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Objetivo
Calcular el volumen de pirámides, comprendiendo que una pirámide ocupa un tercio del volumen de un prisma con la misma base y la misma altura.
Una base que termina en un vértice
Una pirámide es un cuerpo geométrico que tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se juntan en un vértice.
La base puede ser triangular, cuadrada, rectangular, pentagonal u otra figura poligonal.
Para calcular su volumen necesitamos dos datos principales:
- el área de la base, \(A_b\),
- la altura perpendicular de la pirámide, \(h\).
La altura no es una arista lateral inclinada. La altura es la distancia perpendicular desde el vértice hasta el plano de la base.
Fórmula del volumen de una pirámide
El volumen de una pirámide se calcula con:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Donde:
- \(A_b\) es el área de la base.
- \(h\) es la altura perpendicular de la pirámide.
La división por \(3\) aparece porque una pirámide ocupa un tercio del volumen de un prisma que tiene la misma base y la misma altura.
Comparación con un prisma
¿Por qué se divide por 3?
Un prisma mantiene la misma base a lo largo de toda su altura.
En cambio, una pirámide comienza con una base y se va estrechando hasta llegar a un vértice.
Por eso, una pirámide no ocupa todo el espacio del prisma que tendría la misma base y altura.
La relación fundamental es:
\[ \text{volumen de la pirámide} = \frac{1}{3}\text{ del volumen del prisma} \]
Por eso:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Ejemplo 1: pirámide de base rectangular
Una pirámide tiene base rectangular de \(8cm\) por \(5cm\), y altura \(12cm\).
Primero calculamos el área de la base:
\[ A_b = 8 \cdot 5 \]
\[ A_b = 40cm^2 \]
Luego usamos la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{40 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{480}{3} \]
\[ V = 160cm^3 \]
Ejemplo 2: pirámide con área de base conocida
Una pirámide tiene área de base \(54m^2\) y altura \(10m\).
Usamos:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{54 \cdot 10}{3} \]
\[ V = \frac{540}{3} \]
\[ V = 180m^3 \]
Esto significa que la pirámide ocupa \(180\) unidades cúbicas de \(1m^3\).
Atención con la altura
En una pirámide pueden aparecer medidas inclinadas, especialmente en sus caras laterales.
Pero para calcular volumen necesitamos la altura perpendicular.
La altura va desde el vértice hasta la base formando un ángulo recto con el plano de la base.
Si usamos una arista lateral inclinada como si fuera altura, el volumen resultará incorrecto.
Comparación con el prisma
| Cuerpo | Fórmula | Idea |
|---|---|---|
| Prisma | \(V = A_b \cdot h\) | base repetida a lo largo de la altura |
| Pirámide | \(V = \frac{A_b \cdot h}{3}\) | un tercio del prisma correspondiente |
Error común
Un error frecuente es olvidar dividir por \(3\).
Por ejemplo, si una pirámide tiene \(A_b = 30cm^2\) y \(h = 9cm\), no basta con hacer:
\[ 30 \cdot 9 = 270 \]
Eso correspondería al volumen de un prisma con esa base y altura.
Para la pirámide debemos dividir por \(3\):
\[ V = \frac{30 \cdot 9}{3} = 90cm^3 \]
Actividad
Calcula el volumen de las siguientes pirámides.
- Área de base \(24cm^2\), altura \(9cm\).
- Área de base \(60m^2\), altura \(12m\).
- Base rectangular de \(10cm\) por \(6cm\), altura \(15cm\).
- Base cuadrada de lado \(8m\), altura \(9m\).
- Base triangular de \(12cm\) de base y \(5cm\) de altura. La altura de la pirámide es \(18cm\).
Luego responde:
¿Por qué la fórmula de la pirámide se parece a la del prisma, pero dividida por \(3\)?
¿Qué altura se usa para calcular volumen: la inclinada o la perpendicular?
Desafío
Una pirámide tiene volumen \(120cm^3\) y área de base \(40cm^2\).
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
para encontrar su altura.
Idea clave
El volumen de una pirámide se calcula con:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
La pirámide se relaciona con un prisma de la misma base y altura.
Ocupa un tercio de ese prisma, por eso aparece la división por \(3\).