Ecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
En las ecuaciones que hemos visto hasta ahora, la incógnita solo aparecía en un lado de la igualdad. Ahora, vamos a aprender a resolver ecuaciones donde la incógnita aparece en ambos lados.
Agrupando Términos
El primer paso para resolver estas ecuaciones es agrupar todos los términos que contienen la incógnita en un lado de la igualdad, y los términos constantes (números sin la incógnita) en el otro lado. Para ello, utilizamos el método de "pasar" términos al otro lado, realizando la operación inversa, como aprendimos en la página anterior.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Ecuación con Enteros
Resuelve la ecuación: \( 5x - 6 = 2x + 9 \)
1. "Pasamos" el \( 2x \) al lado izquierdo restando:
\( 5x - 2x - 6 = 9 \)
\( 3x - 6 = 9 \)
2. "Pasamos" el -6 al lado derecho sumando:
\( 3x = 9 + 6 \)
\( 3x = 15 \)
3. "Pasamos" el 3 dividiendo:
\( x = \frac{15}{3} \)
\( x = 5 \)
Solución: \( x = 5 \)
Ejemplo 2: Ecuación con Racionales
Resuelve la ecuación: \( \frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{4}x + 3 \)
1. "Pasamos" el \( \frac{1}{4}x \) al lado izquierdo restando:
\( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x + 1 = 3 \)
\( \frac{2}{4}x - \frac{1}{4}x + 1 = 3 \)
\( \frac{1}{4}x + 1 = 3 \)
2. "Pasamos" el 1 al lado derecho restando:
\( \frac{1}{4}x = 3 - 1 \)
\( \frac{1}{4}x = 2 \)
3. "Pasamos" el \( \frac{1}{4} \) multiplicando por su inverso 4:
\( x = 2 \cdot 4 \)
\( x = 8 \)
Solución: \( x = 8 \)
Ejemplo 3: Ecuación con Literales
Resuelve la ecuación para "x": \( ax + b = cx + d \) (considerar \( a \neq c \) )
1. "Pasamos" el \( cx \) al lado izquierdo restando:
\( ax - cx + b = d \)
2. "Pasamos" el \( b \) al lado derecho restando:
\( ax - cx = d - b \)
3. Factorizamos "x" en el lado izquierdo:
\( x(a - c) = d - b \)
4. "Pasamos" el \( (a - c) \) dividiendo (es distinto de cero porque \( a \neq c \) ):
\( x = \frac{d - b}{a - c} \)
Solución: \( x = \frac{d - b}{a - c} \)
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
Resuelve la ecuación: \( 7x - 5 = 3x + 11 \)
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Respuesta:
\( 7x - 5 = 3x + 11 \)
\( 7x - 3x = 11 + 5 \)
\( 4x = 16 \)
\( x = \frac{16}{4} \)
\( x = 4 \)
Resuelve la ecuación: \( 2x + 9 = 5x - 6 \)
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Respuesta:
\( 2x + 9 = 5x - 6 \)
\( 2x - 5x = -6 - 9 \)
\( -3x = -15 \)
\( x = \frac{-15}{-3} \)
\( x = 5 \)
Resuelve la ecuación: \( 9x - 4 = 2x + 10 \)
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Respuesta:
\( 9x - 4 = 2x + 10 \)
\( 9x - 2x = 10 + 4 \)
\( 7x = 14 \)
\( x = \frac{14}{7} \)
\( x = 2 \)
Resuelve la ecuación: \( -4x + 7 = -x - 2 \)
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Respuesta:
\( -4x + 7 = -x - 2 \)
\( -4x + x = -2 - 7 \)
\( -3x = -9 \)
\( x = \frac{-9}{-3} \)
\( x = 3 \)
Resuelve la ecuación: \( 6x + 1 = 15 - x \)
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Respuesta:
\( 6x + 1 = 15 - x \)
\( 6x + x = 15 - 1 \)
\( 7x = 14 \)
\( x = \frac{14}{7} \)
\( x = 2 \)
Resuelve la ecuación: \( 3x - 8 = -2x + 7 \)
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Respuesta:
\( 3x - 8 = -2x + 7 \)
\( 3x + 2x = 7 + 8 \)
\( 5x = 15 \)
\( x = \frac{15}{5} \)
\( x = 3 \)
Resuelve la ecuación: \( -x + 5 = 8x - 13 \)
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Respuesta:
\( -x + 5 = 8x - 13 \)
\( -x - 8x = -13 - 5 \)
\( -9x = -18 \)
\( x = \frac{-18}{-9} \)
\( x = 2 \)
Resuelve la ecuación: \( 10x + 3 = 4x + 21 \)
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Respuesta:
\( 10x + 3 = 4x + 21 \)
\( 10x - 4x = 21 - 3 \)
\( 6x = 18 \)
\( x = \frac{18}{6} \)
\( x = 3 \)
Resuelve la ecuación: \( -6x - 4 = -2x - 12 \)
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Respuesta:
\( -6x - 4 = -2x - 12 \)
\( -6x + 2x = -12 + 4 \)
\( -4x = -8 \)
\( x = \frac{-8}{-4} \)
\( x = 2 \)
Resuelve la ecuación: \( 5x - 14 = -3x + 2 \)
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Respuesta:
\( 5x - 14 = -3x + 2 \)
\( 5x + 3x = 2 + 14 \)
\( 8x = 16 \)
\( x = \frac{16}{8} \)
\( x = 2 \)
Ecuaciones con Racionales
Resuelve la ecuación: \( \frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{4}x + 5 \)
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Respuesta:
\( \frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{4}x + 5 \)
\( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 5 - 3 \)
\( \frac{2}{4}x - \frac{1}{4}x = 2 \)
\( \frac{1}{4}x = 2 \)
\( x = 2 \cdot 4 \)
\( x = 8 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{2}{3}x - 1 = \frac{1}{6}x + 2 \)
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Respuesta:
\( \frac{2}{3}x - 1 = \frac{1}{6}x + 2 \)
\( \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}x = 2 + 1 \)
\( \frac{4}{6}x - \frac{1}{6}x = 3 \)
\( \frac{3}{6}x = 3 \)
\( \frac{1}{2}x = 3 \)
\( x = 3 \cdot 2 \)
\( x = 6 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{3}{5}x + 2 = \frac{1}{10}x + 3 \)
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Respuesta:
\( \frac{3}{5}x + 2 = \frac{1}{10}x + 3 \)
\( \frac{3}{5}x - \frac{1}{10}x = 3 - 2 \)
\( \frac{6}{10}x - \frac{1}{10}x = 1 \)
\( \frac{5}{10}x = 1 \)
\( \frac{1}{2}x = 1 \)
\( x = 1 \cdot 2 \)
\( x = 2 \)
Resuelve la ecuación: \( 0.8x - 1.5 = 0.2x + 0.3 \)
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Respuesta:
\( 0.8x - 1.5 = 0.2x + 0.3 \)
\( 0.8x - 0.2x = 0.3 + 1.5 \)
\( 0.6x = 1.8 \)
\( x = \frac{1.8}{0.6} \)
\( x = 3 \)
Resuelve la ecuación: \( 1.2x + 0.4 = 0.5x + 2.5 \)
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Respuesta:
\( 1.2x + 0.4 = 0.5x + 2.5 \)
\( 1.2x="" -="" 0.5x="2.5" 0.4="" \)<="" p="">
\( 0.7x = 2.1 \)
\( x = \frac{2.1}{0.7} \)
\( x = 3 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{5}{8}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{8} \)
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Respuesta:
\( \frac{5}{8}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{8} \)
\( \frac{5}{8}x - \frac{1}{4}x = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{8}x - \frac{2}{8}x = \frac{1}{8} + \frac{4}{8} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \)
\( x = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{3} \)
\( x = \frac{5}{3} \)
Resuelve la ecuación: \( 2.4x + 1.6 = 1.2x + 4 \)
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Respuesta:
\( 2.4x + 1.6 = 1.2x + 4 \)
\( 2.4x - 1.2x = 4 - 1.6 \)
\( 1.2x = 2.4 \)
\( x = \frac{2.4}{1.2} \)
\( x = 2 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{4}{9}x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} \)
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Respuesta:
\( \frac{4}{9}x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} \)
\( \frac{4}{9}x - \frac{1}{3}x = -\frac{1}{9} + \frac{2}{3} \)
\( \frac{4}{9}x - \frac{3}{9}x = -\frac{1}{9} + \frac{6}{9} \)
\( \frac{1}{9}x = \frac{5}{9} \)
\( x = \frac{5}{9} \cdot 9 \)
\( x = 5 \)
Resuelve la ecuación: \( 0.5x - 2.5 = 0.1x - 0.5 \)
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Respuesta:
\( 0.5x - 2.5 = 0.1x - 0.5 \)
\( 0.5x - 0.1x = -0.5 + 2.5 \)
\( 0.4x = 2 \)
\( x = \frac{2}{0.4} \)
\( x = 5 \)
Resuelve la ecuación: \( \frac{7}{10}x + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}x + \frac{1}{2} \)
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Respuesta:
\( \frac{7}{10}x + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}x + \frac{1}{2} \)
\( \frac{7}{10}x - \frac{3}{5}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \)
\( \frac{7}{10}x - \frac{6}{10}x = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \)
\( \frac{1}{10}x = \frac{3}{10} \)
\( x = \frac{3}{10} \cdot 10 \)
\( x = 3 \)
Ecuaciones con Literales
Resuelve la ecuación para "x": \( ax + b = cx + d \) (considerar \( a \neq c \) )
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Respuesta:
\( ax + b = cx + d \)
\( ax - cx = d - b \)
\( x(a - c) = d - b \)
\( x = \frac{d - b}{a - c} \)
Resuelve la ecuación para "x": \( mx - n = px + q \) (considerar \( m \neq p \) )
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Respuesta:
\( mx - n = px + q \)
\( mx - px = q + n \)
\( x(m - p) = q + n \)
\( x = \frac{q + n}{m - p} \)
Resuelve la ecuación para "y": \( ay + b = cy - d \) (considerar \( a \neq c \) )
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Respuesta:
\( ay + b = cy - d \)
\( ay - cy = -d - b \)
\( y(a - c) = -d - b \)
\( y = \frac{-d - b}{a - c} \)
Resuelve la ecuación para "z": \( \frac{z}{m} + n = \frac{z}{p} + q \) (considerar \( m, p \neq 0 \) ; (considerar \( m \neq p \) )
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Respuesta:
\( \frac{z}{m} + n = \frac{z}{p} + q \)
\( \frac{z}{m} - \frac{z}{p} = q - n \)
\( \frac{pz - mz}{mp} = q - n \)
\( z(p - m) = mp(q - n) \)
\( z = \frac{mp(q - n)}{p - m} \)
Resuelve la ecuación para "x": \( a(x + b) = c(x + d) \) (considerar \( a \neq c \) )
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Respuesta:
\( ax + ab = cx + cd \)
\( ax - cx = cd - ab \)
\( x(a - c) = cd - ab \)
\( x = \frac{cd - ab}{a - c} \)
Resuelve la ecuación para "y": \( \frac{y - a}{m} = \frac{y + b}{n} \) (considerar \( m, n \neq 0 \) ; (considerar \( m \neq n \) )
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Respuesta:
\( n(y - a) = m(y + b) \)
\( ny - na = my + mb \)
\( ny - my = mb + na \)
\( y(n - m) = mb + na \)
\( y = \frac{mb + na}{n - m} \)
Resuelve la ecuación para "x": \( a - x = b - cx \) (considerar \( c \neq 1 \) )
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Respuesta:
\( a - x = b - cx \)
\( -x + cx = b - a \)
\( x(c - 1) = b - a \)
\( x = \frac{b - a}{c - 1} \)
Resuelve la ecuación para "m": \( \frac{2m - 3}{5} = \frac{m + 1}{2} \)
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Respuesta:
\( 2(2m - 3) = 5(m + 1) \)
\( 4m - 6 = 5m + 5 \)
\( 4m - 5m = 5 + 6 \)
\( -m = 11 \)
\( m = -11 \)
Resuelve la ecuación para "x": \( \frac{ax - b}{c} = d \) (considerar \( c \neq 0 \) )
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Respuesta:
\( \frac{ax - b}{c} = d \)
\( ax - b = cd \)
\( ax = cd + b \)
\( x = \frac{cd + b}{a} \)
Resuelve la ecuación para "y": \( p(y - q) = r(s - y) \) (considerar \( p \neq -r \) )
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Respuesta:
\( py - pq = rs - ry \)
\( py + ry = rs + pq \)
\( y(p + r) = rs + pq \)
\( y = \frac{rs + pq}{p + r} \)