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Objetivo
Calcular el volumen de esferas, comprendiendo que una esfera queda determinada por su radio y que su volumen depende de una medida elevada al cubo.
Un cuerpo redondo sin base ni altura
La esfera es un cuerpo geométrico completamente redondo.
A diferencia del prisma, el cilindro, la pirámide o el cono, la esfera no tiene:
- bases,
- caras planas,
- aristas,
- vértices,
- altura.
Para calcular su volumen necesitamos un dato principal:
el radio.
El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie.
Fórmula del volumen de la esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), su volumen se calcula con:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la esfera.
- \(\pi \approx 3{,}14\).
- \(r^3\) significa \(r \cdot r \cdot r\).
El exponente \(3\) aparece porque estamos calculando volumen, es decir, una medida tridimensional.
La esfera queda determinada por su radio
¿Por qué aparece \(r^3\)?
En el volumen de una esfera aparece \(r^3\) porque el volumen depende de tres dimensiones.
Esto significa que si el radio cambia, el volumen cambia mucho más rápido.
Por ejemplo, si el radio se duplica, el volumen no se duplica.
Como aparece \(r^3\), el volumen se multiplica por:
\[ 2^3 = 8 \]
Entonces, una esfera con el doble de radio tiene \(8\) veces el volumen.
Ejemplo 1: esfera con radio conocido
Una esfera tiene radio \(3cm\).
Usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \]
\[ V = 36\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 36 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 113{,}04cm^3 \]
Ejemplo 2: esfera con diámetro
Una esfera tiene diámetro \(10cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Ahora usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V = \frac{500}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 523{,}33cm^3 \]
Atención: radio y diámetro
En una esfera, el diámetro atraviesa la esfera pasando por el centro.
El radio va desde el centro hasta la superficie.
Por eso:
\[ d = 2r \]
y también:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Si el problema entrega el diámetro, primero debemos dividir por \(2\) para encontrar el radio.
Comparación con otros cuerpos
| Cuerpo | Datos principales | Volumen |
|---|---|---|
| Cilindro | radio y altura | \(V = \pi r^2h\) |
| Cono | radio y altura | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) |
| Esfera | radio | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) |
Error común
Un error frecuente es usar el diámetro como si fuera el radio.
Por ejemplo, si el diámetro de una esfera es \(12cm\), no debemos reemplazar \(r = 12\).
Primero calculamos:
\[ r = \frac{12}{2} = 6cm \]
Otro error frecuente es olvidar elevar el radio al cubo.
La fórmula correcta es:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
No:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^2 \]
El \(r^2\) aparece en áreas; para volumen aparece \(r^3\).
Actividad
Calcula el volumen de las siguientes esferas. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
- Radio \(2cm\).
- Radio \(4cm\).
- Radio \(6m\).
- Diámetro \(8cm\).
- Diámetro \(14m\).
Luego responde:
¿Por qué la fórmula de la esfera usa \(r^3\)?
¿Qué dato necesitas si quieres calcular el volumen de una pelota?
Desafío
Una esfera tiene volumen:
\[ V = 288\pi cm^3 \]
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
para encontrar su radio.
Idea clave
La esfera es un cuerpo redondo que queda determinado por su radio.
Su volumen se calcula con:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
El exponente \(3\) recuerda que el volumen mide espacio tridimensional.
Por eso el resultado se expresa en unidades cúbicas:
\[ cm^3,\quad m^3,\quad mm^3 \]