Capitulos 5.2 Inecuaciones
1. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción
Inecuaciones con Números Racionales: Introducción
Una inecuación es simplemente una desigualdad entre dos expresiones que tienen al menos una incógnita. Si una ecuación es una declaración de igualdad (ej: \(x+2=5\)), una inecuación es una declaración de "desbalance" (ej: \(x+2 > 5\)). A diferencia de las ecuaciones, que suelen tener una o dos soluciones, las inecuaciones generalmente tienen infinitas soluciones.
Símbolos de Desigualdad y Conjunto Solución
Para hablar de desigualdades, usamos cuatro símbolos clave. El conjunto de todos los números que hacen que la inecuación sea verdadera se llama conjunto solución.
| Símbolo | Significado | Ejemplo | Intervalo Solución |
|---|---|---|---|
| \( > \) | Mayor que | \( x > 2 \) | \( (2, \infty) \) |
| \( < \) | Menor que | \( x < -1 \) | \( (-\infty, -1) \) |
| \( \geq \) | Mayor o igual que | \( x \geq 5 \) | \( [5, \infty) \) |
| \( \leq \) | Menor o igual que | \( x \leq 0 \) | \( (-\infty, 0] \) |
Recuerda siempre esta regla para los intervalos:
- Paréntesis : El número del extremo no se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( > \) y \( < \).
- Corchete [ ]: El número del extremo sí se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( \geq \) y \( \leq \).
- El infinito (\( \infty \)) siempre lleva paréntesis, porque no es un número que se pueda "alcanzar" o incluir.
Representación Gráfica en la Recta Numérica
Una forma muy visual de entender el conjunto solución es dibujándolo en la recta numérica. Usamos un círculo vacío (o un paréntesis) para un extremo no incluido y un círculo relleno (o un corchete) para un extremo incluido.
Ejemplo 1: \( x > 3 \)
Se marca el 3 con un círculo vacío y se sombrea toda la recta hacia la derecha.
Ejemplo 2: \( x \leq -2 \)
Se marca el -2 con un círculo relleno y se sombrea toda la recta hacia la izquierda.
Ejercicios Propuestos
Parte 1: Identificando Símbolos de Desigualdad
1. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "mayor que"?
\( > \)
2. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "menor o igual que"?
\( \leq \)
3. Escribe la desigualdad que representa la frase "x es mayor que -5".
\( x > -5 \)
4. Escribe la desigualdad que representa la frase "y es menor que o igual a 10".
\( y \leq 10 \)
5. ¿Cuál es la diferencia entre los símbolos ">" y "≥"?
">" significa "mayor que" (excluye el valor), mientras que "≥" significa "mayor o igual que" (incluye el valor).
Parte 2: Representando Conjuntos Solución
6. Dibuja (o describe) en la recta numérica el conjunto solución de \( x < 4 \).
Se dibuja la recta, se marca el 4 con un círculo vacío y se sombrea toda la recta hacia la izquierda.
7. Dibuja (o describe) en la recta numérica el conjunto solución de \( x \geq -2 \).
Se dibuja la recta, se marca el -2 con un círculo relleno y se sombrea toda la recta hacia la derecha.
8. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números mayores que -1.
\( (-1, \infty) \)
9. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números menores o iguales que 5.
\( (-\infty, 5] \)
10. Escribe la desigualdad que corresponde al intervalo \( [-3, 2) \).
\( -3 \leq x < 2 \)
Parte 3: Escribiendo Desigualdades
11. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que 5.
\( x > 5 \)
12. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que -2.
\( x \leq -2 \)
13. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre -4 y 3, incluyendo el -4 pero no el 3.
\( -4 \leq x < 3 \)
14. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores o iguales que 0.
\( x \geq 0 \)
15. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores que 8.
\( x < 8 \)
16. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \( \frac{1}{2} \).
\( x > \frac{1}{2} \)
17. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \( -\frac{3}{4} \).
\( x \leq -\frac{3}{4} \)
18. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre 0.5 y 2.5, sin incluir los extremos.
\( 0.5 < x < 2.5 \)
19. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que "a".
\( x > a \)
20. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que "b + 2".
\( x \leq b + 2 \)