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PRUEBA RECTA 3D

3. X2

 
Instrucciones generales
  • La prueba consta de 16 preguntas de selección única.
  • Marca una sola alternativa en cada pregunta.
  • Cada pregunta vale 2 puntos.
  • En la expresión \(P=P_0+\lambda\vec{v}\), \(P_0\) es un punto de la recta, \(\vec{v}\) es un vector director y \(\lambda\in\mathbb{R}\).
  • En la forma paramétrica deben aparecer las tres coordenadas \(x\), \(y\) y \(z\).
  • Para verificar si un punto pertenece a una recta, debe existir un mismo valor de \(\lambda\) que satisfaga simultáneamente las tres coordenadas.
  • Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales.
  • Dos ecuaciones representan la misma recta cuando sus vectores directores son proporcionales y comparten al menos un punto.
  • Puedes desarrollar los cálculos en una hoja adicional. No se permite el uso de calculadora.

La recta \(r\) está representada por \(P=(-1,4,2)+\lambda(5,-2,3)\). ¿Cuál es un punto de la recta y cuál es su vector director?

  • \(P_0=(5,-2,3)\) y \(\vec{v}=(-1,4,2)\)
  • \(P_0=(-1,5,2)\) y \(\vec{v}=(4,-2,3)\)
  • \(P_0=(-1,4,2)\) y \(\vec{v}=(5,-2,3)\)
  • \(P_0=(1,-4,-2)\) y \(\vec{v}=(5,-2,3)\)

¿Cuál es la forma paramétrica de la recta \(P=(2,-3,5)+\lambda(-4,1,2)\)?

  • \(x=2-4\lambda,\quad y=-3+\lambda,\quad z=5+2\lambda\)
  • \(x=2+4\lambda,\quad y=-3+\lambda,\quad z=5-2\lambda\)
  • \(x=-4+2\lambda,\quad y=1-3\lambda,\quad z=2+5\lambda\)
  • \(x=2-4\lambda,\quad y=3+\lambda,\quad z=5+2\lambda\)

En la recta \(P=(3,-2,4)+\lambda(-2,5,-1)\), ¿qué punto se obtiene cuando \(\lambda=3\)?

  • \((-3,13,7)\)
  • \((9,13,1)\)
  • \((1,3,3)\)
  • \((-3,13,1)\)

Una recta está dada por \(x=-2+3\lambda\), \(y=1-4\lambda\) y \(z=6+2\lambda\). ¿Cuál es su forma vectorial?

  • \(P=(3,-4,2)+\lambda(-2,1,6)\)
  • \(P=(-2,1,6)+\lambda(3,-4,2)\)
  • \(P=(2,-1,-6)+\lambda(3,4,2)\)
  • \(P=(-2,1,6)+\lambda(-3,4,-2)\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta \(P=(2,-1,3)+\lambda(-1,2,4)\)?

  • \((0,3,11)\)
  • \((1,1,8)\)
  • \((0,2,11)\)
  • \((3,-3,0)\)

El punto \(Q=(-7,8,10)\) pertenece a la recta \(P=(2,-1,1)+\lambda(-3,3,3)\). ¿Qué valor de \(\lambda\) permite obtenerlo?

  • \(\lambda=-3\)
  • \(\lambda=2\)
  • \(\lambda=3\)
  • \(\lambda=-2\)

¿Cuál de los siguientes vectores es paralelo al vector \(\vec{v}=(3,-1,2)\)?

  • \((6,-1,4)\)
  • \((-6,2,-4)\)
  • \((-3,-1,-2)\)
  • \((3,2,-1)\)

Considera las rectas \(r:P=(1,0,-2)+\lambda(2,3,1)\) y \(s:P=(-1,4,0)+\mu(-4,-6,-2)\). ¿Qué relación existe entre ellas?

  • Representan la misma recta.
  • Sus vectores directores no son proporcionales.
  • Comparten exactamente un punto.
  • Son paralelas y distintas.

Considera las rectas \(r:P=(2,-1,4)+\lambda(-1,2,3)\) y \(s:P=(0,3,10)+\mu(2,-4,-6)\). ¿Qué relación existe entre ellas?

  • Son paralelas y distintas.
  • Representan la misma recta.
  • Sus vectores directores no son proporcionales.
  • No tienen puntos en común porque sus puntos iniciales son diferentes.

¿Qué condiciones permiten concluir que dos ecuaciones vectoriales representan la misma recta en el espacio?

  • Que sus vectores directores tengan la misma longitud.
  • Que tengan exactamente el mismo punto inicial.
  • Que sus vectores directores sean proporcionales.
  • Que sus vectores directores sean proporcionales y que compartan al menos un punto.

Sea \(r:P=(0,2,-1)+\lambda(4,-2,3)\). ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela y distinta de \(r\)?

  • \(s:P=(1,0,0)+\mu(-8,4,-6)\)
  • \(s:P=(4,0,2)+\mu(8,-4,6)\)
  • \(s:P=(1,0,0)+\mu(4,2,3)\)
  • \(s:P=(0,2,-1)+\mu(-4,2,3)\)

Sea \(r:P=(-2,1,5)+\lambda(3,2,-4)\). ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la misma recta?

  • \(s:P=(4,5,-3)+\mu(3,-2,-4)\)
  • \(s:P=(0,0,0)+\mu(-6,-4,8)\)
  • \(s:P=(4,5,-3)+\mu(-6,-4,8)\)
  • \(s:P=(1,3,1)+\mu(3,-2,4)\)

Las rectas \(r\) y \(s\) están dadas por:

\(r:\ x=1+2\lambda,\quad y=-3+\lambda,\quad z=4-2\lambda\)

\(s:\ x=7-4\mu,\quad y=-2\mu,\quad z=-2+4\mu\)

¿Qué relación existe entre ellas?

  • Son paralelas y distintas.
  • Sus vectores directores no son proporcionales.
  • Solo comparten el valor de una coordenada.
  • Representan la misma recta.

Sea \(r:\ x=2-\lambda,\quad y=1+3\lambda,\quad z=-2+2\lambda\). ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela y distinta de \(r\)?

  • \(x=1-\mu,\quad y=4+3\mu,\quad z=2\mu\)
  • \(x=-1+2\mu,\quad y=4-6\mu,\quad z=5-4\mu\)
  • \(x=2+\mu,\quad y=1+3\mu,\quad z=-2-2\mu\)
  • \(x=-1+2\mu,\quad y=4+6\mu,\quad z=5-4\mu\)

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre rectas en el espacio es correcta?

  • Dos rectas con vectores directores proporcionales siempre son coincidentes.
  • Dos rectas con vectores directores no proporcionales siempre se intersectan.
  • Una misma recta puede representarse usando puntos iniciales diferentes y vectores directores proporcionales.
  • Dos rectas paralelas y distintas comparten al menos un punto.

Considera las rectas \(r:P=(3,-2,1)+\lambda(-2,4,3)\) y \(s:P=(-1,6,7)+\mu(k,-8,-6)\). ¿Qué valor de \(k\) hace que ambas ecuaciones representen la misma recta?

  • \(k=4\)
  • \(k=-4\)
  • \(k=2\)
  • \(k=6\)