Comparamos:
\[ 0{,}22>0{,}05 \]
Como el valor p es mayor que \(\alpha\), no se rechaza \(H_0\).
Una conclusión cuidadosa sería:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra no entrega evidencia suficiente para rechazar que la media poblacional sea \(60\) puntos”.
No se debe decir que se demostró que \(\mu=60\).
No se rechaza \(H_0\); no hay evidencia suficiente contra la afirmación inicial.
Ejercicio 6: corregir una conclusión incorrecta
En una prueba de hipótesis se decide no rechazar \(H_0:\mu=50\).
Un informe concluye:
“Se demostró que la media poblacional es exactamente \(50\)”.
Explica el error y reescribe la conclusión correctamente.
El error está en interpretar “no rechazar \(H_0\)” como si fuera una demostración de que \(H_0\) es verdadera.
En una prueba de hipótesis, no rechazar \(H_0\) significa que la muestra no entregó evidencia suficiente contra esa hipótesis.
Una conclusión correcta sería:
“Con la muestra disponible y el criterio utilizado, no hay evidencia suficiente para rechazar que la media poblacional sea \(50\)”.
No rechazar \(H_0\) no demuestra que \(H_0\) sea verdadera.
Ejercicio 7: integrar intervalo y decisión
Una empresa declara que la masa promedio real de sus envases es \(500\) g.
Una muestra permite construir el intervalo de confianza aproximado:
\[ [496,\ 504] \]
- ¿El valor \(500\) está dentro del intervalo?
- ¿Sería razonable rechazar inmediatamente la afirmación de la empresa solo con este intervalo?
- Redacta una conclusión cuidadosa.
El valor \(500\) sí está dentro del intervalo:
\[ 496\le 500\le 504 \]
Como \(500\) está dentro del rango de valores razonables para la media poblacional, no sería prudente rechazar inmediatamente la afirmación de la empresa solo con este intervalo.
Una conclusión cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(496\) g y \(504\) g son razonables para la media poblacional. Como \(500\) g pertenece a ese intervalo, la muestra no parece entregar evidencia fuerte contra la afirmación de la empresa”.
El valor \(500\) está dentro del intervalo, por lo que no hay evidencia clara contra esa afirmación.
Ejercicio 8: caso desafiante
Una municipalidad afirma que el promedio real de minutos diarios de actividad física de sus habitantes es \(45\) minutos.
Un equipo sospecha que el promedio real es menor que \(45\) minutos.
Se plantea:
\[ H_0:\mu=45 \]
\[ H_1:\mu<45 \]
Una muestra aleatoria entrega:
\[ \bar{x}=42,\qquad s=12,\qquad n=64 \]
- Calcula el error estándar.
- Calcula \(Z_{\text{obs}}\).
- Usando el criterio escolar \(Z_{\text{obs}}\le -2\), decide si se rechaza \(H_0\).
- Escribe una conclusión cuidadosa en contexto.
- Explica por qué la conclusión no es una certeza absoluta.
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{64}} \]
Como \(\sqrt{64}=8\), entonces:
\[ EE=\frac{12}{8}=1{,}5 \]
Calculamos la distancia estandarizada:
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{EE} \]
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{42-45}{1{,}5}=\frac{-3}{1{,}5}=-2 \]
Como la alternativa es \(H_1:\mu<45\), usamos el criterio:
\[ Z_{\text{obs}}\le -2 \]
Como \(Z_{\text{obs}}=-2\), se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el promedio real de minutos diarios de actividad física es menor que \(45\) minutos”.
La conclusión no es una certeza absoluta porque se basa en una muestra y en un criterio estadístico de decisión.
\(EE=1{,}5\), \(Z_{\text{obs}}=-2\). Se rechaza \(H_0\).
Cierre del libro
La inferencia estadística permite usar muestras para estimar parámetros y tomar decisiones sobre poblaciones.
Los intervalos de confianza entregan rangos de valores razonables para un parámetro.
Las pruebas de hipótesis permiten evaluar si una muestra entrega evidencia suficiente contra una afirmación inicial.
En ambos casos, la conclusión debe ser cuidadosa: se concluye con evidencia, no con certeza absoluta.