Libro de los volumenes
3. Volumen del cubo y del ortoedro
Objetivo
- Calcular el volumen de cubos y ortoedros, comprendiendo que multiplicar largo, ancho y alto permite contar cuántas unidades cúbicas llenan el cuerpo.
El caso más directo: cajas formadas por capas
Comenzaremos con cuerpos que se pueden imaginar como cajas rectangulares llenas de cubos unitarios.
Estos cuerpos son importantes porque permiten entender la idea básica del volumen:
contar cubos por largo, por ancho y por alto.
Si sabemos cuántos cubos caben a lo largo, cuántos caben a lo ancho y cuántas capas hay de alto, podemos calcular el volumen multiplicando esas tres cantidades.
Volumen del ortoedro
Un ortoedro es una caja rectangular. Sus dimensiones pueden ser distintas.
Para calcular su volumen usamos:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
También se puede escribir como:
\[ V = l \cdot a \cdot h \]
Esta fórmula cuenta cuántos cubos unitarios llenan el cuerpo.
Volumen como conteo de capas
Ejemplo 1: volumen de un ortoedro
Un ortoedro mide \(8cm\) de largo, \(5cm\) de ancho y \(3cm\) de alto.
Usamos:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 8 \cdot 5 \cdot 3 \]
\[ V = 120 \]
Entonces:
\[ V = 120cm^3 \]
Esto significa que en el ortoedro caben 120 cubos de \(1cm^3\).
Volumen del cubo
Un cubo es un caso especial de ortoedro.
En un cubo, todas sus aristas tienen la misma medida.
Si la arista mide \(a\), entonces:
\[ V = a \cdot a \cdot a \]
Por eso escribimos:
\[ V = a^3 \]
El exponente \(3\) aparece porque el volumen considera tres dimensiones.
Ejemplo 2: volumen de un cubo
Un cubo tiene arista de \(6cm\).
Usamos:
\[ V = a^3 \]
Reemplazamos:
\[ V = 6^3 \]
\[ V = 6 \cdot 6 \cdot 6 \]
\[ V = 216 \]
Entonces:
\[ V = 216cm^3 \]
El cubo puede llenarse con 216 cubos de \(1cm^3\).
Atención con las unidades
Para calcular volumen, las medidas deben estar en la misma unidad.
Por ejemplo, si un ortoedro tiene:
\[ 2m,\quad 50cm,\quad 30cm \]
No conviene multiplicar directamente \(2 \cdot 50 \cdot 30\), porque las unidades están mezcladas.
Primero debemos convertir.
Por ejemplo:
\[ 2m = 200cm \]
Luego:
\[ V = 200cm \cdot 50cm \cdot 30cm \]
\[ V = 300\,000cm^3 \]
Error común
Un error frecuente es escribir el resultado del volumen en unidades cuadradas.
Por ejemplo:
\[ V = 120cm^2 \]
Eso es incorrecto, porque \(cm^2\) mide superficie.
El volumen debe expresarse en unidades cúbicas:
\[ V = 120cm^3 \]
Actividad
Calcula el volumen de cada cuerpo.
Actividad 1
Un ortoedro mide \(7cm\) de largo, \(4cm\) de ancho y \(3cm\) de alto. Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen del ortoedro:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 7 \cdot 4 \cdot 3 \]
Primero:
\[ 7 \cdot 4 = 28 \]
Luego:
\[ 28 \cdot 3 = 84 \]
Por lo tanto:
\[ V = 84cm^3 \]
El ortoedro puede llenarse con 84 cubos de \(1cm^3\).
Actividad 2
Un cubo tiene arista de \(5cm\). Calcula su volumen.
Como es un cubo, todas sus aristas tienen la misma medida.
Usamos:
\[ V = a^3 \]
Reemplazamos \(a = 5cm\):
\[ V = 5^3 \]
\[ V = 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ V = 125 \]
Entonces:
\[ V = 125cm^3 \]
El cubo puede llenarse con 125 cubos de \(1cm^3\).
Actividad 3
Una caja mide \(12cm\) de largo, \(8cm\) de ancho y \(6cm\) de alto. Calcula su volumen.
La caja tiene forma de ortoedro, por lo tanto:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 12 \cdot 8 \cdot 6 \]
Primero:
\[ 12 \cdot 8 = 96 \]
Luego:
\[ 96 \cdot 6 = 576 \]
Por lo tanto:
\[ V = 576cm^3 \]
La caja puede llenarse con 576 cubos de \(1cm^3\).
Actividad 4
Un cubo tiene arista de \(10m\). Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen del cubo:
\[ V = a^3 \]
Reemplazamos \(a = 10m\):
\[ V = 10^3 \]
\[ V = 10 \cdot 10 \cdot 10 \]
\[ V = 1000 \]
Entonces:
\[ V = 1000m^3 \]
El resultado se expresa en \(m^3\), porque las medidas estaban dadas en metros.
Actividad 5
Un ortoedro mide \(2m\), \(3m\) y \(4m\). Calcula su volumen.
Las tres medidas están en la misma unidad, por lo tanto podemos multiplicarlas directamente:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
\[ V = 2 \cdot 3 \cdot 4 \]
Primero:
\[ 2 \cdot 3 = 6 \]
Luego:
\[ 6 \cdot 4 = 24 \]
Entonces:
\[ V = 24m^3 \]
El ortoedro tiene un volumen de 24 metros cúbicos.
Actividad 6
¿Por qué el cubo usa la fórmula \(V=a^3\)?
El cubo usa la fórmula \(V=a^3\) porque sus tres dimensiones son iguales.
Si la arista mide \(a\), entonces:
\[ largo = a,\quad ancho = a,\quad alto = a \]
Como el volumen se obtiene multiplicando largo, ancho y alto:
\[ V = a \cdot a \cdot a \]
Eso se escribe de forma abreviada como:
\[ V = a^3 \]
El exponente \(3\) representa que se multiplican tres dimensiones.
Actividad 7
¿Qué significa concretamente que una caja tenga volumen \(96cm^3\)?
Significa que la caja ocupa o puede contener el mismo espacio que \(96\) cubos de \(1cm^3\).
Cada cubo de \(1cm^3\) mide:
\[ 1cm \times 1cm \times 1cm \]
Por lo tanto, decir que una caja tiene volumen \(96cm^3\) significa que en ella caben 96 cubos unitarios de un centímetro cúbico.
Desafío con conversión
Una caja mide \(1{,}5m\) de largo, \(80cm\) de ancho y \(40cm\) de alto.
Convierte todas las medidas a centímetros y calcula su volumen en \(cm^3\). Luego convierte el resultado a litros, recordando que:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Desafío
Una caja mide \(1{,}5m\) de largo, \(80cm\) de ancho y \(40cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y luego exprésalo en litros.
Primero convertimos todas las medidas a centímetros.
Como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1{,}5m = 150cm \]
Las dimensiones de la caja son:
\[ 150cm,\quad 80cm,\quad 40cm \]
Calculamos el volumen:
\[ V = 150 \cdot 80 \cdot 40 \]
Primero:
\[ 150 \cdot 80 = 12\,000 \]
Luego:
\[ 12\,000 \cdot 40 = 480\,000 \]
Entonces:
\[ V = 480\,000cm^3 \]
Ahora convertimos a litros usando:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 480\,000cm^3 = 480L \]
Por lo tanto, el volumen de la caja es \(480\,000cm^3\), equivalente a \(480L\).
Idea clave
El volumen de un ortoedro se calcula multiplicando sus tres dimensiones:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
El cubo es un caso especial porque sus tres dimensiones son iguales:
\[ V = a^3 \]
En ambos casos, la fórmula cuenta cuántos cubos unitarios llenan el cuerpo.