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Objetivo
Calcular el volumen de conos, comprendiendo que un cono ocupa un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y la misma altura.
Un cuerpo redondo que termina en un vértice
Un cono es un cuerpo geométrico que tiene una base circular y una superficie lateral curva que termina en un vértice.
Para calcular su volumen necesitamos dos datos principales:
- el radio de la base circular, \(r\),
- la altura perpendicular del cono, \(h\).
La altura no es la línea inclinada del costado. La altura va desde el vértice hasta el centro de la base, formando un ángulo recto con la base.
Fórmula del volumen del cono
El cono se relaciona con un cilindro de la misma base y la misma altura.
El volumen del cilindro es:
\[ V = \pi r^2h \]
El cono ocupa un tercio de ese cilindro.
Por eso, el volumen del cono es:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la base.
- \(h\) es la altura perpendicular.
- \(\pi \approx 3{,}14\).
Comparación con un cilindro
¿Por qué se divide por 3?
Un cilindro mantiene la misma base circular a lo largo de toda su altura.
En cambio, un cono comienza con una base circular y se va estrechando hasta llegar a un vértice.
Por eso, no ocupa todo el espacio del cilindro que tendría la misma base y altura.
La relación fundamental es:
\[ \text{volumen del cono} = \frac{1}{3}\text{ del volumen del cilindro} \]
Por eso:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Ejemplo 1: cono con radio y altura
Un cono tiene radio \(3cm\) y altura \(12cm\).
Usamos:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 9 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{108\pi}{3} \]
\[ V = 36\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 36 \cdot 3{,}14 = 113{,}04cm^3 \]
Ejemplo 2: cono con diámetro
Un cono tiene diámetro \(10cm\) y altura \(9cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Ahora usamos:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{225\pi}{3} \]
\[ V = 75\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 235{,}5cm^3 \]
Atención: altura y generatriz
En un cono pueden aparecer dos medidas verticales o inclinadas:
- la altura, que baja perpendicularmente desde el vértice hasta el centro de la base;
- la generatriz, que va inclinada desde el vértice hasta el borde de la base.
Para calcular volumen usamos la altura perpendicular, no la generatriz.
La generatriz será más importante cuando estudiemos la superficie del cono.
Comparación con el cilindro
| Cuerpo | Fórmula | Idea |
|---|---|---|
| Cilindro | \(V = \pi r^2h\) | base circular repetida en altura |
| Cono | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) | un tercio del cilindro correspondiente |
Error común
Un error frecuente es olvidar dividir por \(3\).
Por ejemplo, si un cono tiene \(r = 4cm\) y \(h = 6cm\), no basta con hacer:
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 \]
Eso corresponde al cilindro de igual base y altura.
Para el cono debemos dividir por \(3\):
\[ V = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 6}{3} \]
Otro error frecuente es usar el diámetro como si fuera radio. Si aparece el diámetro, primero se calcula:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes conos. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
- Radio \(2cm\), altura \(9cm\).
- Radio \(5m\), altura \(12m\).
- Radio \(4cm\), altura \(15cm\).
- Diámetro \(8cm\), altura \(6cm\).
- Diámetro \(14m\), altura \(9m\).
Luego responde:
¿Por qué el volumen del cono se parece al volumen del cilindro, pero dividido por \(3\)?
¿Qué medida se usa para calcular el volumen del cono: la altura o la generatriz?
Desafío
Un cono tiene volumen \(96\pi cm^3\) y altura \(18cm\).
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
para encontrar el radio de su base.
Idea clave
El volumen de un cono se calcula con:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
El cono se relaciona con un cilindro de la misma base y altura.
Ocupa un tercio de ese cilindro, por eso aparece la división por \(3\).