Capitulo 5.1 Ecuaciones

2. El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita

El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita

La importancia de la operación inversa

Para resolver una ecuación, necesitamos aislar la incógnita, es decir, dejarla sola en un lado de la igualdad. Para lograr esto, utilizamos las operaciones inversas.

Las operaciones inversas "deshacen" lo que se le ha hecho a la incógnita. Aquí hay algunos ejemplos:

La suma y la resta son operaciones inversas.
La multiplicación y la división son operaciones inversas.

Propiedades de la igualdad

Las propiedades de la igualdad nos permiten manipular ecuaciones sin alterar su solución. Estas propiedades son:

Propiedad de adición: Si sumamos el mismo número a ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantiene.
Propiedad de sustracción: Si restamos el mismo número a ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantiene.
Propiedad de multiplicación: Si multiplicamos ambos lados de una ecuación por el mismo número (distinto de cero), la igualdad se mantiene.
Propiedad de división: Si dividimos ambos lados de una ecuación por el mismo número (distinto de cero), la igualdad se mantiene.

Ejemplos Resueltos

(Los ejemplos se mantienen igual que en la versión anterior)

Ejemplo 1: Propiedad de Adición y Sustracción (Enteros)

Resuelve la ecuación: \( x - 7 = 5 \)

Para aislar "x", sumamos 7 a ambos lados (propiedad de adición):

\( x - 7 + 7 = 5 + 7 \)

\( x = 12 \)

Solución: \( x = 12 \)

Ejemplo 2: Propiedad de Multiplicación (Racionales)

Resuelve la ecuación: \( \frac{x}{4} = \frac{3}{2} \)

Para aislar "x", multiplicamos ambos lados por 4 (propiedad de multiplicación):

\( \frac{x}{4} \cdot 4 = \frac{3}{2} \cdot 4 \)

\( x = \frac{12}{2} \)

\( x = 6 \)

Solución: \( x = 6 \)

Ejemplo 3: Propiedad de División (Literales)

Resuelve la ecuación para "x": \( ax = b \) (considerar \( a \neq 0 \))

Para aislar "x", dividimos ambos lados por "a" (propiedad de división):

\( \frac{ax}{a} = \frac{b}{a} \)

\( x = \frac{b}{a} \)

Solución: \( x = \frac{b}{a} \)

Ejemplo 4: Ecuación lineal tipo ax + b = c (Combinación de propiedades)

Resuelve la ecuación: \( 3x - 5 = 10 \)

Primero, sumamos 5 a ambos lados (propiedad de adición):

\( 3x - 5 + 5 = 10 + 5 \)

\( 3x = 15 \)

Luego, dividimos ambos lados por 3 (propiedad de división):

\( \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \)

\( x = 5 \)

Solución: \( x = 5 \)

Ejercicios

Nivel 1: Propiedad de Adición y Sustracción

(Enteros) Resuelve la ecuación: \( x + 9 = 15 \)

Respuesta:

\( x + 9 = 15 \)

\( x + 9 - 9 = 15 - 9 \)

\( x = 6 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( x - 12 = 8 \)

Respuesta:

\( x - 12 = 8 \)

\( x - 12 + 12 = 8 + 12 \)

\( x = 20 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( -7 + x = -3 \)

Respuesta:

\( -7 + x = -3 \)

\( -7 + x + 7 = -3 + 7 \)

\( x = 4 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)

Respuesta:

\( x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)

\( x - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \)

\( x = \frac{3}{3} \)

\( x = 1 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( x + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \)

Respuesta:

\( x + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \)

\( x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \)

\( x = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} \)

\( x = \frac{5}{4} \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( x - 2.5 = 1.8 \)

Respuesta:

\( x - 2.5 = 1.8 \)

\( x - 2.5 + 2.5 = 1.8 + 2.5 \)

\( x = 4.3 \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "x": \( x + c = d \)

Respuesta:

\( x + c = d \)

\( x + c - c = d - c \)

\( x = d - c \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "x": \( x - m = n \)

Respuesta:

\( x - m = n \)

\( x - m + m = n + m \)

\( x = n + m \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "a": \( a + 2p = 3q \)

Respuesta:

\( a + 2p = 3q \)

\( a + 2p - 2p = 3q - 2p \)

\( a = 3q - 2p \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "b": \( -5r + b = s \)

Respuesta:

\( -5r + b = s \)

\( -5r + b + 5r = s + 5r \)

\( b = s + 5r \)

Nivel 2: Propiedad de Multiplicación

(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 5x = 30 \)

Respuesta:

\( 5x = 30 \)

\( \frac{5x}{5} = \frac{30}{5} \)

\( x = 6 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( -3x = 21 \)

Respuesta:

\( -3x = 21 \)

\( \frac{-3x}{-3} = \frac{21}{-3} \)

\( x = -7 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 10x = -50 \)

Respuesta:

\( 10x = -50 \)

\( \frac{10x}{10} = \frac{-50}{10} \)

\( x = -5 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( \frac{2}{5}x = 4 \)

Respuesta:

\( \frac{2}{5}x = 4 \)

\( \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}x = \frac{5}{2} \cdot 4 \)

\( x = \frac{20}{2} \)

\( x = 10 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( \frac{x}{7} = \frac{2}{3} \)

Respuesta:

\( \frac{x}{7} = \frac{2}{3} \)

\( 7 \cdot \frac{x}{7} = 7 \cdot \frac{2}{3} \)

\( x = \frac{14}{3} \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( 1.5x = 4.5 \)

Respuesta:

\( 1.5x = 4.5 \)

\( \frac{1.5x}{1.5} = \frac{4.5}{1.5} \)

\( x = 3 \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "x": \( \frac{x}{a} = b \) (considerar \( a \neq 0 \))

Respuesta:

\( \frac{x}{a} = b \)

\( a \cdot \frac{x}{a} = a \cdot b \)

\( x = ab \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "x": \( nx = m \) (considerar \( n \neq 0 \))

Respuesta:

\( nx = m \)

\( \frac{nx}{n} = \frac{m}{n} \)

\( x = \frac{m}{n} \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "y": \( \frac{y}{2p} = q \) (considerar \( p \neq 0 \))

Respuesta:

\( \frac{y}{2p} = q \)

\( 2p \cdot \frac{y}{2p} = 2p \cdot q \)

\( y = 2pq \)
(combinacion) Resuelve la ecuación para "a": \( \frac{3a}{k} = 6m \) (considerar \( k \neq 0 \))

Respuesta:

\( \frac{3a}{k} = 6m \)

\( k \cdot \frac{3a}{k} = k \cdot 6m \)

\( 3a = 6km \)

\( \frac{3a}{3} = \frac{6km}{3} \)

\( a = 2km \)

Nivel 3: Propiedad de División

(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 8x = 48 \)

Respuesta:

\( 8x = 48 \)

\( \frac{8x}{8} = \frac{48}{8} \)

\( x = 6 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( -6x = 36 \)

Respuesta:

\( -6x = 36 \)

\( \frac{-6x}{-6} = \frac{36}{-6} \)

\( x = -6 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 12x = -60 \)

Respuesta:

\( 12x = -60 \)

\( \frac{12x}{12} = \frac{-60}{12} \)

\( x = -5 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( 0.5x = 2.5 \)

Respuesta:

\( 0.5x = 2.5 \)

\( \frac{0.5x}{0.5} = \frac{2.5}{0.5} \)

\( x = 5 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( 2.4x = 0.6 \)

Respuesta:

\( 2.4x = 0.6 \)

\( \frac{2.4x}{2.4} = \frac{0.6}{2.4} \)

\( x = 0.25 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( \frac{4}{3}x = \frac{8}{9} \)

Respuesta:

\( \frac{4}{3}x = \frac{8}{9} \)

\( \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \)

\( x = \frac{24}{36} \)

\( x = \frac{2}{3} \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "x": \( px = q \) (considerar \( p \neq 0 \))

Respuesta:

\( px = q \)

\( \frac{px}{p} = \frac{q}{p} \)

\( x = \frac{q}{p} \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "a": \( -ma = n \) (considerar \( m \neq 0 \))

Respuesta:

\( -ma = n \)

\( \frac{-ma}{-m} = \frac{n}{-m} \)

\( a = -\frac{n}{m} \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "y": \( \frac{2y}{c} = d \) (considerar \( c \neq 0 \))

Respuesta:

\( \frac{2y}{c} = d \)

\( c \cdot \frac{2y}{c} = c \cdot d \)

\( 2y = cd \)

\( \frac{2y}{2} = \frac{cd}{2} \)

\( y = \frac{cd}{2} \)
(combinacion) Resuelve la ecuación para "z": \( \frac{pz}{4} = 5k \) (considerar \( p \neq 0 \))

Respuesta:

\( \frac{pz}{4} = 5k \)

\( 4 \cdot \frac{pz}{4} = 4 \cdot 5k \)

\( pz = 20k \)

\( \frac{pz}{p} = \frac{20k}{p} \)

\( z = \frac{20k}{p} \)

Nivel 4: Ecuaciones lineales tipo ax + b = c

(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 2x + 7 = 13 \)

Respuesta:

\( 2x + 7 = 13 \)

\( 2x + 7 - 7 = 13 - 7 \)

\( 2x = 6 \)

\( \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \)

\( x = 3 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 5x - 9 = 16 \)

Respuesta:

\( 5x - 9 = 16 \)

\( 5x - 9 + 9 = 16 + 9 \)

\( 5x = 25 \)

\( \frac{5x}{5} = \frac{25}{5} \)

\( x = 5 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( -3x + 4 = -8 \)

Respuesta:

\( -3x + 4 = -8 \)

\( -3x + 4 - 4 = -8 - 4 \)

\( -3x = -12 \)

\( \frac{-3x}{-3} = \frac{-12}{-3} \)

\( x = 4 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( \frac{1}{2}x - 3 = 2 \)

Respuesta:

\( \frac{1}{2}x - 3 = 2 \)

\( \frac{1}{2}x - 3 + 3 = 2 + 3 \)

\( \frac{1}{2}x = 5 \)

\( 2 \cdot \frac{1}{2}x = 2 \cdot 5 \)

\( x = 10 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( \frac{2}{3}x + 1 = \frac{7}{3} \)

Respuesta:

\( \frac{2}{3}x + 1 = \frac{7}{3} \)

\( \frac{2}{3}x + 1 - 1 = \frac{7}{3} - 1 \)

\( \frac{2}{3}x = \frac{7}{3} - \frac{3}{3} \)

\( \frac{2}{3}x = \frac{4}{3} \)

\( \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \)

\( x = \frac{12}{6} \)

\( x = 2 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( 2.5x + 1.2 = 8.7 \)

Respuesta:

\( 2.5x + 1.2 = 8.7 \)
\( 2.5x="" +="" 1.2="" -="" \)<="" p="">
\( 2.5x = 7.5 \)

\( \frac{2.5x}{2.5} = \frac{7.5}{2.5} \)

\( x = 3 \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "x": \( mx + n = p \) (considerar \( m \neq 0 \))

Respuesta:

\( mx + n = p \)

\( mx + n - n = p - n \)

\( mx = p - n \)

\( \frac{mx}{m} = \frac{p - n}{m} \)

\( x = \frac{p - n}{m} \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "a": \( 2ab + c = 5d \) (considerar \( b \neq 0 \))

Respuesta:

\( 2ab + c = 5d \)

\( 2ab + c - c = 5d - c \)

\( 2ab = 5d - c \)

\( \frac{2ab}{2b} = \frac{5d - c}{2b} \)

\( a = \frac{5d - c}{2b} \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "y": \( \frac{y}{k} - m = n \) (considerar \( k \neq 0 \))

Respuesta:

\( \frac{y}{k} - m = n \)

\( \frac{y}{k} - m + m = n + m \)

\( \frac{y}{k} = n + m \)

\( k \cdot \frac{y}{k} = k \cdot (n + m) \)

\( y = k(n + m) \)
(Combinacion) Resuelve la ecuación para "z": \( \frac{az}{2} + 3b = 4c \) (considerar \( a \neq 0 \))

Respuesta:

\( \frac{az}{2} + 3b = 4c \)

\( \frac{az}{2} + 3b - 3b = 4c - 3b \)

\( \frac{az}{2} = 4c - 3b \)

\( 2 \cdot \frac{az}{2} = 2 \cdot (4c - 3b) \)

\( az = 2(4c - 3b) \)

\( \frac{az}{a} = \frac{2(4c - 3b)}{a} \)

\( z = \frac{2(4c - 3b)}{a} \)

\( z = \frac{8c - 6b}{a} \)