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Objetivo
Calcular el volumen de cilindros, comprendiendo que un cilindro puede interpretarse como una base circular que se repite a lo largo de una altura.
Un cuerpo redondo con base circular
En la página anterior estudiamos los prismas, donde una base se repite a lo largo de una altura.
El cilindro sigue una idea parecida, pero su base no es un polígono: es un círculo.
Un cilindro tiene:
- dos bases circulares iguales y paralelas,
- una superficie lateral curva,
- un radio \(r\),
- una altura \(h\).
Para calcular su volumen, pensamos en una base circular que se repite a lo largo de la altura.
Fórmula del volumen del cilindro
Como en los prismas, usamos la idea:
\[ V = A_b \cdot h \]
Pero ahora la base es un círculo.
El área de un círculo es:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Entonces, el volumen del cilindro es:
\[ V = \pi r^2 h \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la base circular.
- \(h\) es la altura del cilindro.
- \(\pi\) es aproximadamente \(3{,}14\).
El cilindro como una base circular repetida
¿Por qué aparece \(\pi r^2\)?
El volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de su base por su altura.
Como la base es circular, primero debemos calcular el área del círculo:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Luego esa base circular se repite a lo largo de la altura:
\[ V = A_b \cdot h \]
Por eso:
\[ V = \pi r^2h \]
Ejemplo 1: cilindro con radio y altura
Un cilindro tiene radio \(4cm\) y altura \(10cm\).
Usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos:
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 \]
\[ V = \pi \cdot 16 \cdot 10 \]
\[ V = 160\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 160 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 502{,}4cm^3 \]
Ejemplo 2: cilindro con diámetro
Un cilindro tiene diámetro \(12cm\) y altura \(8cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Entonces primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{12}{2} = 6cm \]
Ahora usamos la fórmula:
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ V = \pi \cdot 6^2 \cdot 8 \]
\[ V = \pi \cdot 36 \cdot 8 \]
\[ V = 288\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 904{,}32cm^3 \]
Atención: radio y diámetro no son lo mismo
El radio va desde el centro del círculo hasta el borde.
El diámetro atraviesa todo el círculo pasando por el centro.
Por eso:
\[ d = 2r \]
y también:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Si un problema entrega el diámetro, primero hay que obtener el radio antes de usar la fórmula del volumen.
Comparación con el prisma
El prisma y el cilindro comparten la misma idea general:
\[ V = A_b \cdot h \]
La diferencia está en la forma de la base.
| Cuerpo | Base | Volumen |
|---|---|---|
| Prisma | polígono | \(V = A_b \cdot h\) |
| Cilindro | círculo | \(V = \pi r^2 h\) |
Error común
Un error frecuente es usar el diámetro como si fuera el radio.
Por ejemplo, si el diámetro es \(10cm\), no debemos reemplazar \(r = 10\).
Primero calculamos:
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Luego usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Otro error frecuente es olvidar elevar el radio al cuadrado.
La fórmula correcta es:
\[ V = \pi r^2h \]
No:
\[ V = \pi rh \]
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes cilindros. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
- Radio \(3cm\), altura \(7cm\).
- Radio \(5m\), altura \(12m\).
- Radio \(2cm\), altura \(15cm\).
- Diámetro \(10cm\), altura \(8cm\).
- Diámetro \(6m\), altura \(9m\).
Luego responde:
¿Por qué el volumen del cilindro se expresa en unidades cúbicas?
¿Por qué el cilindro usa la fórmula \(V = A_b \cdot h\), aunque no sea un prisma?
Desafío con capacidad
Una lata cilíndrica tiene radio \(4cm\) y altura \(12cm\).
Calcula su volumen en \(cm^3\).
Luego expresa aproximadamente su capacidad en \(mL\), recordando que:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
Idea clave
El cilindro puede entenderse como una base circular que se repite a lo largo de una altura.
Por eso:
\[ V = A_b \cdot h \]
Como la base es un círculo:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Entonces:
\[ V = \pi r^2h \]
Esta fórmula cuenta cuántas unidades cúbicas llenan el cilindro.