libro de medición geométrica: longitud, superficie, volumen y capacidad
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Objetivo
- Comprender y aplicar conversiones entre unidades cuadradas, reconociendo que al medir superficies el factor de conversión lineal se aplica en dos dimensiones.
Convertir superficies no es convertir longitudes
En la página anterior vimos que una superficie se mide contando unidades cuadradas.
Por eso, cuando convertimos áreas, no basta con cambiar la unidad como si fuera una longitud.
La razón es que una superficie tiene dos dimensiones:
\[ \text{largo} \times \text{ancho} \]
Entonces, si una unidad lineal cambia por un factor, la unidad cuadrada cambia por ese factor dos veces.
La idea clave
Sabemos que:
\[ 1m = 100cm \]
Pero un metro cuadrado no es una línea de \(100cm\). Es un cuadrado de \(1m\) por \(1m\).
Entonces:
\[ 1m^2 = 1m \times 1m \]
Como cada metro equivale a \(100cm\):
\[ 1m^2 = 100cm \times 100cm \]
\[ 1m^2 = 10\,000cm^2 \]
¿Por qué aparecen 10 000 cm²?
La escalera de unidades cuadradas
Para convertir unidades cuadradas también podemos usar una escalera, pero ahora cada escalón cambia por un factor \(100\), no por \(10\).
Esto ocurre porque cada unidad cuadrada mide dos dimensiones.
En esta escalera:
\[ km^2,\quad hm^2,\quad dam^2,\quad m^2,\quad dm^2,\quad cm^2,\quad mm^2 \]
Si se baja un escalón hacia una unidad cuadrada más pequeña, se multiplica por \(100\).
Si se bajan dos escalones, se multiplica por \(100^2 = 10\,000\).
Si se sube un escalón hacia una unidad cuadrada más grande, se divide por \(100\).
Técnica de conversión de áreas
Para convertir unidades cuadradas, se usa el factor lineal elevado al cuadrado.
\[ \text{superficie} \rightarrow \text{factor}^2 \]
| Movimiento en la escalera cuadrada | Factor de área | Operación |
|---|---|---|
| 1 escalón hacia una unidad más pequeña | \(100\) | Multiplicar por \(100\) |
| 2 escalones hacia una unidad más pequeña | \(10\,000\) | Multiplicar por \(10\,000\) |
| 3 escalones hacia una unidad más pequeña | \(1\,000\,000\) | Multiplicar por \(1\,000\,000\) |
| 1 escalón hacia una unidad más grande | \(100\) | Dividir por \(100\) |
| 2 escalones hacia una unidad más grande | \(10\,000\) | Dividir por \(10\,000\) |
| 3 escalones hacia una unidad más grande | \(1\,000\,000\) | Dividir por \(1\,000\,000\) |
Por ejemplo, como:
\[ 1m = 100cm \]
entonces:
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 \]
\[ 1m^2 = 10\,000cm^2 \]
El factor \(100\) aparece dos veces porque el área mide dos dimensiones.
Ejemplo 1: pasar de m² a cm²
Convierte \(3m^2\) a \(cm^2\).
En la escalera cuadrada:
\[ m^2 \rightarrow dm^2 \rightarrow cm^2 \]
Son dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña, entonces multiplicamos por \(10\,000\):
\[ 3m^2 = 3 \cdot 10\,000cm^2 \]
\[ 3m^2 = 30\,000cm^2 \]
Esto significa que una superficie de \(3m^2\) puede cubrirse con \(30\,000\) cuadrados de \(1cm^2\).
Ejemplo 2: pasar de cm² a m²
Convierte \(45\,000cm^2\) a \(m^2\).
En la escalera cuadrada:
\[ cm^2 \rightarrow dm^2 \rightarrow m^2 \]
Son dos escalones hacia una unidad cuadrada más grande, entonces dividimos por \(10\,000\):
\[ 45\,000cm^2 = (45\,000 \div 10\,000)m^2 \]
\[ 45\,000cm^2 = 4{,}5m^2 \]
Ejemplo 3: convertir entre cm² y mm²
Convierte \(8cm^2\) a \(mm^2\).
En la escalera cuadrada:
\[ cm^2 \rightarrow mm^2 \]
Es un escalón hacia una unidad cuadrada más pequeña, entonces multiplicamos por \(100\):
\[ 8cm^2 = 8 \cdot 100mm^2 \]
\[ 8cm^2 = 800mm^2 \]
Error común
Un error frecuente es convertir así:
\[ 1m^2 = 100cm^2 \]
Pero eso es incorrecto.
La equivalencia \(1m = 100cm\) sirve para longitudes, no directamente para superficies.
En superficies hay dos dimensiones:
\[ 1m^2 = 100cm \times 100cm \]
\[ 1m^2 = 10\,000cm^2 \]
Actividad
Realiza las siguientes conversiones de unidades cuadradas. Puedes ayudarte con la escalera de unidades cuadradas.
- \(2m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(5m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(0{,}5m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(20\,000cm^2 = \_\_\_\_ m^2\)
- \(75\,000cm^2 = \_\_\_\_ m^2\)
- \(4cm^2 = \_\_\_\_ mm^2\)
- \(350mm^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(1{,}2m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(6dm^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(38\,000m^2 = \_\_\_\_ dam^2\)
Luego responde:
¿Por qué al convertir de \(m^2\) a \(cm^2\) no multiplicamos por 100, sino por 10 000?
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña: \(m^2 \rightarrow dm^2 \rightarrow cm^2\). Entonces se multiplica por \(10\,000\): \[ 2m^2 = 2 \cdot 10\,000cm^2 = 20\,000cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\,000\): \[ 5m^2 = 5 \cdot 10\,000cm^2 = 50\,000cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\,000\): \[ 0{,}5m^2 = 0{,}5 \cdot 10\,000cm^2 = 5\,000cm^2 \]
- De \(cm^2\) a \(m^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más grande: \(cm^2 \rightarrow dm^2 \rightarrow m^2\). Entonces se divide por \(10\,000\): \[ 20\,000cm^2 = (20\,000 \div 10\,000)m^2 = 2m^2 \]
- De \(cm^2\) a \(m^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más grande. Entonces se divide por \(10\,000\): \[ 75\,000cm^2 = (75\,000 \div 10\,000)m^2 = 7{,}5m^2 \]
- De \(cm^2\) a \(mm^2\) hay un escalón hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(100\): \[ 4cm^2 = 4 \cdot 100mm^2 = 400mm^2 \]
- De \(mm^2\) a \(cm^2\) hay un escalón hacia una unidad cuadrada más grande. Entonces se divide por \(100\): \[ 350mm^2 = (350 \div 100)cm^2 = 3{,}5cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\,000\): \[ 1{,}2m^2 = 1{,}2 \cdot 10\,000cm^2 = 12\,000cm^2 \]
- De \(dm^2\) a \(cm^2\) hay un escalón hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(100\): \[ 6dm^2 = 6 \cdot 100cm^2 = 600cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(dam^2\) hay un escalón hacia una unidad cuadrada más grande. Entonces se divide por \(100\): \[ 38\,000m^2 = (38\,000 \div 100)dam^2 = 380dam^2 \]
Al convertir de \(m^2\) a \(cm^2\) no multiplicamos por \(100\), sino por \(10\,000\), porque el área mide dos dimensiones. Como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1m^2 = 100cm \times 100cm = 10\,000cm^2 \]
También se puede ver en la escalera cuadrada: de \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones, y cada escalón multiplica por \(100\):
\[ 100 \cdot 100 = 10\,000 \]
Idea clave
Una superficie mide dos dimensiones.
Por eso, al convertir unidades cuadradas, el factor lineal se aplica dos veces.
\[ \text{factor de área} = \text{factor lineal}^2 \]
En la escalera de unidades cuadradas, cada escalón equivale a multiplicar o dividir por \(100\).
Así, como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 = 10\,000cm^2 \]
Convertir áreas es cambiar la unidad cuadrada, no solo el nombre de la medida.