Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
La Propiedad Distributiva
La propiedad distributiva nos permite multiplicar un factor por una suma o resta de términos. Se expresa de la siguiente manera:
\( a(b + c) = ab + ac \)
\( a(b - c) = ab - ac \)
Es decir, el factor "a" se multiplica por cada uno de los términos dentro del paréntesis.
Resolviendo Ecuaciones con Paréntesis
Cuando tenemos ecuaciones con paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva para eliminarlos antes de agrupar términos y despejar la incógnita.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Aplicando la Propiedad Distributiva
Resuelve la ecuación: \( 2(x + 3) = 10 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva en el lado izquierdo:
\( 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 10 \)
\( 2x + 6 = 10 \)
2. Resolvemos como una ecuación de dos pasos (página anterior):
\( 2x = 10 - 6 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = \frac{4}{2} \)
\( x = 2 \)
Solución: \( x = 2 \)
Ejemplo 2: Ecuación con Paréntesis Simples
Resuelve la ecuación: \( 3(x - 2) + 5 = 4x - 7 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva:
\( 3x - 6 + 5 = 4x - 7 \)
\( 3x - 1 = 4x - 7 \)
2. Agrupamos términos con "x" en un lado y constantes en el otro:
\( 3x - 4x = -7 + 1 \)
\( -x = -6 \)
3. Multiplicamos ambos lados por -1 para que "x" quede positiva:
\( x = 6 \)
Solución: \( x = 6 \)
Ejemplo 3: Ecuación con Paréntesis Anidados
Resuelve la ecuación: \( 2[3(x - 1) + 2] = 16 \)
1. Resolvemos el paréntesis interno (propiedad distributiva):
\( 2[3x - 3 + 2] = 16 \)
\( 2[3x - 1] = 16 \)
2. Aplicamos la propiedad distributiva nuevamente:
\( 6x - 2 = 16 \)
3. Resolvemos como una ecuación de dos pasos:
\( 6x = 16 + 2 \)
\( 6x = 18 \)
\( x = \frac{18}{6} \)
\( x = 3 \)
Solución: \( x = 3 \)
Ejercicios
Aplicando la Propiedad Distributiva (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 5(x + 2) = 25 \)
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Respuesta:
\( 5(x + 2) = 25 \)
\( 5x + 10 = 25 \)
\( 5x = 25 - 10 \)
\( 5x = 15 \)
\( x = \frac{15}{5} \)
\( x = 3 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 3(x - 4) = 9 \)
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Respuesta:
\( 3(x - 4) = 9 \)
\( 3x - 12 = 9 \)
\( 3x = 9 + 12 \)
\( 3x = 21 \)
\( x = \frac{21}{3} \)
\( x = 7 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( -2(x + 1) = 8 \)
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Respuesta:
\( -2(x + 1) = 8 \)
\( -2x - 2 = 8 \)
\( -2x = 8 + 2 \)
\( -2x = 10 \)
\( x = \frac{10}{-2} \)
\( x = -5 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 4(2x - 3) = 20 \)
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Respuesta:
\( 4(2x - 3) = 20 \)
\( 8x - 12 = 20 \)
\( 8x = 20 + 12 \)
\( 8x = 32 \)
\( x = \frac{32}{8} \)
\( x = 4 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( -3(3x + 1) = -18 \)
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Respuesta:
\( -3(3x + 1) = -18 \)
\( -9x - 3 = -18 \)
\( -9x = -18 + 3 \)
\( -9x = -15 \)
\( x = \frac{-15}{-9} \)
\( x = \frac{5}{3} \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( 2(x - \frac{1}{2}) = 5 \)
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Respuesta:
\( 2(x - \frac{1}{2}) = 5 \)
\( 2x - 1 = 5 \)
\( 2x = 5 + 1 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = \frac{6}{2} \)
\( x = 3 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( \frac{1}{2}(4x + 6) = 7 \)
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Respuesta:
\( \frac{1}{2}(4x + 6) = 7 \)
\( 2x + 3 = 7 \)
\( 2x = 7 - 3 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = \frac{4}{2} \)
\( x = 2 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( -3(\frac{1}{3}x + 2) = -5 \)
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Respuesta:
\( -3(\frac{1}{3}x + 2) = -5 \)
\( -x - 6 = -5 \)
\( -x = -5 + 6 \)
\( -x = 1 \)
\( x = -1 \)
(Literales) Resuelve la ecuación: \( a(x + b) = c \) (considerar \( a \neq 0 \) )
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Respuesta:
\( a(x + b) = c \)
\( ax + ab = c \)
\( ax = c - ab \)
\( x = \frac{c - ab}{a} \)
(Literales) Resuelve la ecuación: \( m(nx - p) = q \) (considerar \( m, n \neq 0 \) )
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Respuesta:
\( m(nx - p) = q \)
\( mnx - mp = q \)
\( mnx = q + mp \)
\( x = \frac{q + mp}{mn} \)
Resolviendo Ecuaciones con Paréntesis Simples (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 4(x - 2) + 7 = 3x + 1 \)
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Respuesta:
\( 4(x - 2) + 7 = 3x + 1 \)
\( 4x - 8 + 7 = 3x + 1 \)
\( 4x - 1 = 3x + 1 \)
\( 4x - 3x = 1 + 1 \)
\( x = 2 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 2(x + 1) + 3 = 4(x - 1) + 9 \)
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Respuesta:
\( 2(x + 1) + 3 = 4(x - 1) + 9 \)
\( 2x + 2 + 3 = 4x - 4 + 9 \)
\( 2x + 5 = 4x + 5 \)
\( 2x - 4x = 5 - 5 \)
\( -2x = 0 \)
\( x = 0 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 5(x - 2) + 3x = 2(x + 1) + 10 \)
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Respuesta:
\( 5(x - 2) + 3x = 2(x + 1) + 10 \)
\( 5x - 10 + 3x = 2x + 2 + 10 \)
\( 8x - 10 = 2x + 12 \)
\( 8x - 2x = 12 + 10 \)
\( 6x = 22 \)
\( x = \frac{22}{6} \)
\( x = \frac{11}{3} \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 7(x - 1) - 4 = -2(x + 3) + 8 \)
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Respuesta:
\( 7(x - 1) - 4 = -2(x + 3) + 8 \)
\( 7x - 7 - 4 = -2x - 6 + 8 \)
\( 7x - 11 = -2x + 2 \)
\( 7x + 2x = 2 + 11 \)
\( 9x = 13 \)
\( x = \frac{13}{9} \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( -2(3x + 2) - 5 = 3(x - 4) + 10 \)
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Respuesta:
\( -2(3x + 2) - 5 = 3(x - 4) + 10 \)
\( -6x - 4 - 5 = 3x - 12 + 10 \)
\( -6x - 9 = 3x - 2 \)
\( -6x - 3x = -2 + 9 \)
\( -9x = 7 \)
\( x = \frac{7}{-9} \)
\( x = -\frac{7}{9} \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( \frac{1}{2}(4x - 2) = 3(x + \frac{1}{3}) \)
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Respuesta:
\( \frac{1}{2}(4x - 2) = 3(x + \frac{1}{3}) \)
\( 2x - 1 = 3x + 1 \)
\( 2x - 3x = 1 + 1 \)
\( -x = 2 \)
\( x = -2 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( 2(\frac{1}{4}x + 1) = 3(\frac{1}{2}x - 1) \)
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Respuesta:
\( 2(\frac{1}{4}x + 1) = 3(\frac{1}{2}x - 1) \)
\( \frac{1}{2}x + 2 = \frac{3}{2}x - 3 \)
\( \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}x = -3 - 2 \)
\( -\frac{2}{2}x = -5 \)
\( -x = -5 \)
\( x = 5 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( \frac{2}{3}(3x - 6) + 1 = \frac{1}{2}(2x + 4) - 3 \)
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Respuesta:
\( \frac{2}{3}(3x - 6) + 1 = \frac{1}{2}(2x + 4) - 3 \)
\( 2x - 4 + 1 = x + 2 - 3 \)
\( 2x - 3 = x - 1 \)
\( 2x - x = -1 + 3 \)
\( x = 2 \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "x": \( a(x - b) + c = d(x + 1) \) (considerar \( a \neq d \) )
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Respuesta:
\( a(x - b) + c = d(x + 1) \)
\( ax - ab + c = dx + d \)
\( ax - dx = d + ab - c \)
\( x(a - d) = d + ab - c \)
\( x = \frac{d + ab - c}{a - d} \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "y": \( m(2y + n) - p = 2(y + q) \) (considerar \( 2m \neq 2 \) )
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Respuesta:
\( m(2y + n) - p = 2(y + q) \)
\( 2my + mn - p = 2y + 2q \)
\( 2my - 2y = 2q - mn + p \)
\( y(2m - 2) = 2q - mn + p \)
\( y = \frac{2q - mn + p}{2m - 2} \)
Resolviendo Ecuaciones con Paréntesis Anidados (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 2[3(x + 1) - 4] = 10 \)
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Respuesta:
\( 2[3(x + 1) - 4] = 10 \)
\( 2[3x + 3 - 4] = 10 \)
\( 2[3x - 1] = 10 \)
\( 6x - 2 = 10 \)
\( 6x = 10 + 2 \)
\( 6x = 12 \)
\( x = \frac{12}{6} \)
\( x = 2 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 3[2(x - 2) + 5] = 9x \)
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Respuesta:
\( 3[2(x - 2) + 5] = 9x \)
\( 3[2x - 4 + 5] = 9x \)
\( 3[2x + 1] = 9x \)
\( 6x + 3 = 9x \)
\( 6x - 9x = -3 \)
\( -3x = -3 \)
\( x = \frac{-3}{-3} \)
\( x = 1 \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( -[4(x + 2) - 3] = 5 \)
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Respuesta:
\( -[4(x + 2) - 3] = 5 \)
\( -[4x + 8 - 3] = 5 \)
\( -[4x + 5] = 5 \)
\( -4x - 5 = 5 \)
\( -4x = 5 + 5 \)
\( -4x = 10 \)
\( x = \frac{10}{-4} \)
\( x = -\frac{5}{2} \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 4[2(x - 1) + 3x] = 28 \)
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Respuesta:
\( 4[2(x - 1) + 3x] = 28 \)
\( 4[2x - 2 + 3x] = 28 \)
\( 4[5x - 2] = 28 \)
\( 20x - 8 = 28 \)
\( 20x = 28 + 8 \)
\( 20x = 36 \)
\( x = \frac{36}{20} \)
\( x = \frac{9}{5} \)
(Enteros) Resuelve la ecuación: \( 2[5(2x + 3) - 4] = 12x + 22 \)
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Respuesta:
\( 2[5(2x + 3) - 4] = 12x + 22 \)
\( 2[10x + 15 - 4] = 12x + 22 \)
\( 2[10x + 11] = 12x + 22 \)
\( 20x + 22 = 12x + 22 \)
\( 20x - 12x = 22 - 22 \)
\( 8x = 0 \)
\( x = \frac{0}{8} \)
\( x = 0 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( 2[\frac{1}{2}(x - 4) + 3] = 4 \)
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Respuesta:
\( 2[\frac{1}{2}(x - 4) + 3] = 4 \)
\( 2[\frac{1}{2}x - 2 + 3] = 4 \)
\( 2[\frac{1}{2}x + 1] = 4 \)
\( x + 2 = 4 \)
\( x = 4 - 2 \)
\( x = 2 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( 3[\frac{2}{3}(x + 1) - \frac{1}{3}] = 5 \)
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Respuesta:
\( 3[\frac{2}{3}(x + 1) - \frac{1}{3}] = 5 \)
\( 3[\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}] = 5 \)
\( 3[\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}] = 5 \)
\( 2x + 1 = 5 \)
\( 2x = 5 - 1 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = \frac{4}{2} \)
\( x = 2 \)
(Racionales) Resuelve la ecuación: \( -[\frac{1}{4}(4x - 8) + 2] = -3 \)
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Respuesta:
\( -[\frac{1}{4}(4x - 8) + 2] = -3 \)
\( -[x - 2 + 2] = -3 \)
\( -[x] = -3 \)
\( -x = -3 \)
\( x = 3 \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "x": \( 2[a(x + b) - c] = d \) (considerar \( a \neq 0 \) )
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Respuesta:
\( 2[a(x + b) - c] = d \)
\( 2[ax + ab - c] = d \)
\( 2ax + 2ab - 2c = d \)
\( 2ax = d - 2ab + 2c \)
\( x = \frac{d - 2ab + 2c}{2a} \)
(Literales) Resuelve la ecuación para "x": \( m[n(x - p) + q] = r \) (considerar \( m, n \neq 0 \) )
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Respuesta:
\( m[n(x - p) + q] = r \)
\( m[nx - np + q] = r \)
\( mnx - mnp + mq = r \)
\( mnx = r + mnp - mq \)
\( x = \frac{r + mnp - mq}{mn} \)