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¿Que tan probable es si....?

3. Probabilidad Condicional: Concepto y Cálculo

Probabilidad Condicional: Concepto y Cálculo

Probabilidad Condicional: Concepto y Cálculo

¿Qué es la Probabilidad Condicional?

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento *A*, *dado que* ya ha ocurrido otro evento *B*. Es un recálculo de la probabilidad de A, *teniendo en cuenta* la información de que B ha ocurrido.

Ejemplo intuitivo:

  • Bolsa con 5 bolas: 3 rojas y 2 azules.
  • P(roja en primer intento) = 3/5.
  • *Si ya sacaste una roja* (sin reemplazo), P(otra roja | ya sacaste una roja) = 2/4 = 1/2.

La información adicional cambia la probabilidad.

Notación

\[ P(A|B) \]

Se lee: "Probabilidad de A dado B".

Eventos Dependientes e Independientes

Eventos Dependientes

Dos eventos son *dependientes* si la ocurrencia de uno *afecta* la probabilidad del otro.

Ejemplos:

  • Sacar bolas sin reemplazo.
  • Clima: "Llueve hoy" y "Llueve mañana".

Eventos Independientes

Dos eventos son *independientes* si la ocurrencia de uno *no afecta* la probabilidad del otro.

Ejemplos:

  • Lanzar una moneda dos veces.
  • Lanzar dos dados.

Cálculo de la Probabilidad Condicional

Fórmula:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \text{ y } B)}{P(B)} \]

Donde:

  • P(A|B): Probabilidad de A dado B.
  • P(A y B): Probabilidad de que *ambos* ocurran (probabilidad conjunta).
  • P(B): Probabilidad de B (mayor que 0).

Explicación intuitiva:

  • "Restringimos" el espacio muestral a B.
  • Dentro de ese espacio, calculamos la proporción de casos donde también ocurre A.

Ejemplo (paso a paso):

Clase: 60% mujeres. De las mujeres, 70% tiene cabello largo. 42% son mujeres con cabello largo.

Calcula la probabilidad de cabello largo, *dado que* es mujer.

  1. Eventos: A = "Cabello largo", B = "Ser mujer"
  2. Probabilidades: P(B) = 0.6, P(A y B) = 0.42
  3. Fórmula: P(A|B) = P(A y B) / P(B) = 0.42 / 0.6 = 0.7

Resultado: P(cabello largo | mujer) = 70%.

Caso Especial: Eventos Independientes

Si A y B son independientes, P(A|B) = P(A). La ocurrencia de B no afecta a A.

\[ P(A|B) = \frac{P(A \text{ y } B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A) \]

Y también:

\[P(A \text{ y } B) = P(A) \cdot P(B)\]

Ejercicios y Problemas

Ejercicios (Nivel Básico)

Ejercicio 1: Si P(A) = 0.6, P(B) = 0.3, y P(A y B) = 0.1, calcula:

  1. P(A|B)
  2. P(B|A)
  3. ¿Son A y B independientes?

Ejercicio 2: Se lanza un dado. A = "obtener un número par", B = "obtener un número menor que 4". Calcula:

  1. P(A)
  2. P(B)
  3. P(A y B)
  4. P(A|B)
  5. P(B|A)
  6. ¿Son A y B independientes?

Ejercicio 3: Si A y B son eventos independientes, con P(A) = 0.4 y P(B) = 0.6, calcula P(A y B).

Ejercicios (Nivel Intermedio)

Ejercicio 4: En una urna hay 4 bolas blancas y 6 bolas negras. Se extraen dos bolas *sin* reemplazo. Calcula la probabilidad de que:

  1. La primera bola sea blanca.
  2. La segunda bola sea negra, *dado que* la primera fue blanca.
  3. Ambas bolas sean blancas.
  4. La segunda bola sea blanca, *dado que* la primera fue negra.

Ejercicio 5: Se lanza un dado *dos veces*. Calcula la probabilidad de:

  1. Obtener un 5 en el primer lanzamiento.
  2. Obtener un 3 en el segundo lanzamiento, *dado que* se obtuvo un 5 en el primero.
  3. Obtener un 5 en el primer lanzamiento *y* un 3 en el segundo.
  4. Obtener un 5 *y* un 3 (en cualquier orden).

Problemas (Nivel Intermedio-Avanzado)

Problema 1: Una fábrica tiene dos máquinas, A y B, que producen el mismo tipo de pieza. La máquina A produce el 60% de las piezas y la máquina B el 40%. El 5% de las piezas producidas por A son defectuosas, y el 2% de las producidas por B son defectuosas. Se elige una pieza al azar.

  1. Calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.
  2. Si la pieza elegida es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A?
  3. Si la pieza elegida *no* es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina B?

Problema 2: Se tienen tres monedas. La primera moneda es normal (una cara y un sello). La segunda moneda tiene dos caras. La tercera moneda está trucada de tal manera que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se elige una moneda al azar y se lanza.

  1. Calcula la probabilidad de obtener cara.
  2. Si el resultado del lanzamiento fue cara, ¿cuál es la probabilidad de que se haya elegido la moneda normal?

Problema 3: Demuestra que si A y B son eventos independientes, entonces Ac y Bc también son independientes.

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