Libro de los volumenes
9. Volumen, capacidad y conversiones
Objetivo
- Relacionar el volumen de cuerpos geométricos con la capacidad de recipientes, usando equivalencias entre unidades cúbicas, mililitros y litros.
Volumen y capacidad
El volumen mide cuánto espacio ocupa o contiene un cuerpo.
La capacidad mide cuánto puede contener un recipiente.
Por ejemplo, una caja, una lata, un vaso, un estanque o una botella pueden estudiarse desde el volumen porque tienen espacio interior.
Cuando el cuerpo funciona como recipiente, podemos expresar ese volumen como capacidad.
Por eso usamos equivalencias como:
\[ cm^3,\quad mL,\quad L,\quad m^3 \]
Equivalencias importantes
Las equivalencias más usadas son:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1000mL = 1L \]
\[ 1dm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
Estas equivalencias permiten pasar de un volumen geométrico a una capacidad.
De volumen a capacidad
¿Cuándo conviene usar litros?
Cuando calculamos el volumen de un recipiente, muchas veces el resultado aparece en \(cm^3\) o \(m^3\).
Pero en la vida cotidiana solemos hablar de capacidad usando \(mL\) o \(L\).
Por ejemplo:
- una lata puede tener capacidad aproximada de \(350mL\),
- una botella puede tener capacidad de \(1{,}5L\),
- un estanque puede tener capacidad de varios litros o metros cúbicos.
Por eso es importante saber convertir.
Ejemplo 1: de \(cm^3\) a \(mL\)
Una caja pequeña tiene volumen \(750cm^3\).
Como:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
entonces:
\[ 750cm^3 = 750mL \]
La capacidad de la caja sería de \(750mL\), si se pudiera llenar completamente.
Ejemplo 2: de \(cm^3\) a litros
Un recipiente tiene volumen \(3500cm^3\).
Sabemos que:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Entonces dividimos por \(1000\):
\[ 3500cm^3 = 3{,}5L \]
El recipiente tiene una capacidad de \(3{,}5L\).
Ejemplo 3: cilindro y capacidad
Un recipiente cilíndrico tiene radio \(5cm\) y altura \(20cm\).
Calculamos su volumen:
\[ V = \pi r^2h \]
\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 20 \]
\[ V = 500\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 500 \cdot 3{,}14 = 1570cm^3 \]
Como \(1cm^3 = 1mL\):
\[ 1570cm^3 = 1570mL \]
Y como \(1000mL = 1L\):
\[ 1570mL = 1{,}57L \]
La capacidad aproximada del recipiente es \(1{,}57L\).
Ejemplo 4: de \(m^3\) a litros
Un estanque tiene volumen \(2{,}4m^3\).
Sabemos que:
\[ 1m^3 = 1000L \]
Entonces:
\[ 2{,}4m^3 = 2{,}4 \cdot 1000L \]
\[ 2{,}4m^3 = 2400L \]
El estanque puede contener aproximadamente \(2400L\).
Resumen de conversiones
| Conversión | Procedimiento | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(cm^3\) a \(mL\) | Se mantiene el número. | \(480cm^3 = 480mL\) |
| \(cm^3\) a \(L\) | Dividir por \(1000\). | \(2500cm^3 = 2{,}5L\) |
| \(L\) a \(cm^3\) | Multiplicar por \(1000\). | \(3L = 3000cm^3\) |
| \(m^3\) a \(L\) | Multiplicar por \(1000\). | \(4m^3 = 4000L\) |
| \(L\) a \(m^3\) | Dividir por \(1000\). | \(750L = 0{,}75m^3\) |
Atención: volumen exterior y capacidad útil
En algunos problemas escolares, suponemos que el volumen calculado corresponde a la capacidad del recipiente.
Pero en objetos reales hay detalles que pueden cambiar el resultado:
- grosor del material,
- bordes redondeados,
- espacios que no se llenan completamente,
- tapas o zonas vacías.
Por eso, en la realidad, la capacidad útil puede ser un poco menor que el volumen exterior calculado.
En este libro trabajaremos con modelos geométricos ideales.
Error común
Un error frecuente es creer que:
\[ 1L = 1cm^3 \]
Eso es incorrecto.
La equivalencia correcta es:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
y como:
\[ 1000mL = 1L \]
entonces:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Actividad
Realiza las siguientes conversiones.
Actividad 1
Convierte \(450cm^3\) a \(mL\).
Usamos la equivalencia:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
Por lo tanto, el número se mantiene:
\[ 450cm^3 = 450mL \]
La respuesta es \(450mL\).
Actividad 2
Convierte \(1250cm^3\) a \(L\).
Sabemos que:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Para pasar de \(cm^3\) a litros, dividimos por \(1000\):
\[ 1250 \div 1000 = 1{,}25 \]
Entonces:
\[ 1250cm^3 = 1{,}25L \]
La respuesta es \(1{,}25L\).
Actividad 3
Convierte \(3{,}8L\) a \(cm^3\).
Sabemos que:
\[ 1L = 1000cm^3 \]
Para pasar de litros a \(cm^3\), multiplicamos por \(1000\):
\[ 3{,}8 \cdot 1000 = 3800 \]
Entonces:
\[ 3{,}8L = 3800cm^3 \]
La respuesta es \(3800cm^3\).
Actividad 4
Convierte \(0{,}6m^3\) a \(L\).
Sabemos que:
\[ 1m^3 = 1000L \]
Para pasar de \(m^3\) a litros, multiplicamos por \(1000\):
\[ 0{,}6 \cdot 1000 = 600 \]
Entonces:
\[ 0{,}6m^3 = 600L \]
La respuesta es \(600L\).
Actividad 5
Convierte \(2500L\) a \(m^3\).
Sabemos que:
\[ 1000L = 1m^3 \]
Para pasar de litros a \(m^3\), dividimos por \(1000\):
\[ 2500 \div 1000 = 2{,}5 \]
Entonces:
\[ 2500L = 2{,}5m^3 \]
La respuesta es \(2{,}5m^3\).
Actividad 6
Convierte \(7{,}5L\) a \(mL\).
Sabemos que:
\[ 1L = 1000mL \]
Para pasar de litros a mililitros, multiplicamos por \(1000\):
\[ 7{,}5 \cdot 1000 = 7500 \]
Entonces:
\[ 7{,}5L = 7500mL \]
La respuesta es \(7500mL\).
Problemas
Resuelve los siguientes problemas usando volumen y capacidad.
Problema 1
Una caja rectangular mide \(20cm\) de largo, \(15cm\) de ancho y \(10cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y su capacidad en litros.
La caja tiene forma de ortoedro, por lo tanto:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 20 \cdot 15 \cdot 10 \]
\[ V = 3000cm^3 \]
Ahora convertimos a litros. Como:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
dividimos por \(1000\):
\[ 3000cm^3 = 3L \]
El volumen de la caja es \(3000cm^3\) y su capacidad es \(3L\).
Problema 2
Una lata cilíndrica tiene radio \(3cm\) y altura \(12cm\). Calcula su volumen aproximado en \(cm^3\) y su capacidad en \(mL\).
Usamos la fórmula del volumen del cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
Reemplazamos \(r = 3cm\) y \(h = 12cm\):
\[ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 12 \]
\[ V = \pi \cdot 9 \cdot 12 \]
\[ V = 108\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 108 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 339{,}12cm^3 \]
Como:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
entonces:
\[ 339{,}12cm^3 \approx 339{,}12mL \]
El volumen aproximado es \(339{,}12cm^3\) y su capacidad aproximada es \(339{,}12mL\).
Problema 3
Un estanque rectangular mide \(2m\) de largo, \(1{,}5m\) de ancho y \(1m\) de alto. Calcula su volumen en \(m^3\) y su capacidad en litros.
El estanque tiene forma de ortoedro, por lo tanto:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 2 \cdot 1{,}5 \cdot 1 \]
\[ V = 3m^3 \]
Ahora convertimos a litros. Como:
\[ 1m^3 = 1000L \]
entonces:
\[ 3m^3 = 3000L \]
El volumen del estanque es \(3m^3\) y su capacidad es \(3000L\).
Problema 4
Un recipiente tiene capacidad de \(5L\). ¿Cuál es su volumen en \(cm^3\)?
Sabemos que:
\[ 1L = 1000cm^3 \]
Entonces, para convertir \(5L\) a \(cm^3\), multiplicamos por \(1000\):
\[ 5 \cdot 1000 = 5000 \]
Por lo tanto:
\[ 5L = 5000cm^3 \]
El volumen del recipiente es \(5000cm^3\).
Problema 5
Una pecera tiene volumen de \(0{,}18m^3\). ¿Cuántos litros de agua puede contener?
Sabemos que:
\[ 1m^3 = 1000L \]
Para pasar de \(m^3\) a litros, multiplicamos por \(1000\):
\[ 0{,}18 \cdot 1000 = 180 \]
Entonces:
\[ 0{,}18m^3 = 180L \]
La pecera puede contener \(180L\) de agua, si se considera como un modelo geométrico ideal.
Pregunta para pensar
Dos recipientes tienen el mismo volumen, pero formas distintas: uno es cilíndrico y otro rectangular.
¿Pueden tener la misma capacidad? Explica tu respuesta usando la idea de volumen.
Sí, pueden tener la misma capacidad aunque tengan formas distintas.
La capacidad depende del volumen interior del recipiente, no solo de su forma.
Por ejemplo, un recipiente cilíndrico y uno rectangular pueden tener ambos un volumen de:
\[ 2000cm^3 \]
Como:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
entonces ambos tendrían capacidad de:
\[ 2000cm^3 = 2L \]
Por lo tanto, si dos recipientes tienen el mismo volumen interior, pueden tener la misma capacidad, aunque sus formas sean diferentes.
Idea clave
El volumen permite medir cuánto espacio ocupa o contiene un cuerpo.
Cuando ese cuerpo funciona como recipiente, podemos interpretar su volumen como capacidad.
Las equivalencias más importantes son:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
Así conectamos la geometría con recipientes reales como cajas, botellas, latas, estanques y peceras.