En la página anterior, aprendimos a despejar la incógnita usando las propiedades de la igualdad. Existe una forma más rápida de visualizar esto, que es "pasar" términos de un lado a otro de la igualdad, realizando la operación inversa.
Reglas para "pasar" términos:
Si un término está sumando en un lado, pasa al otro lado restando.
Si un término está restando en un lado, pasa al otro lado sumando.
Si un término está multiplicando en un lado, pasa al otro lado dividiendo (siempre que sea distinto de cero).
Si un término está dividiendo en un lado, pasa al otro lado multiplicando (siempre que sea distinto de cero).
Importante: "Pasar" un término es simplemente una forma abreviada de aplicar las propiedades de la igualdad. Ambas formas son correctas, pero esta forma suele ser más rápida.
Resolviendo Ecuaciones de la Forma ax + b = c
Para resolver ecuaciones de la forma \( ax + b = c \), generalmente seguimos estos pasos:
Primero, "pasamos" el término "b" al otro lado, cambiando su operación.
Luego, "pasamos" el coeficiente "a" al otro lado, cambiando su operación.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Ecuación con Enteros
Resuelve la ecuación: \( 4x - 7 = 9 \)
1. El -7 está restando en el lado izquierdo, así que lo "pasamos" al lado derecho sumando:
\( 4x = 9 + 7 \)
\( 4x = 16 \)
2. El 4 está multiplicando a la "x", así que lo "pasamos" al lado derecho dividiendo:
\( x = \frac{16}{4} \)
\( x = 4 \)
Solución:\( x = 4 \)
Ejemplo 2: Ecuación con Racionales
Resuelve la ecuación: \( \frac{2}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \)
1. "Pasamos" el \( \frac{1}{2} \) al lado derecho restando:
\( \frac{2}{3}x = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} \)
\( \frac{2}{3}x = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} \)
\( \frac{2}{3}x = \frac{2}{6} \)
\( \frac{2}{3}x = \frac{1}{3} \)
2. "Pasamos" el \( \frac{2}{3} \) al lado derecho. Como está multiplicando, pasa dividiendo, o lo que es lo mismo, multiplicamos por su inverso \( \frac{3}{2} \):
\( x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \)
\( x = \frac{3}{6} \)
\( x = \frac{1}{2} \)
Solución:\( x = \frac{1}{2} \)
Ejemplo 3: Ecuación con Literales
Resuelve la ecuación para "x": \( mx + n = p \) (considerar \( m \neq 0 \))
1. "Pasamos" "n" al lado derecho restando:
\( mx = p - n \)
2. "Pasamos" "m" al lado derecho dividiendo:
\( x = \frac{p - n}{m} \)
Solución:\( x = \frac{p - n}{m} \)
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
Resuelve la ecuación: \( 3x + 8 = 23 \)
Respuesta:
\( 3x + 8 = 23 \)
\( 3x = 23 - 8 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = \frac{15}{3} \)
\( x = 5 \)
Resuelve la ecuación: \( 6x - 5 = 19 \)
Respuesta:
\( 6x - 5 = 19 \)
\( 6x = 19 + 5 \)
\( 6x = 24 \)
\( x = \frac{24}{6} \)
\( x = 4 \)
Resuelve la ecuación: \( -2x + 9 = 3 \)
Respuesta:
\( -2x + 9 = 3 \)
\( -2x = 3 - 9 \)
\( -2x = -6 \)
\( x = \frac{-6}{-2} \)
\( x = 3 \)
Resuelve la ecuación: \( 10x - 15 = 35 \)
Respuesta:
\( 10x - 15 = 35 \)
\( 10x = 35 + 15 \)
\( 10x = 50 \)
\( x = \frac{50}{10} \)
\( x = 5 \)
Resuelve la ecuación: \( -7x - 6 = 8 \)
Respuesta:
\( -7x - 6 = 8 \)
\( -7x = 8 + 6 \)
\( -7x = 14 \)
\( x = \frac{14}{-7} \)
\( x = -2 \)
Resuelve la ecuación: \( 4x + 11 = -5 \)
Respuesta:
\( 4x + 11 = -5 \)
\( 4x = -5 - 11 \)
\( 4x = -16 \)
\( x = \frac{-16}{4} \)
\( x = -4 \)
Resuelve la ecuación: \( 9x - 13 = 5 \)
Respuesta:
\( 9x - 13 = 5 \)
\( 9x = 5 + 13 \)
\( 9x = 18 \)
\( x = \frac{18}{9} \)
\( x = 2 \)
Resuelve la ecuación: \( -5x + 12 = -3 \)
Respuesta:
\( -5x + 12 = -3 \)
\( -5x = -3 - 12 \)
\( -5x = -15 \)
\( x = \frac{-15}{-5} \)
\( x = 3 \)
Resuelve la ecuación: \( 8x + 2 = 50 \)
Respuesta:
\( 8x + 2 = 50 \)
\( 8x = 50 - 2 \)
\( 8x = 48 \)
\( x = \frac{48}{8} \)
\( x = 6 \)
Resuelve la ecuación: \( -4x - 7 = 13 \)
Respuesta:
\( -4x - 7 = 13 \)
\( -4x = 13 + 7 \)
\( -4x = 20 \)
\( x = \frac{20}{-4} \)
\( x = -5 \)
Ecuaciones con Racionales
Resuelve la ecuación: \( \frac{1}{2}x + 3 = 5 \)
Respuesta:
\( \frac{1}{2}x + 3 = 5 \)
\( \frac{1}{2}x = 5 - 3 \)
\( \frac{1}{2}x = 2 \)
\( x = 2 \cdot 2 \)
\( x = 4 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{2}{5}x - 1 = \frac{3}{5} \)
Respuesta:
\( \frac{2}{5}x - 1 = \frac{3}{5} \)
\( \frac{2}{5}x = \frac{3}{5} + 1 \)
\( \frac{2}{5}x = \frac{3}{5} + \frac{5}{5} \)
\( \frac{2}{5}x = \frac{8}{5} \)
\( x = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2} \)
\( x = 4 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \)
Respuesta:
\( \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \)
\( \frac{3}{4}x = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} \)
\( \frac{3}{4}x = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} \)
\( \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \)
\( x = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \)
\( x = 1 \)
Resuelve la ecuación: \( 2.5x + 0.8 = 5.8 \)
Respuesta:
\( 2.5x + 0.8 = 5.8 \)
\( 2.5x = 5.8 - 0.8 \)
\( 2.5x = 5 \)
\( x = \frac{5}{2.5} \)
\( x = 2 \)
Resuelve la ecuación: \( 0.75x - 2.1 = 0.9 \)
Respuesta:
\( 0.75x - 2.1 = 0.9 \)
\( 0.75x = 0.9 + 2.1 \)
\( 0.75x = 3 \)
\( x = \frac{3}{0.75} \)
\( x= 4 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 1 \)
Respuesta:
\( \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 1 \)
\( \frac{1}{3}x = 1 + \frac{2}{3} \)
\( \frac{1}{3}x = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \)
\( \frac{1}{3}x = \frac{5}{3} \)
\( x = \frac{5}{3} \cdot 3 \)
\( x = 5 \)
Resuelve la ecuación: \( 4.2x + 6.5 = 19.1 \)
Respuesta:
\( 4.2x + 6.5 = 19.1 \)
\( 4.2x = 19.1 - 6.5 \)
\( 4.2x = 12.6 \)
\( x = \frac{12.6}{4.2} \)
\( x = 3 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{3}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \)
Respuesta:
\( \frac{3}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \)
\( x = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{3} \)
\( x = \frac{5}{3} \)
Resuelve la ecuación: \( 0.6x - 3.2 = 1.6 \)
Respuesta:
\( 0.6x - 3.2 = 1.6 \)
\( 0.6x = 1.6 + 3.2 \)
\( 0.6x = 4.8 \)
\( x = \frac{4.8}{0.6} \)
\( x = 8 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \)
Respuesta:
\( \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{6}x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
\( \frac{5}{6}x = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \)
\( \frac{5}{6}x = \frac{5}{6} \)
\( x = \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} \)
\( x = 1 \)
Ecuaciones con Literales
Resuelve la ecuación para "x": \( ax + b = c \) (considerar \( a \neq 0 \))
Respuesta:
\( ax + b = c \)
\( ax = c - b \)
\( x = \frac{c - b}{a} \)
Resuelve la ecuación para "x": \( \frac{x}{m} - n = p \) (considerar \( m \neq 0 \))
Respuesta:
\( \frac{x}{m} - n = p \)
\( \frac{x}{m} = p + n \)
\( x = m(p + n) \)
Resuelve la ecuación para "y": \( 2ay + 3b = 5c \) (considerar \( a \neq 0 \))
Respuesta:
\( 2ay + 3b = 5c \)
\( 2ay = 5c - 3b \)
\( y = \frac{5c - 3b}{2a} \)
Resuelve la ecuación para "z": \( \frac{pz}{q} - r = s \) (considerar \( p, q \neq 0 \))
Respuesta:
\( \frac{pz}{q} - r = s \)
\( \frac{pz}{q} = s + r \)
\( pz = q(s + r) \)
\( z = \frac{q(s + r)}{p} \)
\( z = \frac{qs + qr}{p} \)
Resuelve la ecuación para "x": \( \frac{ax}{b} + c = d \) (considerar \( a, b \neq 0 \))
Respuesta:
\( \frac{ax}{b} + c = d \)
\( \frac{ax}{b} = d - c \)
\( ax = b(d - c) \)
\( x = \frac{b(d - c)}{a} \)
\( x = \frac{bd - bc}{a} \)
Resuelve la ecuación para "m": \( \frac{2m}{3} + n = 5n \)
Respuesta:
\( \frac{2m}{3} + n = 5n \)
\( \frac{2m}{3} = 5n - n \)
\( \frac{2m}{3} = 4n \)
\( 2m = 12n \)
\( m = \frac{12n}{2} \)
\( m = 6n \)
Resuelve la ecuación para "p": \( 4p - 2q = 6r \)
Respuesta:
\( 4p - 2q = 6r \)
\( 4p = 6r + 2q \)
\( p = \frac{6r + 2q}{4} \)
\( p = \frac{3r + q}{2} \)
Resuelve la ecuación para "x": \( ax - 5b = 3c \) (considerar \( a \neq 0 \))
Respuesta:
\( ax - 5b = 3c \)
\( ax = 3c + 5b \)
\( x = \frac{3c + 5b}{a} \)
Resuelve la ecuación para "y": \( \frac{y}{2} + a = 3a \)
Respuesta:
\( \frac{y}{2} + a = 3a \)
\( \frac{y}{2} = 3a - a \)
\( \frac{y}{2} = 2a \)
\( y = 4a \)
Resuelve la ecuación para "z": \( \frac{4z - a}{5} = 3b \)