libro de medición geométrica: longitud, superficie, volumen y capacidad
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Objetivo
- Comprender las unidades lineales como unidades para medir una dimensión, y aplicar conversiones entre milímetros, centímetros, metros y kilómetros usando la escalera de conversión con sentido geométrico.
Unidades lineales
Una unidad lineal sirve para medir una sola dimensión.
Por ejemplo, cuando medimos:
- el largo de una mesa,
- la altura de una puerta,
- el ancho de una sala,
- el radio de una circunferencia,
- la distancia entre dos puntos,
- el borde de una figura.
En todos esos casos estamos respondiendo:
¿Cuántas unidades lineales caben en esta longitud?
Unidades lineales más usadas
Algunas unidades lineales frecuentes son:
\[ km,\quad hm,\quad dam,\quad m,\quad dm,\quad cm,\quad mm \]
Sus relaciones principales son:
\[ 1cm = 10mm \]
\[ 1dm = 10cm \]
\[ 1m = 10dm = 100cm = 1000mm \]
\[ 1km = 1000m \]
Estas equivalencias permiten expresar una misma longitud usando unidades distintas.
Una misma longitud, distintas unidades
Convertir unidades lineales
Convertir una longitud significa expresar la misma medida usando otra unidad.
La longitud no cambia. Lo que cambia es la unidad usada para describirla.
Por ejemplo:
\[ 2m = 200cm \]
La longitud es la misma, pero está expresada con una unidad más pequeña. Por eso el número aumenta.
La escalera de unidades lineales
Una forma práctica de convertir unidades lineales es usar una escalera. En esta representación, las unidades más grandes están arriba y las unidades más pequeñas están abajo.
En esta escalera, cada escalón representa un factor \(10\).
Si se baja un escalón hacia una unidad más pequeña, se multiplica por \(10\).
Si se bajan dos escalones, se multiplica por \(100\).
Si se bajan tres escalones, se multiplica por \(1000\).
En cambio, si se sube hacia una unidad más grande, se divide por \(10\) en cada escalón.
Técnica de conversión lineal
En las unidades lineales trabajamos en una dimensión. Por eso usamos el factor de conversión una sola vez.
\[ \text{longitud} \rightarrow \text{factor}^1 \]
| Movimiento en la escalera | Factor | Operación |
|---|---|---|
| 1 escalón hacia una unidad más pequeña | \(10\) | Multiplicar por \(10\) |
| 2 escalones hacia una unidad más pequeña | \(100\) | Multiplicar por \(100\) |
| 3 escalones hacia una unidad más pequeña | \(1000\) | Multiplicar por \(1000\) |
| 1 escalón hacia una unidad más grande | \(10\) | Dividir por \(10\) |
| 2 escalones hacia una unidad más grande | \(100\) | Dividir por \(100\) |
| 3 escalones hacia una unidad más grande | \(1000\) | Dividir por \(1000\) |
Por ejemplo, de metros a centímetros se bajan dos escalones hacia unidades más pequeñas:
\[ m \rightarrow dm \rightarrow cm \]
Por eso se multiplica por \(100\):
\[ 3m = 3\cdot 100cm = 300cm \]
De centímetros a metros se suben dos escalones hacia una unidad más grande:
\[ cm \rightarrow dm \rightarrow m \]
Por eso se divide por \(100\):
\[ 450cm = 450\div 100 = 4{,}5m \]
Ejemplos
Ejemplo 1: Convertir \(7m\) a centímetros.
En la escalera:
\[ m \rightarrow dm \rightarrow cm \]
Son dos escalones hacia una unidad más pequeña, entonces multiplicamos por \(100\):
\[ 7m = 7 \cdot 100cm = 700cm \]
Ejemplo 2: Convertir \(320cm\) a metros.
En la escalera:
\[ cm \rightarrow dm \rightarrow m \]
Son dos escalones hacia una unidad más grande, entonces dividimos por \(100\):
\[ 320cm = 320 \div 100 = 3{,}2m \]
Ejemplo 3: Convertir \(2{,}5km\) a metros.
En la escalera:
\[ km \rightarrow hm \rightarrow dam \rightarrow m \]
Son tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces multiplicamos por \(1000\):
\[ 2{,}5km = 2{,}5 \cdot 1000m = 2500m \]
Ejemplo 4: Convertir \(48mm\) a centímetros.
En la escalera:
\[ mm \rightarrow cm \]
Es un escalón hacia una unidad más grande, entonces dividimos por \(10\):
\[ 48mm = 48 \div 10 = 4{,}8cm \]
Una idea importante
Cuando convertimos unidades lineales, siempre seguimos midiendo una sola dimensión.
Por eso:
\[ 1m = 100cm \]
Pero esta regla no se puede copiar directamente para áreas o volúmenes.
Más adelante veremos que:
\[ 1m^2 \neq 100cm^2 \]
y que:
\[ 1m^3 \neq 100cm^3 \]
La razón es que el área mide dos dimensiones y el volumen mide tres dimensiones.
Actividad
Convierte las siguientes medidas lineales. Puedes ayudarte con la escalera de unidades.
- \(5m = \_\_\_\_ cm\)
- \(12cm = \_\_\_\_ mm\)
- \(3{,}4m = \_\_\_\_ cm\)
- \(750cm = \_\_\_\_ m\)
- \(6km = \_\_\_\_ m\)
- \(2800m = \_\_\_\_ km\)
- \(95mm = \_\_\_\_ cm\)
- \(1{,}25km = \_\_\_\_ m\)
- \(4{,}6dm = \_\_\_\_ mm\)
- \(37dam = \_\_\_\_ m\)
Luego responde:
¿Por qué al pasar de metros a centímetros el número aumenta?
¿Por qué al pasar de centímetros a metros el número disminuye?
- De \(m\) a \(cm\) se bajan dos escalones hacia una unidad más pequeña: \(m \rightarrow dm \rightarrow cm\). Entonces se multiplica por \(100\): \[ 5m = 5 \cdot 100cm = 500cm \]
- De \(cm\) a \(mm\) se baja un escalón hacia una unidad más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\): \[ 12cm = 12 \cdot 10mm = 120mm \]
- De \(m\) a \(cm\) se bajan dos escalones hacia una unidad más pequeña. Entonces se multiplica por \(100\): \[ 3{,}4m = 3{,}4 \cdot 100cm = 340cm \]
- De \(cm\) a \(m\) se suben dos escalones hacia una unidad más grande. Entonces se divide por \(100\): \[ 750cm = 750 \div 100 = 7{,}5m \]
- De \(km\) a \(m\) se bajan tres escalones hacia una unidad más pequeña: \(km \rightarrow hm \rightarrow dam \rightarrow m\). Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 6km = 6 \cdot 1000m = 6000m \]
- De \(m\) a \(km\) se suben tres escalones hacia una unidad más grande: \(m \rightarrow dam \rightarrow hm \rightarrow km\). Entonces se divide por \(1000\): \[ 2800m = 2800 \div 1000 = 2{,}8km \]
- De \(mm\) a \(cm\) se sube un escalón hacia una unidad más grande. Entonces se divide por \(10\): \[ 95mm = 95 \div 10 = 9{,}5cm \]
- De \(km\) a \(m\) se bajan tres escalones hacia una unidad más pequeña. Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 1{,}25km = 1{,}25 \cdot 1000m = 1250m \]
- De \(dm\) a \(mm\) se bajan dos escalones hacia una unidad más pequeña: \(dm \rightarrow cm \rightarrow mm\). Entonces se multiplica por \(100\): \[ 4{,}6dm = 4{,}6 \cdot 100mm = 460mm \]
- De \(dam\) a \(m\) se baja un escalón hacia una unidad más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\): \[ 37dam = 37 \cdot 10m = 370m \]
Al pasar de metros a centímetros, el número aumenta porque el centímetro es una unidad más pequeña. Para cubrir la misma longitud se necesitan más centímetros que metros.
Al pasar de centímetros a metros, el número disminuye porque el metro es una unidad más grande. Para cubrir la misma longitud se necesitan menos metros que centímetros.
Idea clave
Una unidad lineal mide una sola dimensión.
\[ \text{longitud} \rightarrow km,\ hm,\ dam,\ m,\ dm,\ cm,\ mm \]
Convertir unidades lineales consiste en cambiar la unidad sin cambiar la longitud.
En la escalera, cada escalón representa un factor \(10\).
Si se baja hacia una unidad más pequeña, se necesitan más unidades y el número aumenta.
Si se sube hacia una unidad más grande, se necesitan menos unidades y el número disminuye.