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PRUEBA RECTA 3D

1. X1

 
Instrucciones generales
  • La prueba consta de 16 preguntas de selección única.
  • Marca una sola alternativa en cada pregunta.
  • Cada pregunta vale 2 puntos.
  • En la expresión \(P=P_0+\lambda\vec{v}\), \(P_0\) es un punto de la recta, \(\vec{v}\) es un vector director y \(\lambda\in\mathbb{R}\).
  • En la forma paramétrica deben aparecer las tres coordenadas \(x\), \(y\) y \(z\).
  • Para verificar si un punto pertenece a una recta, debe existir un mismo valor de \(\lambda\) que satisfaga simultáneamente las tres coordenadas.
  • Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales.
  • Dos ecuaciones representan la misma recta cuando sus vectores directores son proporcionales y comparten al menos un punto.
  • Puedes desarrollar los cálculos en una hoja adicional. No se permite el uso de calculadora.

La recta \(r\) está representada por \(P=(2,-1,3)+\lambda(3,4,-2)\). ¿Cuál es un punto de la recta y cuál es su vector director?

  • \(P_0=(3,4,-2)\) y \(\vec{v}=(2,-1,3)\)
  • \(P_0=(2,-1,3)\) y \(\vec{v}=(3,4,-2)\)
  • \(P_0=(2,3,4)\) y \(\vec{v}=(-1,3,-2)\)
  • \(P_0=(-2,1,-3)\) y \(\vec{v}=(3,4,-2)\)

¿Cuál es la forma paramétrica de la recta \(P=(-3,2,1)+\lambda(5,-1,4)\)?

  • \(x=-3+5\lambda,\quad y=2+\lambda,\quad z=1+4\lambda\)
  • \(x=3+5\lambda,\quad y=-2-\lambda,\quad z=1-4\lambda\)
  • \(x=-3-\lambda,\quad y=2+5\lambda,\quad z=1+4\lambda\)
  • \(x=-3+5\lambda,\quad y=2-\lambda,\quad z=1+4\lambda\)

En la recta \(P=(-2,3,1)+\lambda(3,-2,4)\), ¿qué punto se obtiene cuando \(\lambda=2\)?

  • \((4,-1,9)\)
  • \((1,1,5)\)
  • \((4,7,9)\)
  • \((-8,7,-7)\)

Una recta está dada por \(x=1-2\lambda\), \(y=5+3\lambda\) y \(z=-4+\lambda\). ¿Cuál es su forma vectorial?

  • \(P=(-2,3,1)+\lambda(1,5,-4)\)
  • \(P=(1,5,-4)+\lambda(2,3,-1)\)
  • \(P=(1,5,-4)+\lambda(-2,3,1)\)
  • \(P=(-1,5,4)+\lambda(2,-3,1)\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta \(P=(1,2,-1)+\lambda(2,-1,3)\)?

  • \((3,0,2)\)
  • \((-1,2,-4)\)
  • \((5,0,5)\)
  • \((7,-2,8)\)

El punto \(Q=(10,-1,8)\) pertenece a la recta \(P=(1,5,-1)+\lambda(3,-2,3)\). ¿Qué valor de \(\lambda\) permite obtenerlo?

  • \(\lambda=3\)
  • \(\lambda=2\)
  • \(\lambda=-2\)
  • \(\lambda=-3\)

¿Cuál de los siguientes vectores es paralelo al vector \(\vec{v}=(2,-3,1)\)?

  • \((4,-5,2)\)
  • \((2,3,1)\)
  • \((-2,-3,-1)\)
  • \((-4,6,-2)\)

Considera las rectas \(r:P=(1,2,0)+\lambda(3,-1,2)\) y \(s:P=(-2,3,1)+\mu(6,-2,4)\). ¿Qué relación existe entre ellas?

  • Son perpendiculares.
  • Son paralelas y distintas.
  • Representan la misma recta.
  • Sus vectores directores no son proporcionales.

Considera las rectas \(r:P=(0,1,2)+\lambda(2,3,-1)\) y \(s:P=(4,7,0)+\mu(4,6,-2)\). ¿Qué relación existe entre ellas?

  • Son paralelas y distintas.
  • Sus vectores directores no son proporcionales.
  • No comparten ningún punto.
  • Representan la misma recta.

¿Qué condiciones permiten afirmar que dos ecuaciones vectoriales representan la misma recta en el espacio?

  • Que tengan exactamente el mismo punto inicial.
  • Que sus vectores directores sean proporcionales y un punto de una recta pertenezca a la otra.
  • Que sus vectores directores tengan igual longitud.
  • Que tengan una coordenada inicial en común.

Sea \(r:P=(2,-1,3)+\lambda(1,4,-2)\). ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela y distinta de \(r\)?

  • \(s:P=(0,0,0)+\mu(4,1,-2)\)
  • \(s:P=(2,-1,3)+\mu(1,-4,2)\)
  • \(s:P=(0,0,0)+\mu(-2,-8,4)\)
  • \(s:P=(3,3,1)+\mu(2,7,-4)\)

Sea \(r:P=(1,-2,3)+\lambda(2,5,-1)\). ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la misma recta?

  • \(s:P=(3,3,2)+\mu(-4,-10,2)\)
  • \(s:P=(3,2,2)+\mu(4,10,-2)\)
  • \(s:P=(1,-2,3)+\mu(5,2,-1)\)
  • \(s:P=(-1,-7,4)+\mu(2,-5,1)\)

Las rectas \(r\) y \(s\) están dadas por:

\(r:\ x=2+3\lambda,\quad y=-1+2\lambda,\quad z=4-\lambda\)

\(s:\ x=8-6\mu,\quad y=3-4\mu,\quad z=2+2\mu\)

¿Qué relación existe entre ellas?

  • Representan la misma recta.
  • Son paralelas y distintas.
  • Sus vectores directores no son proporcionales.
  • Solo tienen una coordenada en común.

Sea \(r:\ x=-1+2\lambda,\quad y=4-3\lambda,\quad z=2+\lambda\). ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela y distinta de \(r\)?

  • \(x=-1+2\mu,\quad y=4-3\mu,\quad z=2+\mu\)
  • \(x=1+3\mu,\quad y=2\mu,\quad z=4-\mu\)
  • \(x=5-4\mu,\quad y=1+6\mu,\quad z=-2\mu\)
  • \(x=2+2\mu,\quad y=1+3\mu,\quad z=1-\mu\)

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre rectas en el espacio es correcta?

  • Dos rectas con vectores directores proporcionales siempre representan la misma recta.
  • Dos rectas coincidentes tienen vectores directores proporcionales y todos sus puntos son comunes.
  • Dos rectas paralelas y distintas poseen al menos un punto en común.
  • Dos rectas que comparten un punto siempre son paralelas.

Considera las rectas \(r:P=(1,2,-1)+\lambda(2,-1,3)\) y \(s:P=(5,0,5)+\mu(k,-2,6)\). ¿Qué valor de \(k\) hace que ambas ecuaciones representen la misma recta?

  • \(k=1\)
  • \(k=2\)
  • \(k=3\)
  • \(k=4\)